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音楽の集合論において、音程ベクトルは、一連のピッチクラス（つまり、オクターブを無視したピッチのセット）に存在する音程を要約する自然数の配列です。他の名前には、 icベクトル（または音程クラスベクトル）、PICベクトル（または音程クラス音程ベクトル）、APICベクトル（または絶対音程クラス音程ベクトル、Michiel Schuijerはこれがより適切であると述べています）などがあります。[1] ：48
音程ベクトルは主に分析ツールですが、異なるピッチクラスの集合によって作成される音質を素早く示すことができるため、作曲家にとっても便利です。つまり、慣習的に不協和な音程 (2 度と 7 度) が集中している集合は不協和に聞こえ、慣習的に協和な音程 (3 度と 6 度) が多い集合は協和に聞こえます。協和音と不協和音の実際の知覚には、音域などの多くの文脈的要因が関係しますが、音程ベクトルはそれでも役立つツールになります。
意味
12 音平均律では、音程ベクトルは 6 桁で、各桁はセット内での音程クラスの出現回数を表します。音程クラスが使用されるため、セットの順列や垂直方向の配置に関係なく、特定のセットの音程ベクトルは同じままです。各桁で指定される音程クラスは、左から右に向かって増加します。つまり、次のようになります。
- 短二度/長七度（1 または 11 半音）
- 長二度/短七度（2 または 10 半音）
- 短三度/長六度（3 または 9 半音）
- 長三度/短六度（4 または 8 半音）
- 完全4度/完全5度（5または7半音）
- 三全音（6 つの半音）（三全音は反転するとそれ自体と等価です。）
ユニゾンとオクターブを表すインターバルクラス 0 は省略されます。
ハワード・ハンソンは1960年の著書『現代音楽の調和的素材』で、この概念を単項式記法で表現し、これを音程内容と名付けた。つまり、現在では⟨ abcdef ⟩と表記される部分をp e m d n c .s b d a t fと表記する。[2] [注 1]ドナルド・マルティーノが1961年に導入したこの現代の記法には、かなりの利点[具体的に]があり、オクターブの任意の均等分割に拡張できる。[3]アレン・フォルテは1973年の著書『無調音楽の構造』で、マルティーノを引用して、角括弧を使用して音程ベクトルを記譜した。[4] : 15 その後の著者、例えばジョン・ラーンは山括弧を使用している。[5] : 100
音程ベクトルが 6 つの固有の数字を持つスケールは、ディープ スケール特性を持つと言われています。メジャー スケールとそのモードには、この特性があります。
実際の例として、ルートポジション {CEG} ( )における Cメジャー トライアド( 3-11B ) のインターバル ベクトルは⟨001110⟩です。これは、セットに 1 つの長 3 度または短 6 度 (つまり、C から E または E から C)、1 つの短 3 度または長 6 度 (つまり、E から G または G から E)、および 1 つの完全 5 度または完全 4 度 (つまり、C から G または G から C) があることを意味します。インターバル ベクトルは転置や反転によって変化しないため、セット クラス全体に属します。つまり、⟨001110⟩はすべてのメジャー (およびマイナー) トライアドのベクトルです。一部のインターバル ベクトルは、転置または反転して他のセットを生成することができない複数のセットに対応します (これらは Z 関連セットと呼ばれ、以下で説明します)。
n 個のピッチクラスのセットの場合、セットの間隔ベクトル内のすべての数値の合計は二項係数 に等しくなります。間隔ベクトルの要素は、n 個の要素からなるセットのピッチクラスの各ペアを比較して計算されるためです。これは三角数にも対応します。
音程ベクトルの拡張形式は、デイヴィッド・ルーウィンの『一般化された音楽の音程と変換』に記載されているように、変換理論でも使用されます。[全文引用が必要]
Z関係
音楽集合論において、Z関係（異性関係とも呼ばれる）は、2つのピッチクラス集合間の関係であり、2つの集合は同じ音程内容（したがって同じ音程ベクトル）を持つが、転置関係（異なるT n型）または反転関係（異なるT n /T n I型）ではない。[1] ：99 たとえば、2つの集合4-z15A {0,1,4,6}と4-z29A {0,1,3,7}は同じ音程ベクトル⟨111111⟩を持つが、一方の集合を他方の集合に移調したり反転したりすることはできない。
ヘキサコルドの場合、それぞれはZヘキサコルドと呼ばれることがあります。Zタイプ以外のヘキサコルドはそれ自体の補音ですが、Zヘキサコルドの補音はそのZ対応音です。たとえば、6-Z3と6-Z36です。[4] ：79 6-Z44、6 - Z17、6 - Z11、およびフォルテ番号を参照してください。
