対称群の表現論

数学において、対称群の表現論は有限群の表現論の特殊なケースであり、具体的かつ詳細な理論が得られる。対称関数理論から原子、分子、固体の量子化学研究まで、幅広い応用が期待される。^{[1] [2]}

対称群S n_の位数はnです。その共役類はnの分割によってラベル付けされます。したがって、有限群の表現論によれば、複素数上の同値でない既約表現の数は、 nの分割の数に等しくなります。有限群の一般的な状況とは異なり、共役類をパラメータ化するのと同じセット、つまりnの分割または同等のサイズnのヤング図によって既約表現をパラメータ化する自然な方法が実際にあります。

このような既約表現はそれぞれ、実際には整数（整数係数の行列によって作用するすべての順列）上で実現できます。これは、ヤング図によって与えられた形状のヤング図表によって生成された空間に作用するヤング対称化子を計算することによって明示的に構築できます。ヤング図に対応する表現の次元は、フックの長さの公式によって与えられます。 ${\displaystyle d_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$

それぞれの既約表現 ρ に既約文字 χ ^{ρ を}関連付けることができます。 χ ^ρ (π) (π は順列) を計算するには、マーナガン・ナカヤマの組み合わせ規則を使用できます 。^[3] χ ^{ρ は}共役クラスで定数であることに注意してください。つまり、すべての順列 σ に対して χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ^{−1 πσ) です。}

他の体では、状況ははるかに複雑になることがあります。体K の標数が0 かnより大きい場合、 Maschke の定理により、群代数 K S _{n は}半単純です。これらの場合、整数上で定義された既約表現は、既約表現の完全なセットを与えます (必要な場合は、標数を法として還元した後)。

しかし、対称群の既約表現は、任意の特性では知られていません。この文脈では、表現よりもモジュールの言語を使用する方が一般的です。特性を法として簡約することによって整数上に定義された既約表現から得られる表現は、一般に既約ではありません。このように構築されたモジュールはSpecht モジュールと呼ばれ、すべての既約はそのようなモジュールのどこかから生じます。現在、既約の数は少なくなっており、分類することはできますが、理解が非常に不十分です。たとえば、その次元さえ一般にはわかっていません。

任意の体上の対称群の既約加群の決定は、表現論における最も重要な未解決問題の一つとして広く考えられています。

対称群の最低次元表現は、明示的に記述することができ、^{[4] [5]}任意の体上でも記述することができる。^{[6] [ページが必要]}特性ゼロの最小の2つの次数は次のように記述される。

すべての対称群には、自明表現と呼ばれる 1 次元表現があり、そこでは各要素が 1 行 1 列の単位行列として機能します。n ≥ 2の場合、符号表現または交代特性と呼ばれる、次数 1 の別の既約表現があり、これは、置換 の符号に基づいて、要素が ±1 である 1 行 1 列の行列への置換を取ります。これらは、対称群の唯一の 1 次元表現です。1 次元表現はアーベルであり、対称群のアーベル化は、位数 2 の巡回群C ₂です。

全てのnに対して、対称群のn次元表現はn!の位数を持ち、自然置換表現 は、 n 個のを置換することで構成されます。これには、座標がすべて等しいベクトルで構成される自明な部分表現があります。直交補ベクトルは、座標の合計が 0 になるベクトルで構成され、 n ≥ 2、この部分空間上の表現は( n − 1)次元の既約表現であり、標準表現。別の( n − 1)次元の既約表現は、符号表現とのテンソル化によって見つかります。標準表現の外積は 、次の場合に既約です(Fulton & Harris 2004)。 ${\displaystyle \Lambda^{k}V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$

n ≥ 7の場合、これらは S _nの最低次元の既約表現です。他のすべての既約表現は少なくともn次元を持ちます。ただし、n = 4の場合、 S ₄からS ₃への全射により、 S _{4 は}2次元の既約表現を継承できます。n = 6の場合、 S _{5から S 6}への例外的な推移的埋め込みにより、別の5次元の既約表現のペアが生成されます。

交代群の表現論も同様ですが、符号表現は消えます。n ≥ 7の場合、最低次元の既約表現は、次元 1 の自明表現と、置換表現のもう一方の加数からの( n − 1)次元表現であり、他のすべての既約表現はより高い次元を持ちますが、 nが小さい場合は例外があります。

n ≥ 5 の交代群には、1 次元の既約表現、つまり自明表現が 1 つだけあります。n = 3、4 の場合は、位数 3 の巡回群への写像に対応する 2 つの追加の 1 次元の既約表現があります: A ₃ ≅ C ₃およびA ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃。

• n ≥ 7の場合、次数n − 1の既約表現は 1 つだけ存在し、これが非自明な既約表現の最小次数です。
• n = 3の場合、( n − 1)次元表現の明らかな類似物は簡約可能です。つまり、順列表現は通常の表現と一致し、 A ₃ ≅ C _{3 は}アーベルなので、3 つの 1 次元表現に分解されます。巡回群の表現論については、離散フーリエ変換を参照してください。
• n = 4の場合、 n − 1 の既約表現は1 つだけですが、例外的に次元 1 の既約表現が存在します。
• n = 5の場合、二十面体対称性としての作用に対応する、次元 3 の 2 つの双対既約表現が存在します。
• n = 6の場合、 A _5のA ₆へ の例外的な推移的埋め込みに対応する次元 5 の追加の既約表現が存在します。

