ベクトル自己回帰

ベクトル自己回帰( VAR ) は、時間の経過に伴って変化する複数の数量間の関係を捉えるために使用される統計モデルです。VAR は確率過程モデルの一種です。VAR モデルは、多変量時系列を可能にすることで、単一変数 (単変量)自己回帰モデルを一般化します。VAR モデルは、経済学や自然科学でよく使用されます。

自己回帰モデルと同様に、各変数には、時間の経過に伴う変化をモデル化する方程式があります。この方程式には、変数の遅延（過去）値、モデル内の他の変数の遅延値、および誤差項が含まれます。VAR モデルでは、同時方程式を使用する構造モデルほど、変数に影響を与える力に関する知識は必要ありません。必要な事前知識は、時間の経過とともに互いに影響を及ぼし合うと仮定できる変数のリストだけです。

VAR モデルは、内生変数と呼ばれるk個の変数のセットの時間の経過に伴う変化を表します。各期間はt = 1、...、Tと番号が付けられます。変数は長さkのベクトルy _tに集められます (同様に、このベクトルは ( k  × 1)行列として記述できます) 。ベクトルは、前の値の線形関数としてモデル化されます。ベクトルの要素はy _i、tと呼ばれ、 i番目の変数の時刻tにおける観測値を意味します。たとえば、モデルの最初の変数が時間の経過に伴う小麦の価格を測定する場合、y _{1,1998 は} 1998 年の小麦の価格を示します。

VAR モデルは次数によって特徴付けられます。次数は、モデルが使用する過去の期間の数を示します。上記の例を続けると、5 次 VAR は、各年の小麦価格を、過去 5 年間の小麦価格の線形結合としてモデル化します。ラグは、以前の期間における変数の値です。したがって、一般にp次 VAR は、過去p期間のラグを含む VAR モデルを指します。p次VAR は「VAR( p )」と表記され、「 p 個のラグを持つ VAR 」と呼ばれることもあります。p次VAR モデルは次のように記述されます 。

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{tp}+e_{t},\,}$

y _{t −i}の形式の変数は、変数のi 時間前の値を示し、 y _tの「i番目のラグ」と呼ばれます。変数c は、モデルの切片として機能する定数のkベクトルです。A i_は時間不変( k  ×  k ) 行列であり、 e _{t は}誤差項のkベクトルです。誤差項は次の 3 つの条件を満たす必要があります。

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$すべての誤差項の平均はゼロです。
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\オメガ \,}$誤差項の同時共分散行列は、Ω で表されるk  ×  kの 半正定値行列です。
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{tk}')=0\,}$ゼロでないkに対しては、時間経過に伴う相関は見られません。特に、個々の誤差項には連続相関はありません。 ^[1]

VARモデルで最大ラグpを選択するプロセスは、推論が選択されたラグ順序の正確さに依存するため、特別な注意が必要です。^{[2] [3]}

すべての変数は同じ積分次数でなければならないことに注意してください。次のケースは異なります。

• すべての変数はI(0)（定常）である。これは標準的なケース、すなわちレベルVARである。
• すべての変数はI( d )（非定常）であり、 d  >0である：^{[引用が必要]}
  • 変数は共和分化されます。つまり、誤差補正項を VAR に含める必要があります。モデルは、制限付き VAR として見ることができるベクトル誤差補正モデル(VECM) になります。
  • 変数は共和分化されていません。まず、変数は d 回差分化される必要があり、差分には VAR があります。

ベクトルを積み重ねて、VAR( p )を確率 行列差分方程式として簡潔な行列表記で表すことができます。

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

2変数のVAR(1)は行列形式（より簡潔な表記）で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

（この例では最大ラグpが1であるため、 A行列は1つだけ表示されます）、または同等に、次の2つの方程式のシステムとして 表されます。

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

モデル内の各変数には 1 つの方程式があります。各変数の現在 (時刻t ) の観測値は、その変数自体の遅延値だけでなく、VAR 内の他の各変数の遅延値にも依存します。

p 個のラグを持つ VAR は、従属変数を適切に再定義することで、常に 1 個のラグのみを持つ VAR として同等に書き換えることができます。この変換は、VAR( p ) 変数のラグを新しい VAR(1) 従属変数に積み重ね、恒等式を追加して正確な数の方程式を完成させることに相当します。

例えば、VAR(2)モデル

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

VAR(1)モデルとして書き直すことができる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

ここで、I は単位行列です。

同等のVAR(1)形式は解析的導出に便利であり、よりコンパクトなステートメントを可能にします。

pラグを持つ構造VAR（SVARと略されることもある）は

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{tp}+\epsilon _{t},}$

ここで、c ₀は定数のk  × 1 ベクトル、B _iはk  ×  k行列（すべてのi = 0、...、pについて）、ε _{t は}誤差項のk  × 1 ベクトルです。B 0行列の主対角項_（i^番目の方程式のi^番目の変数の係数）は 1 にスケーリングされます。

