3次元空間

幾何学において、3次元空間（3D空間、3-空間、まれに三次元空間）は、点の位置を決定するために3つの値（座標）が必要となる数学的空間である。最も一般的なのは3次元ユークリッド空間、つまり次元3のユークリッド空間であり、物理空間をモデル化する。より一般的な3次元空間は3次元多様体と呼ばれる。この用語は、口語的には空間のサブセット、3次元領域（または3Dドメイン）、^[1]立体図形を指すこともある。

技術的には、n個の数の組は、 n次元ユークリッド空間内の位置の直交座標として理解できます。これらのn組の集合は一般に と表記され、 n次元ユークリッド空間と直交座標系によって形成されるペアと同一視できます。n = 3の場合、この空間は ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$3次元ユークリッド空間（文脈が明らかな場合は単に「ユークリッド空間」）。^[2]古典物理学では、既知のすべての物質が存在する物理的宇宙のモデルとして機能します。相対性理論を考慮すると、時空の局所的な部分空間と考えることができます。^[3]この空間は、経験される世界をモデル化する最も説得力のある有用な方法ですが、^[4] 3次元多様体の一例にすぎません。この古典的な例では、3つの値が異なる方向（座標）の測定値を参照する場合、これらの方向が同じ平面上にない限り、任意の3つの方向を選択できます。さらに、これらの方向が互いに直交する場合、3つの値は幅、高さ、長さという用語でラベル付けされることがよくあります。

ユークリッドの『原論』第 11 巻から第 13 巻は、3 次元幾何学を扱っています。第 11 巻では、直線と平面の直交性と平行性の概念を展開し、平行六面体、角錐、角柱、球、八面体、二十面体、十二面体などの立体を定義します。第 12 巻では、立体の相似性の概念を展開します。第 13 巻では、球面上の 5 つの正多面体の構築について説明します。

17 世紀には、ルネ・デカルトの著書『幾何学』とピエール・ド・フェルマーの著書『平面と立体の場所への入門』(フェルマーの存命中には未出版) によって開発された解析幾何学の出現により、3 次元空間が直交座標で記述されるようになりました。しかし、3 次元空間を扱ったのはフェルマーの著作だけです。

19 世紀には、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによる四元数の開発により、三次元空間の幾何学が発展しました。実際、スカラーとベクトルという用語を作り出したのはハミルトンであり、これらは四元数の幾何学的枠組みの中で初めて定義されました。三次元空間は、スカラー成分がゼロの四元数、つまり で記述できるようになりました。ハミルトンは明示的に研究しませんでしたが、これによって間接的に基底の概念が導入されました。基底は四元数要素 によって表され、ドット積とクロス積も導入されました。これらは、2 つのベクトル四元数の積のスカラー部分とベクトル部分 (の負) に対応します。 ${\displaystyle q=a+ui+vj+wk}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle i,j,k}$

これら 2 つの積が独自に識別され、点積と外積の現代的な表記法が彼の教室の指導ノートで導入されたのは、ジョサイア・ウィラード・ギブスによってになってからであり、ギブスの講義に基づいてエドウィン・ビッドウェル・ウィルソンが書いた1901 年の教科書「ベクトル解析」にも記載されています。

また、19 世紀には、ヘルマン・グラスマンとジュゼッペ・ペアノの研究により、ベクトル空間の抽象形式論が発展しました。ペアノは、ベクトル空間を代数構造として現代的に定義した最初の人物です。

数学において、解析幾何学（デカルト幾何学とも呼ばれる）は、3次元空間のあらゆる点を3つの座標で記述する。3つの座標軸が与えられ、各軸は交差する点である原点において他の2つの軸と垂直である。これらは通常、 x 、 y 、 z と表記される。これらの軸を基準として、3次元空間の任意の点の位置は実数の3つ組で与えられ、各数は与えられた軸に沿って測定された原点からのその点までの距離を与え、その距離は他の2つの軸によって決定される平面からのその点までの距離に等しい。^[5]

3 次元空間内の点の位置を記述する他の一般的な方法としては、円筒座標と球面座標がありますが、考えられる方法は無数にあります。詳細については、ユークリッド空間を参照してください。

下記は上記システムのイメージです。

• 
  直交座標系
• 
  円筒座標系
• 
  球面座標系

2 つの異なる点は、常に (直線の)線を決定します。3 つの異なる点は、同一線上にあるか、一意の平面を決定します。一方、4 つの異なる点は、同一線上にあるか、同一平面上にあるか、または空間全体を決定します。

