複数のコンポーネント次元を持つランダム変数
確率 および 統計 において 、 多変量ランダム変数 または ランダムベクトルは、値がまだ発生していないか、値に関する知識が不完全であるため、それぞれの値が不明である数学的 変数 の リストまたは ベクトル です。ランダムベクトル内の個々の変数は、すべてが単一の数学的システムの一部であるためグループ化されます。多くの場合、それらは個々の 統計単位 の異なる特性を表します。たとえば、特定の人物には特定の年齢、身長、体重がありますが、グループ内の 不特定の人物 のこれらの特徴を表すと、ランダムベクトルになります。通常、ランダムベクトルの各要素は実数 です 。
ランダム ベクトルは、ランダム マトリックス 、 ランダム ツリー 、 ランダム シーケンス 、 確率過程 など、
さまざまな種類の集約 ランダム変数 の基礎となる実装としてよく使用されます。
正式には、多変量ランダム変数は、 列ベクトル （またはその 転置 、つまり 行ベクトル ）であり、その要素は 確率空間 上の ランダム変数 です。ここで、 は 標本空間 、 は シグマ代数 （すべてのイベントの集合）、 は 確率測度（各イベントの 確率 を返す関数） です 。
バツ
= （
バツ
1
、 … 、
バツ
ん
）
T
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}
（ Ω 、
ふ
、 ポ ）
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
Ω
{\displaystyle \オメガ}
ふ
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
ポ
{\displaystyle P}
確率分布 すべてのランダム ベクトルは、ボレル代数を 基礎とするシグマ代数 による 確率測度を生じます。この測度は、 ランダム ベクトルの
結合確率分布、結合分布、または多変量分布としても知られています。
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
各成分ランダム変数の 分布 は、 周辺分布 と呼ばれます 。 の 条件 付き確率分布は 、が特定の値であることがわかっている
場合 の の確率分布です。
バツ
私
{\displaystyle X_{i}}
バツ
私
{\displaystyle X_{i}}
バツ
じゅう
{\displaystyle X_{j}}
バツ
私
{\displaystyle X_{i}}
バツ
じゅう
{\displaystyle X_{j}}
ランダムベクトルの 累積分布関数 は 次のように定義される [1] ：p.15
ふ
バツ
:
R
ん
↦ [ 0 、 1 ]
{\displaystyle F_{\mathbf {X} }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto [0,1]}
バツ
= （
バツ
1
、 … 、
バツ
ん
）
T
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}
どこ 。
x
= （
x
1
、 … 、
x
ん
）
T
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}
ランダムベクトルの演算 ランダム ベクトルは、非ランダム ベクトルと 同じ種類の 代数演算（加算、減算、 スカラー による乗算、 内積 の計算）の対象になります。
同様に、ランダムベクトルに アフィン変換を 適用することで、新しいランダムベクトルを 定義できます 。
はい
{\displaystyle \mathbf {Y} }
グ :
R
ん
→
R
ん
{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
バツ
{\displaystyle \mathbf {X} }
はい
=
あ
バツ
+ b
{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +b}
ここで、 は 行列、 は列ベクトル です 。
あ
{\displaystyle \mathbf {A} }
ん × ん
{\displaystyle n\times n}
b
{\displaystyle b}
ん × 1
{\displaystyle n\times 1}
が可逆行列で 確率密度関数を持つ 場合 、 の確率密度 は
あ
{\displaystyle \mathbf {A} }
バツ
{\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }
f
X
{\displaystyle f_{\mathbf {X} }}
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
f
Y
(
y
)
=
f
X
(
A
−
1
(
y
−
b
)
)
|
det
A
|
{\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {A} ^{-1}(y-b))}{|\det \mathbf {A} |}}}
。
可逆マッピング より一般的には、ランダムベクトルの可逆写像を研究することができる。 [2] : p.290–291
をの開集合から の 集合へ の 一対一写像とし 、 が において連続偏微分を持ち 、 の ヤコビ行列式が のどの点においてもゼロにならないものと する。実数ランダムベクトルが 確率密度関数を持ち 、 を満たすと仮定する 。このとき、ランダムベクトルは 確率密度である。
g
{\displaystyle g}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
g
{\displaystyle g}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
g
{\displaystyle g}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}
P
(
X
∈
D
)
=
1
{\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}
Y
=
g
(
X
)
{\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}
f
Y
(
y
)
=
f
X
(
x
)
|
det
∂
x
∂
y
|
|
x
=
g
−
1
(
y
)
1
(
y
∈
R
Y
)
