ベクトル化（数学）

数学、特に線型代数と行列理論において、行列のベクトル化とは、行列をベクトルに変換する線型変換のことです。具体的には、 m × n行列Aのベクトル化は、 vec( A ) と表記され、行列Aの列を積み重ねることによって得られるmn × 1列ベクトルです。 ここで、 はAのi行目j列目の要素を表し、上付き文字は転置を表します。ベクトル化は、座標を通じて、これら (つまり、行列とベクトル) 間の 同型性をベクトル空間として表現します。$${\displaystyle \operatorname {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle {}^{\mathrm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}}$

たとえば、2×2 行列 のベクトル化は です。 ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}}$

Aのベクトル化とその転置のベクトル化の関係は、交換行列によって与えられます。

ベクトル化は、クロネッカー積と一緒に、行列乗算を行列上の線形変換として 表すためによく使用されます。特に、 k × l、l × m、m × n次元の 行列A、B、Cの場合です。^{[注 1]}たとえば、(複素要素を持つすべてのn × n行列のリー代数gl( n , C )の随伴自己準同型) の場合、 となり、 はn × n単位行列です。 $${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{\mathrm {T} }\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(X)=AX-XA}$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (\operatorname {ad} _{A}(X))=(I_{n}\otimes AA^{\mathrm {T} }\otimes I_{n}){\text{vec}}(X)}$${\displaystyle I_{n}}$

他にも便利な定式が 2 つあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {vec} (ABC)&=(I_{n}\otimes AB)\operatorname {vec} (C)=(C^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\\\operatorname {vec} (AB)&=(I_{m}\otimes A)\operatorname {vec} (B)=(B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\end{aligned}}}$$

より一般的には、ベクトル化は任意のカテゴリの行列のモノイド閉構造における自己随伴性であることが示されている。 ^[1]

ベクトル化は、アダマール積（エントリワイズ）を持つn × n行列の空間から、アダマール積を持つ C ^{n 2}への代数準同型である。$${\displaystyle \operatorname {vec} (A\circ B)=\operatorname {vec} (A)\circ \operatorname {vec} (B)。}$$

ベクトル化は、フロベニウス（またはヒルベルト・シュミット）内積を持つn × n行列の空間からC ^{n 2}へのユニタリ変換です。 ここで、上付き文字^†は共役転置を表します。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\dagger }B)=\operatorname {vec} (A)^{\dagger }\operatorname {vec} (B),}$$

行列のベクトル化演算は線形和で表すことができます。Xをベクトル化するm × n行列とし、e _{i を}n次元空間のi番目の標準基底ベクトル、つまりとします。B i_を次のように定義される( mn ) × mブロック行列とします。 ${\textstyle \mathbf {e} _{i}=\left[0,\dots ,0,1,0,\dots ,0\right]^{\​​mathrm {T} }}$$${\displaystyle \mathbf {B} _{i}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \\\mathbf {I} _{m}\\\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {I} _{m}}$$

B _{i は、}列方向に積み重ねられたサイズm × mのn個のブロック行列で構成され、これらの行列はすべて、 i番目( m × m単位行列I _{m )}を除いてすべてゼロです。

Xのベクトル化されたバージョンは次のように表現できます。 $${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{i}\mathbf {X} \mathbf {e} _{i }}$$

Xにe _iを乗算するとi番目の列が抽出され、 B _iを乗算するとそれが最終ベクトルの目的の位置に配置されます。

あるいは、線形和はクロネッカー積を使用して表すこともできます。 $${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {X} \mathbf {e} _ {私}}$$

対称行列 Aの場合、ベクトル vec( A ) には厳密に必要な情報以上の情報が含まれます。これは、行列が対称性と下三角部分、つまり主対角線上およびその下のn ( n + 1)/2個の要素によって完全に決定されるためです。このような行列では、半ベクトル化がベクトル化よりも便利な場合があります。対称n × n行列Aの半ベクトル化 vech( A ) は、 Aの下三角部分のみをベクトル化して得られるn ( n + 1)/2 × 1列ベクトルです。 $${\displaystyle \operatorname {vech} (A)=[A_{1,1},\ldots ,A_{n,1},A_{2,2},\ldots ,A_{n,2},\ldots ,A_{n-1,n-1},A_{n,n-1},A_{n,n}]^{\mathrm {T} }.}$$

たとえば、2×2 行列 の場合、半ベクトル化は です。 ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \operatorname {vech} (A)={\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}}$

行列の半ベクトル化をそのベクトル化に変換する一意の行列が存在し、その逆もまた同様であり、それぞれ複製行列と消去行列と呼ばれます。

行列を実装するプログラミング言語には、ベクトル化を簡単に行う手段がある場合があります。Matlab / GNU Octave では、行列 はによってベクトル化できます。GNU Octaveでは、と をそれぞれ使用してベクトル化と半ベクトル化も行えます。Juliaにも 関数があります。Python では、NumPy配列がメソッドを実装します^{[注 1]。一方、} Rでは、または関数を使用して目的の効果を実現できます。R では、パッケージ 'ks' の関数によってベクトル化が可能になり、パッケージ 'ks' と 'sn' の両方に実装されている関数によって半ベクトル化が可能になります。^{[2] [3] [4]}AA(:)vec(A)vech(A)vec(A) flattenc()as.vector()vec()vech()

ベクトル化は行列計算やその応用において、ランダムベクトルや行列のモーメント、漸近線、ヤコビ行列やヘッセ行列の計算などに利用されています。^[5] また、局所感度や統計診断にも利用されています。^[6]

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