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数学、特に幾何学において、パラメータ化（またはパラメータ化、パラメータ化とも呼ばれる）とは、暗黙の方程式によって定義される曲線、曲面、またはより一般的には多様体または多様体のパラメータ方程式を見つけるプロセスである。逆のプロセスは暗黙化と呼ばれる。[1] 「パラメータ化する」とは、それ自体で「パラメータ で表現する」ことを意味する。[2]
パラメータ化は、システム、プロセス、またはモデルの状態を、パラメータと呼ばれるいくつかの独立した量の関数として表す数学的プロセスです。システムの状態は、通常、有限の座標セットによって決定され、パラメータ化は、各座標の複数の実変数の 1 つの関数で構成されます。パラメータの数は、システムの 自由度の数です。
例えば、3次元空間の曲線上を移動する点の位置は、固定された原点から出発してその点に到達するのに必要な時間によって決まります。x 、y、zが点の座標である場合、動きはパラメトリック方程式によって記述されます[ 1]
ここでt はパラメータであり、時間を表します。このようなパラメトリック方程式は、tを時間として解釈する必要なく曲線を完全に決定するため、曲線のパラメトリック方程式と呼ばれます (パラメトリック曲線があると省略されることもあります)。同様に、2 つのパラメータtとuの関数を考慮すると、表面のパラメトリック方程式が得られます。
非一意性
パラメータ化は一般に一意ではありません。通常の3 次元オブジェクトは、直交座標( x、 y、 z )、円筒極座標( ρ、 φ、 z )、球面座標( r、 φ 、 θ )、またはその他の座標系を使用して、同様に効率的にパラメータ化 (または「座標化」) できます。
同様に、人間の三色色覚の色空間は、赤、緑、青の 3 色RGB、またはシアン、マゼンタ、黄、黒CMYKでパラメーター化できます。
次元
一般に、モデルまたは幾何学的オブジェクトを記述するために必要なパラメータの最小数は、その次元に等しく、パラメータのスコープは、許容範囲内で、パラメータ空間です。適切なパラメータ セットを使用すると、オブジェクト空間内のすべてのポイントを識別できますが、特定のパラメータ化では、異なるパラメータ値が同じポイントを参照する場合があります。このようなマッピングは、射影的ですが、単射ではありません。一例として、円筒極座標のペア (ρ, φ, z ) と (ρ, φ + 2π, z ) が挙げられます。
不変性
上で述べたように、特定のモデル、幾何学的オブジェクトなどのパラメータの選択には恣意性があります。多くの場合、この恣意性に左右されない、したがって特定のパラメータの選択から独立したオブジェクトの固有の特性を決定したい場合があります。これは特に物理学の場合に当てはまり、パラメータ化不変性(または「再パラメータ化不変性」) は、物理的に許容される理論(特に一般相対性理論)の探索における指針となります。
たとえば、ある曲線上の固定点の位置は、曲線がどのようにパラメータ化されるかによって値が決まる一連の数値で表されますが、そのような2 つの固定点間の曲線の長さ(適切に定義)は、パラメータ化の特定の選択 (この場合は、直線上の任意の点を一意にインデックスする方法) とは無関係です。したがって、曲線の長さはパラメータ化不変量です。このような場合、パラメータ化は、値がパラメータ化の詳細に依存せず、パラメータ化の詳細を参照しない結果を抽出するために使用される数学的ツールです。より一般的には、物理理論のパラメータ化不変性は、パラメータ空間の次元または体積が、問題の物理現象 (物理的に重要な量) を記述するために必要な値よりも大きいことを意味します。
一般相対性理論は座標系を参照せずに表現できますが、時空の曲率などの物理的（つまり観測可能な）量の計算では、計算に含まれる時空点を参照するために、必ず特定の座標系の導入が必要になります。したがって、一般相対性理論の文脈では、座標系の選択は時空を「パラメータ化」する方法と見なすことができ、物理的に重要な量の計算結果がその選択に影響を受けないことは、パラメータ化不変性の一例と見なすことができます。
別の例として、観測可能な量が物体のペア間の相対距離（距離の比）のみに依存する物理理論は、スケール不変であると言われています。このような理論では、計算の過程で絶対距離を参照することは、理論が不変であるパラメータの導入を意味します。
例
- 少年の表面
- コーシー分布のマカラーのパラメータ化
- パラメトリゼーション（気候） 、大循環モデルと数値天気予報のパラメトリック表現
- 特異等温球プロファイル
- ビッグバン宇宙論の標準モデルであるラムダCDMモデル
テクニック
参考文献
外部リンク
- オレゴン州立大学によるパラメータ化の簡単な説明、それがなぜ有用であるか、そしてこのテーマに関する論文のリスト。