{\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {y} }}\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}
ここで、 は 指示関数 を表し 、 は のサポートを表します 。
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
R
Y
=
{
y
=
g
(
x
)
:
f
X
(
x
)
>
0
}
⊆
R
{\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
期待値 ランダムベクトルの期待値または平均は、 それぞれ の ランダム変数の期待値を要素とする 固定ベクトルである。 [3] ：p.333
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
E
[
X
]
{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]}
共分散と相互共分散
定義 ランダムベクトルの 共分散行列 （ 第 2 中心モーメント または分散共分散行列とも呼ばれる）は、 ( i,j ) 番目 の要素が i 番目 と j 番目の ランダム変数間の 共分散である 行列です。共分散行列は、 次のように計算される 行列 の要素ごとの期待値です。 ここで、上付き文字 T は、指定されたベクトルの転置を表します。 [2] : p. 464 [3] : p.335
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
[
X
−
E
[
X
]
]
[
X
−
E
[
X
]
]
T
{\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T}}
拡張すると、 2つのランダムベクトル と （要素 を持ち 、要素 を持つ ）間の 相互共分散行列は 行列 [3]である ：p.336
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
n
{\displaystyle n}
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
p
{\displaystyle p}
n
×
p
{\displaystyle n\times p}
ここでも行列の期待値は行列の要素ごとに取られます。ここで ( i,j ) 番目の要素は、の i 番目 の要素 との j 番目 の 要素間の共分散です 。
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
プロパティ 共分散行列は 対称行列 である、すなわち [2] ：p.466
K
X
X
T
=
K
X
X
{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}
。 共分散行列は 半正定値行列 である。すなわち [2] ：p.465
a
T
K
X
X
a
≥
0
for all
a
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}
。 相互共分散行列は 単に行列の転置である 。すなわち、
Cov
[
Y
,
X
]
{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}
Cov
[
X
,
Y
]
{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}
K
Y
X
=
K
X
Y
T
{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }^{T}}
。
2つのランダムベクトルは 、 次の場合
、 無相関と 呼ばれます。
X
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
m
)
T
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{m})^{T}}
Y
=
(
Y
1
,
.
.
.
,
Y
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}
E
[
X
Y
T
]
=
E
[
X
]
E
[
Y
]
T
{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}
。 相互共分散行列がゼロである場合にのみ、それらは無相関である 。 [3] : p.337
K
X
Y
{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}
相関と相互相関
定義 ランダムベクトルの 相関行列 （ 2 次モーメント とも呼ばれる）は、 （ i,j ） 番目の要素が i 番目 と j 番目 のランダム変数間の相関である行列である。相関行列は、次 のように計算される行列 の要素ごとの期待値であり 、上付き文字Tは指定されたベクトルの転置を表す： [4] ：p.190 [3] ：p.334
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
X
X
T
{\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}
拡張すると、 2つのランダムベクトル と （要素 を持ち 、要素を 持つ ）間の 相互相関行列 は、行列
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
n
{\displaystyle n}
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
p
{\displaystyle p}
n
×
p
{\displaystyle n\times p}
プロパティ 相関行列は共分散行列と次のように関係している。
R
X
X
=
K
X
X
+
E
[
X
]
E
[
X
]
T
{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}
。 相互相関行列と相互共分散行列についても同様です。
R
X
Y
=
K
X
Y
+
E
[
X
]
E
[
Y
]
T
{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}
直交性 同じ大きさの2つのランダムベクトルは 、次の場合 直交と 呼ばれます 。
X
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}
Y
=
(
Y
1
,
.
