ベクトル測定

数学 において、ベクトル測度は、集合族上で定義され、特定の特性を満たすベクトル値を取る関数です。これは、非負の実数値のみを取る有限測度の概念を一般化したものです。

集合体 とバナッハ空間が与えられたとき、有限加法ベクトル測度（または略して測度）は、任意の2つの互いに交わらない集合とに対して、 1つの集合が ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)。}$$

ベクトル測度は、任意の互いに素な集合の列に対して、その和が となるとき、右辺の級数がバナッハ空間のノルムに収束するとき に、次の式が成り立つとき、可算加法的であると呼ばれる。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle \mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$$${\displaystyle X.}$

加法的なベクトル測度 が可算加法であることは、上記のような 任意の列に対して、${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$

標準はどこにあるのか${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$

シグマ代数上で定義される可算加法ベクトル測度は、それぞれ実数区間 、実数集合、複素数集合上で値を取る可算加法関数である有限測度、有限符号測度、複素測度よりも一般的です。 ${\displaystyle [0,\infty ),}$

区間 で構成される集合体と、この区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族について考えます。このような集合のいずれについても、が の指示関数で ある場所を定義します 。 が値を取ると宣言される場所に応じて、2 つの異なる結果が観察されます。 ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A,}$$${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu ,}$から-空間への関数として見ると、これは可算加法ではないベクトル測度です。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]),}$
• ${\displaystyle \mu ,}$から-空間への関数として見ると、これは可算加法的なベクトル測度です。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$

これら両方の記述は、上記の 基準（* ）から非常に簡単に導き出されます。

ベクトル測度が与えられた場合、の変分は 次のように定義される。 ここで、すべての に対して、 を有限個の互いに素な集合に分割するすべての分割について、最大値が取られる。ここで、は のノルムである。${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$ ${\displaystyle |\mu |}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$$ $${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$

の変化は、に値を取る有限加法関数です。 の任意 の に対してが成り立ちます 。が有限である場合、測度は有界変化であると言われます。が有界変化のベクトル測度である場合、 は可算加法であり、 が可算加法である場合に限り、 が可算加法であることが証明できます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [0,\infty ].}$$${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle |\mu |}$

ベクトル測度の理論において、リャプノフの定理は、 （非原子）有限次元ベクトル測度の値域が閉じており凸であることを述べている。^{[1] [2] [3]} 実際、非原子ベクトル測度の値域はゾノイド（ゾノトープの収束列の極限である閉じた凸集合）である。^[2]これは経済学、^{[4] [5] [6]}（「バンバン」）制御理論、^{[1] [3 ] [7] [8]}および統計理論で使用されている。^{[8]リャプノフの定理は、リャプノフの定理の}離散類似物と見なされているシャプレー・フォークマンの補題[ ^9] を使用して証明されている。^{[8] [10] [11]}

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• 弱測定可能関数

• コーン、ドナルド L. (1997) [1980]. 測度論（再版）. ボストン-バーゼル-シュトゥットガルト: Birkhäuser Verlag . pp. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1.ZBL0436.28001  。​
• ディーゼル、ジョー。ウール、ジェリー J. ジュニア (1977)。ベクトルを測定します。数学的調査。 Vol. 15. ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会。 pp.xiii+322。ISBN 0-8218-1515-6。
• Kluvánek, I.、Knowles, G、「ベクトル測定と制御システム」、North-Holland Mathematics Studies  20、アムステルダム、1976年。
• van Dulst, D. (2001) [1994]、「ベクトル測度」、数学百科事典、EMS Press
• ルディン、W (1973)。機能分析。ニューヨーク：マグロウヒル。p. 114。ISBN 9780070542259。