誤差項εt _（構造ショック）は、共分散行列の非対角要素がすべてゼロであるという特徴を伴い、上記の定義の条件（1） - （3）を満たしている。つまり、構造ショックは無相関である。 ${\displaystyle \mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')=\Sigma }$

例えば、2変数構造VAR(1)は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$

どこ

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0\\0&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}};}$

つまり、構造ショックの分散は（i = 1, 2）で表され、共分散はとなる。 ${\displaystyle \mathrm {var} (\epsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {cov} (\epsilon _{1},\epsilon _{2})=0}$

最初の式を明示的に書き、y _2,tを右辺に渡すと、次の式が得られます。

${\displaystyle y_{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1;1,1}y_{1,t-1}+B_{1;1,2}y_{2,t-1}+\epsilon _{1,t}\,}$

B _0;1,2がゼロでない場合、y _{2, t は}y _1,tに同時の影響を及ぼす可能性があることに注意してください。これは、 B _0が単位行列（すべての非対角要素がゼロである最初の定義の場合）である場合とは異なります。この場合は、y _{2, t}はy _{1, t +1}とそれ以降の将来の値に直接影響を与える可能性がありますが、 y _{1, t に}は影響を与えません。

パラメータ識別問題のため、構造 VAR の通常の最小二乗推定では矛盾したパラメータ推定値が生成されます。この問題は、VAR を簡約形式で書き直すことで解決できます。

経済的な観点から見ると、一連の変数の共同ダイナミクスを VAR モデルで表現できる場合、構造形式は基礎となる「構造的」な経済関係を描写したものになります。構造形式の 2 つの特徴により、基礎となる関係を表現するための好ましい候補となります。

1.誤差項は相関していません。経済変数のダイナミクスを駆動する構造的、経済的ショックは独立していると想定されており、これは誤差項間の相関がゼロであることを望ましい特性として意味しています。これは、VAR で経済的に無関係な影響の影響を分離するのに役立ちます。たとえば、石油価格ショック (供給ショックの例) が消費者の衣服スタイルへの嗜好の変化 (需要ショックの例) と関連している理由はないため、これらの要因は統計的に独立していると予想されます。

2.変数は他の変数に同時の影響を及ぼす可能性があります。これは、特に低頻度データを使用する場合に望ましい特徴です。たとえば、間接税率の引き上げは、その決定が発表された日には税収に影響しませんが、その四半期のデータには影響が見られる可能性があります。

構造VARにB ₀の逆数を乗算することにより

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$

および示す

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{ for }}i=1,\dots ,p{\text{ and }}B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$

p次の簡約VARを得る

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

縮小形式では、右側のすべての変数はt時点で事前に決定されていることに注意してください。右側にはt時点での内生変数がないため、モデル内の他の変数に 直接同時影響を与える変数はありません。

しかし、縮小VARの誤差項は構造ショックe _t = B ₀ ⁻¹ ε _tの合成である。したがって、1つの構造ショックε _i,tの発生は、すべての誤差項e _j,tのショックの発生につながる可能性があり、すべての内生変数の同時移動が生じる。その結果、縮小VARの共分散行列は

${\displaystyle \Omega =\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\mathrm {E} (B_{0}^{-1}\epsilon _{t}\epsilon _{t}'(B_{0}^{-1})')=B_{0}^{-1}\Sigma (B_{0}^{-1})'\,}$

非ゼロの非対角要素を持つことができるため、誤差項間の相関はゼロ以外になります。

簡潔な行列表記から始めます:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

• B を推定するための多変量最小二乗法(MLS) アプローチでは次の結果が得られます。

${\displaystyle {\hat {B}}=YZ'(ZZ')^{-1}.}$

これは次のように書くこともできます:

${\displaystyle \operatorname {Vec} ({\hat {B}})=((ZZ')^{-1}Z\otimes I_{k})\ \operatorname {Vec} (Y),}$

ここで、クロネッカー積を表し、Vec は指定された行列の ベクトル化を表します。${\displaystyle \otimes }$

この推定量は一貫性があり、漸近的に効率的である。さらに、条件付き最大尤度推定量と等しい。^[4]

• 各方程式の説明変数は同じであるため、多変量最小二乗推定量は各方程式に個別に適用される通常の最小二乗推定量と同等である。^[5]

標準的なケースと同様に、共分散行列の 最大尤度推定量(MLE) は、通常の最小二乗法 (OLS) 推定量とは異なります。

MLE推定量: ^{[引用が必要]} ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

OLS 推定量: ^{[引用が必要]定数、} k変数、pラグを持つモデルの場合。 ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