.
.
,
Y
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}
E
[
X
T
Y
]
=
0
{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}\mathbf {Y} ]=0}
。
独立 2つのランダムベクトル とが 独立で あると言われるの は、すべてのおよび に対して
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
⋅
F
Y
(
y
)
{\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )=F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}
ここで、 と は の累積分布関数を表し 、 は それらの結合累積分布関数を表します。 との独立性は、 と 表記されることが多いです 。 成分ごとに書かれ、 と は、 すべての に対して である場合に独立していると呼ばれます。
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}
F
Y
(
y
)
{\displaystyle F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
{\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
X
⊥
⊥
Y
{\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
x
1
,
…
,
x
m
,
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}}
F
X
1
,
…
,
X
m
,
Y
1
,
…
,
Y
n
(
x
1
,
…
,
x
m
,
y
1
,
…
,
y
n
)
=
F
X
1
,
…
,
X
m
(
x
1
,
…
,
x
m
)
⋅
F
Y
1
,
…
,
Y
n
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{1},\ldots ,X_{m}}(x_{1},\ldots ,x_{m})\cdot F_{Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n})}
。
特性関数 成分を持つ ランダムベクトルの 特性 関数 は、あらゆるベクトルを 複素数に写像する 関数である。これは [2]によって定義される :p.468
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
n
{\displaystyle n}
R
n
→
C
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }
ω
=
(
ω
1
,
…
,
ω
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {\omega } =(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{T}}
φ
X
(
ω
)
=
E
[
e
i
(
ω
T
X
)
]
=
E
[
e
i
(
ω
1
X
1
+
…
+
ω
n
X
n
)
]
{\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i(\mathbf {\omega } ^{T}\mathbf {X} )}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\omega _{1}X_{1}+\ldots +\omega _{n}X_{n})}\right]}
。
その他の特性
ランダムベクトルの 二次形式 の期待値は 次のように表される。 [5] : p.170–171
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
E
[
X
T
A
X
]
=
E
[
X
]
T
A
E
[
X
]
+
tr
(
A
K
X
X
)
,
{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}
ここで、 は の共分散行列であり 、 は行列のトレース、つまり、その主対角線（左上から右下）上の要素の合計を指します。 2 次形式はスカラーなので、その期待値もスカラー
です 。
K
X
X
{\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
tr
{\displaystyle \operatorname {tr} }
証明 :を および のランダムベクトルと し 、 を 非確率行列
とし ます。
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
m
×
1
{\displaystyle m\times 1}
E
[
z
]
=
μ
{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }
Cov
[
z
]
=
V
{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}
A
{\displaystyle A}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
次に、共分散の式に基づいて、 および と表記すると 、次のようになります。
z
T
=
X
{\displaystyle \mathbf {z} ^{T}=\mathbf {X} }
z
T
A
T
=
Y
{\displaystyle \mathbf {z} ^{T}A^{T}=\mathbf {Y} }
Cov
[
X
,
Y
]
=
E
[
X
Y
T
]
−
E
[
X
]
E
[
Y
]
T
{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}
したがって
E
[
X
Y
T
]
=
Cov
[
X
,
Y
]
+
E
[
X
]
E
[
Y
]
T
E
[
z
T
A
z
]
=
Cov
[
z
T
,
z
T
A
T
]
+
E
[
z
T
]
E
[
z
T
A
T
]
T
=
Cov
[
z
T
,
z
T
A
T
]
+
μ
T
(
μ
T
A
T
)
T
=
Cov
[
z
T
,
z
T
A
T
]
+
μ
T
A
μ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}
つまり、
Cov
[
z
T
,
z
T
A
T
]
=
tr
(
A
V
)
.
