スーパーベクトル空間

数学において、超ベクトル空間は、次数付きベクトル空間、つまり次数と次数の部分空間の与えられた分解を持つ体上のベクトル空間です。超ベクトル空間とその一般化の研究は、超線型代数と呼ばれることもあります。これらの対象は主に理論物理学で応用され、超対称性のさまざまな代数的側面を記述するために使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

超ベクトル空間は、分解を伴う -次数ベクトル空間である^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

またはの元であるベクトルは同次 であると言われる。で表される非ゼロ同次元の偶奇性は、それがまたは のいずれにあるかに応じてまたは である。 ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}}$

パリティのベクトルは偶数、パリティのベクトルは奇数と呼ばれます。理論物理学では、偶数要素はボーズ要素またはボゾン要素、奇数要素はフェルミ要素またはフェルミオン要素と呼ばれることがあります。スーパーベクトル空間の定義は、多くの場合、同次要素のみで与えられ、その後、線形性によって非同次要素に拡張されます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

が有限次元で、との次元がそれぞれとである場合、 は次元を持つと言われます。 と表記される標準のスーパー座標空間は、偶数部分空間が最初の座標基底ベクトルによって張られ、奇数空間が最後の によって張られる通常の座標空間です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p|q}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{p|q}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{p+q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

スーパーベクトル空間の同次部分空間は、同次要素によって張られる線形部分空間です。同次部分空間は、それ自体がスーパーベクトル空間です (明らかな段階付け付き)。

任意の超ベクトル空間に対して、偶数部分空間と奇数部分空間を入れ替えた超ベクトル空間としてパリ​​ティ反転空間を定義することができる。つまり、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \πV}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1},\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}}$

あるスーパーベクトル空間から別のスーパーベクトル空間への準同型写像（スーパーベクトル空間のカテゴリにおける射）は、次数保存線型変換である。スーパーベクトル空間間の 線型変換が次数保存であるのは、${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.}$

つまり、 の偶数元をの偶数元に、 の奇数元を の奇数元に写す。超ベクトル空間の同型は全単射準同型である。すべての準同型全体の集合はと表記される。^[2]${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V\rightarrow W}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

あるスーパーベクトル空間から別のスーパーベクトル空間への、必ずしも次数保存ではないすべての線形変換は、次数保存変換と次数反転変換の和として一意に表すことができます。つまり、 ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.}$

次数保存変換を偶数、次数反転変換を奇数と宣言すると、からへのすべての線型変換の空間（内部と表記）は、超ベクトル空間の構造を持つ。特に、^[3]${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$

${\displaystyle \left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W).}$

からへの次数反転変換は、パリティ反転空間 からへの準同型写像とみなすことができるので、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi W}$

${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W).}$

通常のベクトル空間の通常の代数的構成には、スーパーベクトル空間の設定に対応するものがあります。

超ベクトル空間の双対空間は、 偶関数を で消えるもの、奇関数を で消えるものとすることで、超ベクトル空間とみなすことができます。^[4]同様に、を からへの線型写像の空間（純粋に偶な超ベクトル空間と考えられる基本体）として定義し、前の節で与えられた段階を適用することもできます。 ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

超ベクトル空間の直和は、次式で与えられる次数付けのないケースと同様に構成される。

${\displaystyle (V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0},}$

${\displaystyle (V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}.}$

超ベクトル空間のテンソル積を構成することもできる。ここでは加法構造が関係してくる。基底空間は次式で与えられる次数なしの場合と同じである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_{k},}$

ここで、インデックスは である。具体的には、 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0})\oplus (V_{1}\otimes W_{1}),}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1})\oplus (V_{1}\otimes W_{0}).}$

体上のベクトル空間を可換環上の加群に一般化できるのと同様に、体上の超ベクトル空間を超可換代数（または環） 上の超加群に一般化できます。

超ベクトル空間を扱う際の一般的な構成は、スカラー体を超可換グラスマン代数に 拡大することです。体${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]}$

は、奇数元を反可換にすることで生成されるグラスマン代数を表す。 上の任意の超ベクトル空間は、（次数付き）テンソル積を考えることで、 上の加群に埋め込むことができる。${\displaystyle N}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.}$

超ベクトル空間のカテゴリは、と表記され、そのオブジェクトが超ベクトル空間（固定された体 上）であり、その射が偶線型変換（つまり、次数を保存する変換） であるカテゴリです。${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$

超線形代数に対するカテゴリカルなアプローチは、まず通常の（次数のない）代数的オブジェクトに関する定義と定理をカテゴリ理論の言語で定式化し、次にこれらを超ベクトル空間のカテゴリに直接転送することです。これにより、超代数、リー超代数、超群などの「超オブジェクト」の扱いが、次数のない対応物と完全に類似したものになります。

このカテゴリは、モノイド積として超テンソル積を持ち、単位対象として 純粋に偶数な超ベクトル空間を持つモノイドカテゴリである。${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$

${\displaystyle \tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,}$

与えられた

${\displaystyle \tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{|x||y|}y\otimes x}$

同次元上の は、対称モノイドカテゴリに変換されます。この可換同型性は、超線型代数に不可欠な「符号の規則」をエンコードします。これは、2 つの奇数元が交換されるたびにマイナス符号が付けられることを実質的に示しています。上記の演算子が適切な場所で使用されている限り、カテゴリ設定で符号を気にする必要はありません。 ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$は、内部 Hom オブジェクト、を持つ閉じたモノイドカテゴリでもあり、からへのすべての線型写像のスーパーベクトル空間によって与えられます。通常集合はその中の偶数部分空間です。 ${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathrm {Hom} }$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.}$

が閉じているということは、自然一対一の関係が与えられたとき、 関手が関手 の左随伴であることを意味する。${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle -\otimes V}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W)).}$

上の超代数は、乗法写像を持つ 超ベクトル空間として記述できる。${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},}$

これは超ベクトル空間準同型である。これは^{[5]を要求することと同等である。}

${\displaystyle |ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}}$

結合性と恒等式の存在は通常の可換図式で表現できるため、上の単位結合超代数はカテゴリ のモノイドになります。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

• Deligne, P. ; Morgan, JW (1999)。 「超対称性に関するノート (Joseph Bernstein に倣って)」。量子場と弦: 数学者のためのコース。第 1 巻。アメリカ数学会。pp. 41–97。ISBN 0-8218-2012-5– IAS経由。

• Varadarajan, VS (2004)。数学者のための超対称性：入門。Courant Lecture Notes in Mathematics。第 11 巻。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-3574-6。