ヤング図に対応する の2つの表現のテンソル積は、の既約表現の組み合わせである。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }}$

係数は対称群のクロネッカー係数と呼ばれます。これらは表現の 指標から計算できます(Fulton & Harris 2004)。${\displaystyle C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho }) \chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })}$

和はの分割にわたっており、対応する共役類を持つ。指標の値はフロベニウスの公式を使って計算できる。係数は ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{\rho}}$${\displaystyle \chi _{\lambda }(C_{\rho })}$${\displaystyle z_{\rho}}$

${\displaystyle z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}}$

ここで はに現れる回数であり、 となる。 ${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sum i_{j}j=n}$

ヤング図 (Hamermesh 1989) に基づいて書かれたいくつかの例:

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}}$

任意のヤング図(Hamermesh 1989)を計算するための簡単な規則があります。結果は、ボックスを 1 つ削除してからボックスを 1 つ追加することによって から取得されるすべてのヤング図の合計です。ここで、係数は、つまり異なる行の長さの数から 1 を引いた値である、それ自体を除いて 1 です。 ${\displaystyle (n-1,1)\otimes \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \#\{\lambda _{i}\}-1}$

の既約構成要素に対する制約は（James & Kerber 1981）である。 ${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }}$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }}$

ここで、ヤング図の深さは、最初の行に属さないボックスの数です。 ${\displaystyle d_{\lambda }=n-\lambda _{1}}$

ヤング図との場合、はサイズ のヤング図です。 は の有界非減少関数であり、 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n\geq \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$

は、縮小クロネッカー係数^[7]または安定クロネッカー係数と呼ばれます。^{[8] の}値には、が極限に達するときの境界が知られています。 ^[7]縮小クロネッカー係数は、 の表現のドリーニュカテゴリの構造定数です。^[9]${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\mathbb {N} }$

クロネッカー係数とは対照的に、簡約クロネッカー係数は、ヤング図の任意の三つ組に対して定義され、必ずしも同じサイズである必要はない。 の場合、 はリトルウッド-リチャードソン係数と一致する。^[10]簡約クロネッカー係数は、対称関数の空間での基底の変更を介してリトルウッド-リチャードソン係数の線形結合として表すことができ、明らかに正ではないが明らかに整数である式を生み出す。^[8]簡約クロネッカー係数は、 リトルウッドの公式を介してクロネッカー係数とリトルウッド-リチャードソン係数で表すこともできる^{[11] [12]}${\displaystyle |\nu |=|\lambda |+|\mu |}$${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$${\displaystyle c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }}$

逆に、クロネッカー係数を縮小クロネッカー係数の線形結合として回復することが可能である。^[7]

簡約クロネッカー係数はコンピュータ代数システムSageMathに実装されている。^{[13] [14]}

巡回型で の位数を持つ元が与えられたとき、の複素表現におけるの固有値はを持つ型であり、ここで整数は表現に対するの巡回指数と呼ばれる。 ^[15]${\displaystyle w\in S_{n}}$${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}$${\displaystyle m={\text{lcm}}(\mu _{i})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}}$${\displaystyle e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle w}$

対称群（およびその輪積）の巡回指数の組み合わせ的記述がある。 を定義して、標準ヤング図の -指数を、図の降下におけるの値の合計とします。すると、ヤング図によって記述されるの表現の巡回指数は、対応するヤング図の -指数になります。 ^[15]${\displaystyle \left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle b_{\mu }}$${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$

特に、が の位数である場合、 となり、 は（降下の合計）の主要指数と一致します。 の既約表現の巡回指数は、が巡回群の表現に分解される様子を記述し、 はによって特徴付けられる（1 次元）表現におけるの像として解釈されます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{\mu }(k)=k}$${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle e_{j}}$

• 交代多項式
• 対称多項式
• シューア関手
• ロビンソン・シェンステッド通信
• シューア・ワイル双対性
• ジューシーズ・マーフィー要素
• ガルニール関係

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー (2004)。「表現理論」。Graduate Texts in Mathematics。ニューヨーク、NY: Springer New York。doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9。ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN  0072-5285.
• ハマーメッシュ、M（1989）。群論と物理的問題への応用。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-66181-4. OCLC  20218471.
• ジェームズ、ゴードン、カーバー、アダルベルト（1981）、対称群の表現理論、数学とその応用百科事典、第16巻、アディソン・ウェズリー出版社、マサチューセッツ州レディング、ISBN 978-0-201-13515-2、MR  0644144
• ジェームズ、GD (1983)、「対称群の既約表現の最小次元について」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、94 (3): 417–424、Bibcode :1983MPCPS..94..417J、doi :10.1017/S0305004100000803、ISSN  0305-0041、MR  0720791、S2CID  123113210