軸角表現

あなたが地面に立っていて、重力の方向を負のz方向とするとします。すると、左に回転すると、-z軸を中心に-π / 2ラジアン（または-90°）回転します。軸と角度の表現を順序対として考えると、これは次のようになります 。$${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

上記の例は、 z方向を向いた大きさπ / 2の回転ベクトルとして表すことができる。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

指数マップは、回転の軸角度表現から回転行列への変換を実行します。 $${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

本質的に、テイラー展開を用いることで、これら2つの表現間の閉形式の関係式を導出できる。単位ベクトルが与えられた場合${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$単位回転軸と角度θ ∈ Rを表すと、等価回転行列R は次のように与えられます。ここで、Kはωの外積行列、つまり、すべてのベクトルv ∈ R ^{3に対して}Kv = ω × vです。 $${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

Kは歪対称行列であり、対角線より上の要素の二乗の和は 1 であるため、Kの特性多項式P ( t )はP ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + t )となります。ケイリー・ハミルトンの定理により、P ( K ) = 0であるため、これは次のことを意味します。 $${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$ その結果、K ⁴ = – K ²、K ⁵ = K、K ⁶ = K ²、K ⁷ = – Kとなります。

この循環パターンは無限に続くため、Kのすべての高次のべき乗はKとK ²で表すことができます。したがって、上記の式から、次のことが導かれます。 $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$ つまり、 $${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

三角関数のテイラー級数公式によって。

これはリー代数的な導出であり、ロドリゲスの回転公式に関する論文^{[ 1 ]}の幾何学的な導出とは対照的である。

上記の指数マップの存在により、回転軸を表す単位ベクトルωと角度θは、回転行列Rの指数座標と呼ばれることがあります。

以下では、回転軸ωとの外積を行う3 × 3行列をKで表すものとする。すなわち、すべてのベクトルvに対してK ( v ) = ω × vとする。  

回転行列の軸角度表現を取得するには、回転行列のトレースから回転角度を計算します。 $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$ そしてそれを使って正規化された軸を見つけ、 $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

どこ${\displaystyle R_{ij}}$は回転行列の成分であり、${\displaystyle R}$、${\displaystyle i}$-行目と${\displaystyle j}$第 1 列目。

この式は機能しません${\displaystyle \omega }$Rが対称である場合。なぜなら、これは次の場合にのみ可能だからです。${\displaystyle \theta =k\pi }$ある整数に対して${\displaystyle k}$、だから罪(${\displaystyle \theta }$) = 0 となり、式の中で 0 による除算が発生します。ただし、式の極限は${\displaystyle \omega }$、 として${\displaystyle \theta \to k\pi }$正しい値を与えます${\displaystyle \omega }$一般的には${\displaystyle \omega }$RIのヌル空間を使用して見つけることもできます。回転行列#軸の決定を参照してください。

軸角表現は、回転によって一意ではない。${\displaystyle -\theta }$について${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ は回転と同じである${\displaystyle \theta }$について${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$もちろん、2πの任意の整数倍を${\displaystyle \theta }$同じ回転結果になります。より良い方法は拘束することです${\displaystyle \theta }$区間 [0, 2π) または (-π, π])。

もし${\displaystyle \theta }$既知の${\displaystyle (R,\omega )}$ペアの場合、それはの向きと一致していなければなりません。${\displaystyle \omega }$軸（つまり、単位円の適切な象限に位置していなければならない。${\displaystyle \sin \theta }$そして${\displaystyle \cos \theta }$）クロス積行列を考慮すると${\displaystyle \mathbf {K} }$特定の用途にも利用可能です${\displaystyle \omega }$この一貫性は、上記のトレース式を次のように一般化することによって保証できます。^{[ 2 ]}$${\displaystyle \theta ={\rm {atan2}}(-{\rm {Tr}}(\mathbf {K} R),{\rm {Tr}}(R)-1),}$$ ここで、atan2は 2 つの引数を持つ逆正接関数であり、正しい符号を提供します。${\displaystyle \theta }$で${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$この方法は、軸外項に存在する符号の曖昧さを解消します。${\displaystyle R}$。

回転行列Rの行列対数は $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

R の固有値が−1に等しい場合、例外が発生します。この場合、対数は一意ではありません。ただし、 θ = πの場合でも、対数の フロベニウスノルムは$${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$ 回転行列AとBが与えられたとき、 $${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$ これは、回転行列の3次元多様体上の測地距離です。

小さな回転の場合、 θ → 0のとき arccos の導関数が無限大に発散するため、上記のθの計算は数値的に不正確になる可能性があります。その場合、実際には軸外項の方がθに関するより良い情報を提供します。なぜなら、小さな角度ではR ≈ I + θ Kとなるからです。（これは、これらがexp( θ K )のテイラー級数の最初の 2 項であるためです。）

この定式化には、 θ = πの場合にも数値的な問題があります。この場合、軸外項は回転軸に関する情報を提供しません（回転軸は符号の曖昧さを除いて定義されています）。その場合は、上記の式を再検討する必要があります。

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$ θ = πのとき、 $${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$ そして、 $${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$したがって、 B の対角項はωの要素の二乗であり、符号 (符号の曖昧さを除いて) はBの軸外項の符号から決定できます。 

次の式は、軸角座標をバーソル（単位四元数）に変換します。 $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

スカラーrとベクトルvで表される変数q = r + vが与えられた場合、以下の方法を使用して軸角度座標を抽出できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

回転角をより数値的に安定して表現するには、atan2関数を使用します。 $${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$ ここで、| v |は3次元ベクトルvのユークリッドノルムである。