行列表記では次のようになります。

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)'.}$

パラメータの共分散行列は次のように推定できる^[要出典]

${\displaystyle {\widehat {\mbox{Cov}}}({\mbox{Vec}}({\hat {B}}))=({ZZ'})^{-1}\otimes {\hat {\Sigma }}.\,}$

ベクトル自己回帰モデルでは、多くのパラメータの推定が必要になることがよくあります。たとえば、7 つの変数と 4 つのラグがある場合、特定のラグ長の係数の各行列は 7 x 7 で、定数のベクトルには 7 つの要素があるため、合計 49 x 4 + 7 = 203 のパラメータが推定され、回帰の自由度(データ ポイントの数から推定するパラメータの数を引いた値) が大幅に低下します。これにより、パラメータ推定の精度が低下し、モデルによって提供される予測の精度が低下する可能性があります。

1次ケース（つまり、遅れが1つだけの場合）を考えてみましょう。進化の方程式は

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t},}$

進化（状態）ベクトルとショックのベクトルについて。例えば、ショックのベクトルのj番目の要素が 2 周期後の状態ベクトルのi番目の要素に与える影響（特定のインパルス応答）を調べるには、まず上記の進化の式を 1 周期遅れで書きます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

これを進化の元の方程式に当てはめると、

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

次に、2回遅れの進化方程式を使用して繰り返し、

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

このことから、のj番目の成分がのi番目の成分に与える影響は、行列のi,j要素である。${\displaystyle e_{t-2}}$${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle A^{2}.}$

この誘導プロセスから、 AR プロセスが安定している、つまり行列 A のすべての固有値の絶対値が 1 未満であると仮定すると、どのようなショックも時間の無限先の y の要素に影響を及ぼすことがわかります。ただし、その影響は時間の経過とともに小さくなっていきます 。

推定された VAR モデルは予測に使用でき、単変量自己回帰モデリングで使用される方法と完全に類似した方法で予測の品質を判断できます。

クリストファー・シムズは、マクロ 経済計量経済学における以前のモデリングの主張とパフォーマンスを批判し、VARモデルを提唱した。^{[6]彼は、時系列}統計や制御理論の統計専門分野であるシステム識別で以前に登場したVARモデルを推奨した。シムズは、VARモデルは経済関係を推定するための理論に依存しない方法を提供するため、構造モデルの「信じられないほどの識別制約」に代わるものになると主張した。^[6]

VARモデルは、特に金融経済学における新たな方法論の発展とともに進化し続けています。例えば、ChenとValcarcel（2025）^[7]は、金融政策ルールを比較するために構造VARに合理的期待を直接埋め込むことを提案し、一方、彼らの以前の研究（2021）^[8]は、金融集計量で強化されたVARモデルが、極端に低い金利の期間に政策の伝達を効果的に捉えることができることを示しています。これらの革新は、VARフレームワークを適応させて、モデルの簡素性を維持しながら複雑な経済ダイナミクスを処理できる方法を示しています。

• R :パッケージvarsにはVARモデル用の関数が含まれています。^{[9] [10]}その他のRパッケージはCRAN Task View: Time Series Analysisにリストされています。
• Python : statsmodelsパッケージの tsa (時系列分析) モジュールは VAR をサポートしています。PyFluxはVAR とベイジアン VAR をサポートしています。
• SAS : ヴァーマックス
• Stata : 「var」
• EViews：「VAR」
• グレトル：「var」
• Matlab :「varm」
• 時系列の回帰分析：「SYSTEM」
• LDDT の

• ベイズベクトル自己回帰
• 収束クロスマッピング
• グレンジャー因果律
• 分散分解

• Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011) 「ベクトル自己回帰 (VAR) モデルと因果関係テスト」。応用計量経済学(第 2 版)。ロンドン: Palgrave MacMillan。pp. 319–333。
• エンダース、ウォルター (2010)。応用計量経済時系列(第 3 版)。ニューヨーク: ジョン ワイリー アンド サンズ。pp. 272–355。ISBN 978-0-470-50539-7。
• ファヴェロ、カルロ A. (2001)。応用マクロ計量経済学。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp. 162–213。ISBN 0-19-829685-1。
• リュトケポール、ヘルムート(2005)。多重時系列分析の新入門。ベルリン: シュプリンガー。ISBN 3-540-40172-5。
• Qin, Duo (2011). 「VARモデリングアプローチの台頭」。経済調査ジャーナル。25 (1): 156–174。doi :10.1111/j.1467-6419.2010.00637.x 。
• Chen, Zhengyang ; Valcarcel, Victor J. (2021年10月)。「金融市場における金融伝達：それほど捉えどころのないパズルの欠けているピース」。経済ダイナミクスと制御ジャーナル。131 ：104214。doi ：10.1016/j.jedc.2021.104214。ISSN 0165-1889  。