記号「Z」は「zygotic」（ギリシャ語で、2つの生殖細胞の融合など、対になったりつながったりすることを意味する）を表し、[ 1] : 98 、Allen Forteが1964年に考案したが、この概念を最初に考え出したのはHoward Hansonであると思われる。Hansonはこれを異性体関係と呼び、そのような2つのセットを異性体と定義した。[2] : 22 参照：異性体。
Michiel Schuijer (2008) によると、2 つのピッチクラスの補完的なヘキサコルドは、転置や反転の下では等しくなくても、同じ音程ベクトルを持つというヘキサコルド定理は、ミルトン・バビットによって最初に提案され、1960 年にデビッド・ルーウィンによって補完定理の例として「関係の発見」が「報告」されました。補完定理とは、2 つの補完的なピッチクラスのセットにおけるピッチクラスの音程の差は、セットの基数の差に等しい (2 つのヘキサコルドが与えられた場合、この差は 0 です) という定理です。[1] : 96–7 [6]ヘキサコルド定理の数学的証明は、Kassler (1961)、Regenerator (1974)、および Wilcox (1983) によって発表されました。[1] : 96–7
Z 関連のセットは常にペアで出現することが一般的に観察されていますが、デイヴィッド・ルーウィンはこれが 12 音平均律(12-ET)の結果であると指摘しました。 [引用が必要] 16-ET では、Z 関連のセットは 3 連音として見つかります。ルーウィンの学生であるジョナサン・ワイルドは、他の調律システムでもこの研究を続け、より高度な ET システムでは最大 16 個のメンバーを持つ Z 関連連音を発見しました。[引用が必要]
自明な等長の場合を許容する「同じ区間内容を持つ」という同値関係は、当初は結晶学で研究され、ホモメトリーとして知られている。例えば、補数定理は物理学者にはバビネの原理として知られている。最近の調査については[7]を参照。
シュトラウスは「Z関係の[セット]は同じ音程内容を持つため、同じように聞こえる」と主張している[8] [1] : 125。 この主張により、一部の作曲家は作品の中でZ関係を利用するようになった。たとえば、エリオット・カーターの弦楽四重奏曲第2番では、{0,1,4,6}と{0,1,3,7}の間の遊びが明確に表現されている。[要出典]
乗算
いくつかのZ関連のコードは、インターバルベクトル上の1と5の要素が同一であるため、MまたはIM（ 5の乗算または7の乗算）で接続されています。 [1] ：83、110
参照
注記
- ^ セット内の協和音と不協和音の内容を定量化するために、ハンソンは不協和音の度合いに応じて音程を順序付けました。p =完全5度、m =長3度、n = 短3度、s = 長2度、d = (より不協和な) 短2度、t =第3全音です。
参考文献
- ^ abcdefgh Schuijer, Michiel (2008).無調音楽の分析：ピッチクラス集合理論とそのコンテキスト。ロチェスター大学。ISBN 978-1-58046-270-9 。
- ^ ab ハンソン、ハワード (1960)。現代音楽のハーモニックマテリアル、ニューヨーク：アップルトン・センチュリー・クロフト。ISBN 0-89197-207-2。
- ^マルティーノ、 ドナルド(1961) 。「ソースセットとその集合体の形成」。音楽理論ジャーナル。5 (2)。ニューヘブン：エール大学出版局：224-273。doi :10.2307/843226。JSTOR 843226。
- ^ abc Forte, Allen (1973).無調音楽の構造。ニューヘブン：イェール大学出版局。ISBN 0-300-01610-7。LCCN 72091295。OCLC 861792420。OL 5307893M 。 ウィキデータ Q130092153。
- ^ ラーン、ジョン(1980)。『基礎無調理論』。ニューヨーク：ロングマン。ISBN 9780582281172 。 1987年に再版、ニューヨーク：シルマーブックス、ロンドン：コリアーマクミラン。ISBN 0-02-873160-3。
- ^ ルーウィン、デイヴィッド。「音符の集合の音程内容、音符の集合とその補音間の音程関係：シェーンベルクのヘクサコルダル作品への応用」、音楽理論ジャーナル4/1（1960）：98-101。
- ^ ジョン・マンデロー、ダニエレ・ギシ、エマニュエル・アミオット、モレノ・アンドレアッタ、カルロス・アゴン。音楽分布における Z 関係とホモメトリ。 Journal of Mathematics and Music、Taylor & Francis (2011)、5 (2)、83-98。
- ^ストラウス、ジョセフ・ネイサン （ 1990年）。ポストトーナル理論入門、p.67。第1版。プレンティスホール：ニュージャージー州エングルウッドクリフス。ISBN 0-13-189890-6。シュイジャー（2008年）125ページに引用。
外部リンク
- クラスと間隔クラスのコンテンツを設定する
- ポスト機能的音楽分析入門：ポスト機能的理論用語、ロバート・T・ケリー著
- 20世紀のピッチ理論: 役に立つ用語とテクニック