2 本の異なる線は、交差するか、平行になるか、斜めになるかのいずれかになります。2 本の平行線、または交差する 2 本の線は、固有の平面上にあります。そのため、斜めの線は交わらず、共通の平面上にない線です。

2 つの異なる平面は、共通線で交わるか、平行 (つまり交わらない) になります。どのペアも平行ではない 3 つの異なる平面は、共通線で交わるか、1 つの共通点で交わるか、共通点がないかのいずれかになります。最後のケースでは、各平面ペアの 3 本の交差線は相互に平行です。

線は、特定の平面内にある場合、その平面と唯一の点で交差する場合、または平面に平行な場合があります。最後のケースでは、平面内に特定の線と平行な線が存在します。

超平面は、全空間の次元より 1 次元小さい部分空間です。3 次元空間の超平面は、2 次元の部分空間、つまり平面です。直交座標では、超平面の点は 1 つの線形方程式 を満たすため、この 3 次元空間の平面は線形方程式で記述されます。直線は、独立した線形方程式のペアで記述できます。各線形方程式は、この直線を共通の交点とする平面を表します。

ヴァリニョンの定理によれば、任意の四辺形の中心点は平行四辺形を形成し、したがって同一平面上にあるとされます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

3 次元空間の球（2 次元オブジェクトなので 2 次元球とも呼ばれる）は、中心点 P から固定距離 r にある 3 次元空間のすべての点の集合で構成されます。球に囲まれた立体はボール（または、より正確には3 次元ボール）と呼ばれます。

ボールの体積は次のように表される。

$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$ 球の表面積は、 4 次元球から別の種類の球が発生します。この 3 次元表面は3 次元球面です。3 次元球面は、ユークリッド空間R ⁴の原点から等距離にある点です。点の座標がP ( x、y、z、w )である場合、x ² + y ² + z ² + w ² = 1は、原点を中心とする単位 3 次元球面上の点を特徴付けます。 $${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$$

この 3 次元球面は、3 次元多様体 (局所的には 3 次元空間のように見える空間) の例です。正確な位相用語で言えば、3 次元球面の各点には、3 次元空間の開集合に同相な近傍があります。

3 次元には、5 つの凸型プラトン立体と 4 つの非凸型ケプラー・ポアンソ多面体の、合計 9 つの正多面体が存在します。

平面曲線をその平面内の固定された直線を軸として回転させることによって生成される面を回転面と呼びます。平面曲線は、面の母線と呼ばれます。軸に垂直な（直交する）平面と面とが交差することによって作られる面の断面は円です。

簡単な例は、母線が直線である場合に発生します。母線が軸線と交差する場合、回転面は交差点を頂点とする直円錐になります。ただし、母線と軸が平行である場合、回転面は円柱になります。

円錐曲線と同様に、直交座標が2次の一般方程式を満たす点の集合、すなわち、 A 、 B 、C、F、G、H、J、K、L、Mが実数であり、A、B、C、F、G、Hがすべてゼロではないものを二次曲面と呼びます。^[6]$${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$

非退化二次曲面 には 6 つの種類があります。

1. 楕円
2. 一枚の双曲面
3. 2枚の双曲面
4. 楕円錐
5. 楕円放物面
6. 双曲放物面

退化した二次曲面は、空集合、単一の点、単一の直線、単一の平面、平面のペア、または二次円筒（平面πの非退化円錐曲線と、その円錐曲線を通るπに垂直なR ³のすべての直線で構成される曲面）である。^[6]楕円錐も退化した二次曲面と見なされることがある。

一枚の双曲面と双曲放物面はどちらも線織面であり、直線の族から作ることができることを意味します。実際、それぞれに2つの生成線の族があり、各族のメンバーは互いに交わっておらず、1つの族の各メンバーは、もう1つの族のすべてのメンバーを除いて交差しています。^[7]各族はレグルスと呼ばれます。

3 次元空間を捉える別の方法は、独立性の概念が極めて重要な線形代数に見られます。空間が 3 次元であるのは、箱の長さがその幅や広さに依存しないからです。線形代数の専門用語では、空間が 3 次元であるのは、空間内のすべての点が 3 つの独立したベクトルの線形結合で記述できるためです。

ベクトルは矢印として表すことができます。ベクトルの大きさはベクトルの長さで、方向は矢印が指す方向です。ベクトルは、実数の 3 つの順序付き配列で表すことができます。これらの数はベクトルの 成分と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

2つのベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]とB = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ]のドット積は次のように定義されます: ^[8]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

ベクトルAの大きさは|| A ||で表されます。ベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]とそれ自身と のドット積は

