一般化対称群

数学において、一般化対称群は、位数mの巡回群と位数nの対称群の花輪積 である。 ${\displaystyle S(m,n):=Z_{m}\wr S_{n}}$

• 一般化対称群はまさに通常の対称群です。${\displaystyle m=1,}$${\displaystyle S(1,n)=S_{n}.}$
• 2次の巡回群を正と負（）として考え、一般化対称群を符号付き対称群と同一視することができる。${\displaystyle m=2,}$${\displaystyle Z_{2}\cong \{\pm 1\}}$${\displaystyle S(2,n)}$

の要素を一般化置換行列として自然に表現することができます。ここで、非ゼロの要素は1のm乗根です。${\displaystyle S(m,n)}$${\displaystyle Z_{m}\cong \mu _{m}.}$

表現論は (Osima 1954) 以来研究されてきた。(Can 1996) の参考文献を参照。対称群と同様に、表現はSpecht 加群によって構築できる。(Can 1996) を参照。

最初の群ホモロジー群（具体的には、アーベル化）は（mが奇数の場合、これは と同型です）です。因子（すべて共役なので、アーベル群では共役は自明なので、アーベル群では同一に写像される必要があります）は に写像できます（具体的には、すべての値の積を取ることによって）が、対称群上の符号写像は を生成します。これらは独立しており、群を生成するので、アーベル化です。 ${\displaystyle Z_{m}\times Z_{2}}$${\displaystyle Z_{2m}}$${\displaystyle Z_{m}}$${\displaystyle Z_{m}}$${\displaystyle Z_{m}}$${\displaystyle Z_{2}.}$

2番目のホモロジー群（古典的な用語では、シューア乗数）は次のように与えられる（Davies & Morris 1974）。

${\displaystyle H_{2}(S(2k+1,n))={\begin{cases}1&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

${\displaystyle H_{2}(S(2k+2,n))={\begin{cases}1&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2 )^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4.\end{cases}}}$

これはnと m の偶奇性に依存することに注意してください。 これらは対称群と符号付き対称群のシュアー乗数です。 ${\displaystyle H_{2}(S(2k+1,n))\approx H_{2}(S(1,n))}$${\displaystyle H_{2}(S(2k+2,n))\approx H_{2}(S(2,n)),}$