{\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV).}
これは、トレースを取得するときに 最終結果を変更せずに行列を循環的に並べ替える ことができるという事実に基づいています(例: )。
tr
(
A
B
)
=
tr
(
B
A
)
{\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}
私たちは それを見ています
Cov
[
z
T
,
z
T
A
T
]
=
E
[
(
z
T
−
E
(
z
T
)
)
(
z
T
A
T
−
E
(
z
T
A
T
)
)
T
]
=
E
[
(
z
T
−
μ
T
)
(
z
T
A
T
−
μ
T
A
T
)
T
]
=
E
[
(
z
−
μ
)
T
(
A
z
−
A
μ
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}
そして
(
z
−
μ
)
T
(
A
z
−
A
μ
)
{\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}
は スカラー なので、
(
z
−
μ
)
T
(
A
z
−
A
μ
)
=
tr
(
(
z
−
μ
)
T
(
A
z
−
A
μ
)
)
=
tr
(
(
z
−
μ
)
T
A
(
z
−
μ
)
)
{\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}
簡単です。順列を使うと次のようになります。
tr
(
(
z
−
μ
)
T
A
(
z
−
μ
)
)
=
tr
(
A
(
z
−
μ
)
(
z
−
μ
)
T
)
,
{\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}
これを元の式に代入すると次のようになります。
Cov
[
z
T
,
z
T
A
T
]
=
E
[
(
z
−
μ
)
T
(
A
z
−
A
μ
)
]
=
E
[
tr
(
A
(
z
−
μ
)
(
z
−
μ
)
T
)
]
=
tr
(
A
⋅
E
(
(
z
−
μ
)
(
z
−
μ
)
T
)
)
=
tr
(
A
V
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}
平均ゼロの ガウス 分布のランダムベクトルにおける2つの異なる二次形式の積の期待値は 次のように表される。 [5] : pp. 162–176
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
E
[
(
X
T
A
X
)
(
X
T
B
X
)
]
=
2
tr
(
A
K
X
X
B
K
X
X
)
+
tr
(
A
K
X
X
)
tr
(
B
K
X
X
)
{\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}
ここで、 は の共分散行列です 。 両方の二次形式はスカラーであり、したがってそれらの積はスカラーであるため、それらの積の期待値もスカラーです。
K
X
X
{\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
アプリケーション
ポートフォリオ理論 金融 における ポートフォリオ理論 では 、ランダムなポートフォリオ収益の分布が望ましい特性を持つようにリスク資産のポートフォリオを選択することが目的となることがよくあります。たとえば、与えられた期待値に対して分散が最も低いポートフォリオ収益を選択したい場合があります。ここで、ランダム ベクトルは 個々の資産のランダム収益のベクトルであり、ポートフォリオ収益 p (ランダム スカラー) はランダム収益のベクトルとポートフォリオ ウェイト (各資産に配分されるポートフォリオの割合) のベクトル w との内積です 。p = w T であるため 、 ポートフォリオ 収益 の 期待値は w T E( ) であり、ポートフォリオ収益の分散は w T C w と示されます (C は の共分散行列) 。
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
回帰理論 線形回帰 理論 では、従属変数 y に関する n 個の 観測値と、 k 個 の独立変数 x j それぞれに関する n 個の観測値のデータがあります。従属変数に関する観測値は列ベクトル y に積み重ねられ 、各独立変数に関する観測値も列ベクトルに積み重ねられ、これらの列ベクトルは独立変数に関する観測値の 計画行列 X (このコンテキストではランダム ベクトルを示すものではありません) に結合されます。次に、データを生成するプロセスの説明として、次の回帰方程式が仮定されます。
y
=
X
β
+
e
,
{\displaystyle y=X\beta +e,}
ここで、βはk個 の応答係数の仮定された固定だが未知のベクトルであり 、 eは従属変数に対するランダムな影響を反映する未知のランダムベクトルである。 通常の最小二乗法 などの選択された手法によって 、βの推定値としてベクトルが選択され、ベクトル e の推定値 （ と表記）は次 のように計算される。
β
^
{\displaystyle {\hat {\beta }}}
e
^
{\displaystyle {\hat {e}}}
e
^
=
y
−
X
β
^
.