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

これにより

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

ベクトルの ユークリッド長さの公式。

ベクトルの成分を無視すると、2つの非ゼロユークリッドベクトルAとB^{のドット積は[9]}で与えられる。

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

ここでθ はAとB の間の角度です。

外積またはベクトル積は、 3 次元空間における2 つのベクトルの2 項演算であり、記号 × で表されます。ベクトル A とベクトル B の外積A × Bは、ベクトルAとベクトル Bの両方に垂直なベクトルであり、したがってベクトル A とベクトル Bを含む平面に対して垂直です。これは、数学、物理学、工学の分野で多くの用途があります。

関数言語では、外積は関数です。 ${\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

外積の成分は であり、アインシュタインの総和法を使用して という成分で表記することもできます。ここで はレヴィ・チヴィタ記号です。 という特性があります。 ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$

その大きさは、と間の角度と等式で 関係している。${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

空間と積は体 上の代数を形成します。これは可換でも結合的でもない代数ですが、積がリー括弧であるリー代数です。特に、空間と積は、で示される 3 次元回転のリー代数に同型です。リー代数の公理を満たすために、積は結合性ではなく、ヤコビ恒等式を満たします。任意の 3 つのベクトルとに対して、${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

n次元ではn −1個のベクトルの積をとって、それらすべてに垂直なベクトルを生成することができる。しかし、積がベクトル結果を伴う非自明な2値積に限定される場合、それは3次元と7次元でのみ存在する。^[10]

3 次元空間を実数上の3 次元ベクトル空間として記述すると便利です。これは、微妙に異なります。定義により、の基底が存在します。これは、との間の同型に対応します。同型の構成は、ここで見つかります。ただし、 の「推奨される」または「標準的な」基底は存在しません。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle V}$

一方、 には の好ましい基底があり、これはのコピーの直積、つまりとして記述されるためです。これにより、 の標準射影 の定義が可能になります。たとえば、です。これにより、によって定義される 標準基底の定義が可能になります。 ここで、 はクロネッカーのデルタです。完全に書き出すと、標準基底は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$$${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

したがって、は、基底の選択という追加の構造とともに、抽象ベクトル空間として見ることができます。逆に、は、デカルト積構造、または同等の標準的な基底の選択から始めて「忘れる」ことによって取得できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

一般的なベクトル空間とは対照的に、この空間は座標空間と呼ばれることもあります。^[11]${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

物理的には、特定の問題のパラメータによって構造が与えられていない場合は、できるだけ構造を仮定しないように抽象形式主義を使用することが概念的に望ましいです。たとえば、回転対称性の問題では、3 次元空間のより具体的な記述を扱うには、軸のセットに対応する基底の選択が前提となります。しかし、回転対称性では、1 つの軸のセットが、任意に回転された同じ軸のセットよりも優先される理由はありません。言い換えると、優先される軸の選択は、物理空間の回転対称性を破ります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

計算的には、具体的な計算を行うために、 より具体的な記述を扱う必要があります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

さらに抽象的な記述は、物理空間を実数上の3次元アフィン空間としてモデル化することです。これはアフィン同型を除いて一意です。これは3次元ユークリッド空間と呼ばれることもあります。ベクトル空間の記述が の「優先基底を忘れる」ことから生まれたのと同じように、アフィン空間の記述はベクトル空間の「原点を忘れる」ことから生まれます。ユークリッド空間は、ユークリッドベクトル空間と区別するためにユークリッドアフィン空間と呼ばれることもあります。^[12]${\displaystyle E(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

これは、物理空間の並進不変性を明らかにするため、物理的に魅力的です。優先原点は並進不変性を破ります。

上記の議論にはドット積は関係ありません。ドット積は内積の一例です。物理空間は、内積の構造をさらに持つベクトル空間としてモデル化できます。内積は長さと角度の概念 (したがって特に直交性の概念) を定義します。任意の内積に対して、内積がドット積と一致する基底が存在します。しかし、ここでも、多くの異なる基底が存在し、どれも好ましいものではありません。それらは回転、つまり回転群SO(3)の要素によって互いに異なります。

直交座標系では、（微分可能な）関数の勾配は次のように表される。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

指数表記では次のように書かれる。

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

（微分可能な）ベクトル場 F = U i + V j + W k、つまり関数の発散は、スカラー値関数に等しい。 ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

指数表記では、アインシュタインの和の慣例に従って、これは $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

直交座標で展開すると（球面座標と円筒座標の表現については円筒座標と球面座標の Del を参照）、回転 ∇ × Fは、Fが [ F _x、F _y、F _z ]で構成される場合に次のようになります。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

ここで、i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の単位ベクトルである。これは次のように展開される。^[13]

