ベクトルフロー

数学において、ベクトルフローとは、ベクトル場によって決定されるフローに関する密接に関連した概念の集合を指します。これらは、微分位相幾何学、リーマン幾何学、リー群論など、さまざまな文脈で登場します。

V を滑らかな多様体M上の滑らかなベクトル場とします。無限小生成元がVである唯一の最大フローD → Mが存在します。ここでD ⊆ R × Mはフロー領域です。各p ∈ Mに対して、写像D _p → Mはpから始まるVの唯一の最大積分曲線です。

グローバルフローとは、フロー領域がR × M全体であるフローです。グローバルフローは、 Mに対するRの滑らかな作用を定義します。ベクトル場は、グローバルフローを生成する場合、完全です。境界のないコンパクト多様体上の滑らかなベクトル場はすべて完全です。

リーマン幾何学では、ベクトルフローはベクトル場によって誘導される微分方程式系の解として考えることができます。つまり、（保存的な）ベクトル場が接空間への写像である場合、それは各点における何らかの関数への接ベクトルを表します。接ベクトルを方向微分に分割すると、結果として得られる微分方程式系を解いて関数を見つけることができます。この意味で、関数はフローであり、ベクトル場を誘導し、ベクトル場によって誘導されます。

ある点から、流れのパラメータ化に関する i 番目の成分の変化率 (「流れがどれだけ作用したか」) は、フィールドの i 番目の成分によって記述されます。つまり、L (流れの経路に沿った長さ) でパラメータ化した場合、流れに沿ってdL進むと、最初の位置成分は、開始点のベクトル フィールドの最初の成分によって記述されるように変化し、他のすべての成分についても同様です。

指数マップ

exp : T _p M → M

はexp( X ) = γ(1)と定義されます。ここでγ: I → Mはpを0で通り、0における接線ベクトルがXである唯一の測地線です。ここでIは測地線が定義されるRの最大開区間です。

M を擬似リーマン多様体（またはアフィン接続を持つ任意の多様体）とし、 p をM内の点とします。すると、T _p M内のすべてのVに対して、 γ(0) = pとなる唯一の測地線 γ : I → Mが存在し、D _{p を}T _p Mのサブセットとし、その中で 1 がIに含まれるものとします。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V.}$

リー群上のすべての左不変ベクトル場は完備である。恒等関数から始まる積分曲線はGの1パラメータ部分群である。1対1の対応関係がある。

{ Gの 1 パラメータ部分群} ─ { G上の左不変ベクトル場} ─ g = T _e G。

G をリー群、gをそのリー代数とする。指数写像は exp : g → G の写像であり、 exp( X ) = γ(1) で与えられる。ここで γ はGの単位元から始まる積分曲線であり、Xによって生成される。

• 指数マップは滑らかです。
• Xが固定されている場合、写像t ↦ exp( tX ) はXによって生成されるGの 1 パラメータ部分群です。
• 指数写像は、g内の 0 のある近傍からG内のeの近傍への微分同相写像に制限されます。
• 指数写像の像は常にGの恒等写像の連結成分に存在します。

• 勾配ベクトルフロー – コンピュータビジョンフレームワーク