{\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}
次に、統計学者は、および の特性を分析する必要があります。これらは、観察する n 個のケースをランダムに選択すると異なる値が得られるため、
ランダムベクトルとして表示されます 。
β
^
{\displaystyle {\hat {\beta }}}
e
^
{\displaystyle {\hat {e}}}
ベクトル時系列 k ×1 ランダムベクトル の時間の経過に伴う変化は、次のように ベクトル自己回帰 (VAR)としてモデル化できます 。
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
X
t
=
c
+
A
1
X
t
−
1
+
A
2
X
t
−
2
+
⋯
+
A
p
X
t
−
p
+
e
t
,
{\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}
ここで、 i 期間前のベクトル観測は の i 番目のラグ と呼ばれ 、 c は 定数（ 切片）の k × 1 ベクトル、 A i は時間不変の k × k 行列 、は 誤差項の k × 1 ランダムベクトル です 。
X
t
−
i
{\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
e
t
{\displaystyle \mathbf {e} _{t}}
参考文献
^ ギャラガー、ロバート G. (2013)。 確率過程理論の応用 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-1-107-03975-9 。 ^ abcde ラピドス、エイモス（2009）。 デジタルコミュニケーションの基礎 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-19395-5 。 ^ abcde Gubner, John A. (2006). 電気・コンピュータエンジニアのための確率とランダムプロセス 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-86470-1 。 ^ パプーリス、アタナシウス（1991）。 確率、ランダム変数、確率過程 （第3版）。マグロウヒル 。ISBN 0-07-048477-5 。 ^ ab ケンドリック、デイビッド（1981）。 経済モデルの確率的制御 。マグロウヒル 。ISBN 0-07-033962-7 。
さらに読む Stark, Henry; Woods, John W. (2012) 「ランダム ベクトル」。 エンジニアのための確率、統計、ランダム プロセス (第 4 版)。ピアソン。295 ～ 339 ページ 。ISBN 978-0-13-231123-6 。 
![{\displaystyle F_{\mathbf {X} }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b30f84c300818779899583633faa44ef4cc9100)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3027b4ba8627bb297a8039b230b2afb29a717422)
![{\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26928071db5f676c48f2cf3cdbd4bf86d06f052f)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86490c56b48869d56250f25ecdb101769cff335)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d84d647f6dffb3803750a8f44ee3068f70f44f7)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42871987cbf77a6e3ecf8ecbb23e4f33912ebcc)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb44f1d86d971aec8db66f846cfef11d848912a)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf { X} ]\演算子名 {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efa28447cc9ee6d8b3b0023ab2fc652c5717f2e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}\mathbf {Y} ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85a4e87960f920fc2b2e0d73fbc45ae39d9e0f7)
![{\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {\omega } )=\演算子名 {E} \left[e^{i(\mathbf {\omega } ^{T}\mathbf {X} )}\right]=\オペレーター名 {E} \left[e^{i(\omega _{1}X_{1}+\ldots +\omega _{n}X_{n})}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c60146238888d3530b7411e867111a572489abc)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\ mathbf {X} ]+\演算子名 {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9dfcc4b9bca76f1a66522e7b7603bd7adca96a)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c9a1f25ffb3b5b2239af348cc56c5b7ef47965)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc12db2602c6710843ecd22e6a1918f7ee86a07)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [ \mathbf {X} ]\演算子名 {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d84e6ce8bc9899e40bf71a837a358dd49d9f17)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu 、\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1248dedb225ea14b29d71dc4c7d97a07cbee7026)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV)。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abae2aaa5d16ade185de7982d6debf5f8d5327b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6d588e480ee364b9a02a3ab231217bc8ddbfa6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577d2617a04eb2dce0255889dbe7af3997cfabb1)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82326436dbf5e99dbe52e69dbddceb9b4150a9fa)