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

指数表記では、アインシュタインの和の慣例により、これは、 完全に反対称な記号、レヴィ-チヴィタ記号です。 $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

あるスカラー場 f  : U ⊆ R ⁿ → Rに対して、区分的に滑らかな曲線C ⊂ Uに沿った線積分は次のように定義される。

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

ここでr :[a,b]→ Cは曲線Cの任意の全単射パラメータ化であり、r ( a )とr ( b )はCとCの端点を与えます。 ${\displaystyle a<b}$

ベクトル場 F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿに対して、区分的に滑らかな曲線 C ⊂ Uに沿ったr方向の線積分は次のように定義されます。

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

ここで·はドット積であり、r :[a,b]→ Cは曲線Cの全単射パラメータ化であり、r ( a )とr ( b )はCの端点を与えます。

面積分は、多重積分を面上の積分に一般化したものである。線積分の二重積分版と考えることができる。面積分を明示的に求めるには、球面上の緯度と経度のような曲線座標系Sを考慮して、関心のある面Sをパラメータ化する必要がある。このようなパラメータ化をx ( s , t )とする。ここで、 ( s , t ) は平面上のある領域Tで変化する。すると、面積分は次のように与えられる。

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

ここで、右辺のバーの間の式は、x ( s , t )の偏導関数の外積の大きさであり、表面要素として知られています。 S上のベクトル場v 、つまりS内の各xにベクトルv ( x )を割り当てる関数が与えられた場合、表面積分は、スカラー場の表面積分の定義に従って成分ごとに定義できます。結果はベクトルです。

体積積分は、 3次元の領域または領域上の積分です。積分関数が自明（1）の場合、体積積分は単に領域の体積です。^{[14] [1]また、}関数のR ³内の領域D内の三重積分 を意味することもあり、通常は次のように記述されます。 ${\displaystyle f(x,y,z),}$

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

線積分の基本定理によれば、勾配場を通る線積分は、曲線の端点で元のスカラー場を評価することによって評価できます。

しましょう。すると ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

ストークスの定理は、ユークリッド三次元空間の曲面 Σ 上のベクトル場 Fの回転の面積分と、その境界 ∂Σ 上のベクトル場の 線積分を関連付けます。

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Vがコンパクトで区分的に滑らかな境界S （ ∂ V = Sとも表記）を持つ の部分集合であるとする（ n = 3の場合、V は3D 空間のボリュームを表す）。FがVの近傍で定義された連続微分可能ベクトル場である場合、発散定理は次のように言う：^[15]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

左側は体積V上の体積積分、右側は体積Vの境界上の面積分です。閉多様体∂ V は、一般には外向きの法線で方向付けられたVの境界であり、nは境界∂ Vの外向きの単位法線場です。( d S はn dSの省略形として使用できます。)

3次元空間には、他の次元数の空間とは異なる位相特性がいくつかあります。例えば、紐に結び目を作るには少なくとも3次元が必要です。 ^[16]

微分幾何学では、一般的な 3 次元空間は3 次元多様体であり、局所的には に類似しています。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

次元に関する多くのアイデアは有限幾何学で検証できる。最も単純な例はPG(3,2)で、これは2次元部分空間としてファノ平面を持つ。これは有限体を用いた射影幾何学の研究であるガロア幾何学の一例である。したがって、任意のガロア体GF( q )に対して、3次元の射影空間PG(3, q )が存在する。たとえば、PG(3, q )の任意の3本の斜線は、ちょうど1つのレグルスに含まれます。^[17]

• 3D回転
  • 3次元における回転形式
• 次元解析
• 点から平面までの距離
• 4次元空間
• 斜線 § 距離
• 3次元グラフ
• ソリッドジオメトリ
• オリエンテーションの条件

• アントン・ハワード（1994年）、初等線形代数（第7版）、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-58742-2
• Arfken, George B.および Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists 、Academic Press、第 6版(2005 年 6 月 21 日)。ISBN 978-0-12-059876-2。 
• ベルガー、マルセル（1987）、幾何学I、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 3-540-11658-3
• ブランナン、デイビッド A.; エスプラン、マシュー F.; グレイ、ジェレミー J. (1999)、『幾何学』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59787-6
• ラング、セルジュ（1987）、線形代数、学部生向け数学テキスト（第3版）、Springer、doi：10.1007 / 978-1-4757-1949-9、ISBN 978-1-4757-1949-9

• ウィクショナリーの3次元の辞書定義
• Weisstein, Eric W.「4次元幾何学」。MathWorld。
• 初等線形代数 - 第 8 章: 3 次元幾何学クイーンズランド大学の Keith Matthews 、1991 年