代数構造

数学において、代数構造または代数システム^[1]は、空でない集合 A（基礎集合、キャリア集合、またはドメインと呼ばれる）、 Aに対する演算の集合（通常は加算や乗算などの2項演算）、およびこれらの演算が満たさなければならない恒等式の有限集合（公理と呼ばれる）で構成されます。

代数構造は、複数の構造を含む演算と公理を持つ他の代数構造に基づく場合があります。たとえば、ベクトル空間には、体と呼ばれる 2 番目の構造と、体の要素 (スカラーと呼ばれる) とベクトル空間の要素(ベクトルと呼ばれる) 間のスカラー乗算と呼ばれる演算が含まれます。

抽象代数学は、代数構造の研究に一般的に付けられる名前です。代数構造の一般理論は、普遍代数学で形式化されています。カテゴリー理論は、同じタイプの構造間の他の数学的構造と関数(準同型)も含む別の形式化です。

普遍代数学では、代数構造は代数と呼ばれます。^[2]この用語は曖昧である可能性があります。なぜなら、他の文脈では、代数は、体上のベクトル空間または可換環上の加群である代数構造だからです。

与えられた型（同じ演算と同じ法則）のすべての構造の集合は、普遍代数学では多様体と呼ばれます。この用語は、代数幾何学では代数多様体の略語として、まったく異なる意味でも使用されます。圏論では、与えられた型のすべての構造の集合とそれらの間の準同型は、具体的な圏を形成します。

加算と乗算は、集合の 2 つの要素を組み合わせて同じ集合の 3 番目の要素を作成する演算の典型的な例です。これらの演算は、いくつかの代数法則に従います。たとえば、 a + ( b + c ) = ( a + b ) + cおよびa ( bc ) = ( ab ) c は結合法則であり、a + b = b + aおよびab = baは交換法則です。数学者が研究する多くのシステムには、通常の算術の法則の一部 (必ずしもすべてではない) に従う演算があります。たとえば、3 次元空間でのオブジェクトの可能な動きは、オブジェクトの最初の移動を実行し、次に新しい位置から 2 番目の移動を実行することで組み合わせることができます。正式には剛体運動と呼ばれるこのような動きは、結合法則に従いますが、交換法則を満たしません。

特定の法則に従う 1 つ以上の演算を持つ集合は、代数構造と呼ばれます。新しい問題がそのような代数構造と同じ法則を伴う場合、その構造の法則のみを使用して証明されたすべての結果を、新しい問題に直接適用できます。

一般的に、代数構造には、2 つ以上の要素を組み合わせる演算 (多項式演算) や、引数を 1 つだけ取る演算(単項演算)、引数を 0 個取る演算 (零項演算)など、任意の演算の集合が含まれる場合があります。以下に挙げる例は決して完全なリストではありませんが、学部課程で教えられる最も一般的な構造が含まれています。

代数構造の公理は、多くの場合、恒等式、つまり等号の両辺が代数構造と変数の演算を含む式である方程式の形をとります。恒等式の変数が代数構造の任意の要素に置き換えられても、等式は必ず成り立ちます。一般的な例をいくつか示します。

可換性

代数構造内のすべてのxとyに対して、演算は可換です。${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*y=y*x}$$

結合性

代数構造内のすべてのx、y、zに対して演算が結合的である場合。${\displaystyle *}$$${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$$

左分配性

ある演算が別の演算に関して左分配的であるとは、代数構造内の任意のx、y、zに対して成り立つ場合をいいます (多くの一般的な例では 2 番目の演算は加算であるため、ここでは 2 番目の演算は と表記されます)。${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$$${\displaystyle +}$

正しい分配性

代数構造内の任意のx、y、zに対して、ある演算が別の演算に関して右分配的である場合。${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$$

分配性

ある演算が別の演算に対して分配的であるとは、その演算が左分配的かつ右分配的である場合を指します。演算が可換である場合、左分配性と右分配性は両方とも分配性と同等です。${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$

一般的な公理には存在節が含まれるものがあります。一般に、そのような節は、さらなる演算を導入し、存在節を新しい演算を含む恒等式に置き換えることで回避できます。より正確には、「すべてのXに対して、となるyが存在する 」という形式の公理を考えてみましょう。ここで、Xはk組の変数です。Xの各値に対してyの特定の値を選択すると、k個の演算と見なすことができる関数が定義され、公理は恒等式になります。${\displaystyle f(X,y)=g(X,y)}$${\displaystyle \varphi :X\mapsto y,}$ ${\displaystyle f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).}$

このような補助演算の導入は、公理の記述を少し複雑にするが、いくつかの利点もある。特定の代数構造が与えられた場合、存在公理が満たされていることの証明は、一般的に補助関数の定義で構成され、簡単な検証で完了する。また、代数構造で計算する場合、一般的に補助演算を明示的に使用する。たとえば、数の場合、加法逆関数は単項マイナス演算によって提供される。${\displaystyle x\mapsto -x.}$

また、普遍代数学では、多様体とは、すべての公理が恒等式であるという条件で、同じ演算と同じ公理を共有する代数構造のクラスです。前述の内容は、上記形式の存在公理が多様体の定義で受け入れられることを示しています。

最も一般的な存在公理のいくつかを以下に示します。

アイデンティティ要素

構造内のすべてのxに対して要素eが存在する場合、二項演算に は単位元があります。ここで、補助演算は結果としてe を持つ、アリティ 0 の演算です。${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x}$$

逆要素

単位元e を持つ二項演算が与えられた場合、逆元を持つ場合、つまり、次のような元が存在する場合、要素xは可逆です。たとえば、群は、結合的で、単位元を持ち、すべての要素が可逆である二項演算を持つ代数構造です。${\displaystyle *}$${\displaystyle \operatorname {inv} (x)}$$${\displaystyle \operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.}$$

代数構造の公理は、任意の一階述語式、つまり論理接続詞（「and」、「or」、「not」など）と、構造の要素（サブセットではない）に適用される論理量指定子（）を含む式です。 ${\displaystyle \forall ,\exists }$

そのような典型的な公理は、体における反転である。この公理は、先行する型の公理に還元することはできない。（従って、体は普遍代数の意味で多様体を形成しない。） 「体のすべての非ゼロ要素は反転可能である」と述べることができる。または、同等に、構造には単項演算invがあり、

${\displaystyle \forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.}$

演算inv は、x = 0に対して定義されていない部分演算として、または 0 での値が任意であり使用してはならない通常の関数として 見ることができます。

シンプルな構造:バイナリ演算なし :

• 集合: 演算を持たない退化した代数構造S。

グループのような構造: 1 つの二項演算。二項演算は、実数の通常の乗算​​と同様に、任意の記号で示すことも、記号なし (並置) で示すこともできます。

• グループ:単項演算 (逆) を持つモノイドで、逆元を生成します。
• アーベル群: 二項演算が可換な群。

リング状構造またはリングイド:加算と乗算と呼ばれる2 つのバイナリ演算で、乗算は加算に分配されます。

• 環: 加法モノイドがアーベル群である半環。
• 除算環:非ゼロ元による除算が定義されている非自明な環。
• 可換環: 乗算演算が可換である環。
• 体: 可換除算環 (つまり、すべての非ゼロ要素の逆元を含む可換環)。

格子構造: 2つ以上の二項演算（meetやjoinと呼ばれる演算を含む）が吸収法則によって結合されたもの。^[3]

• 完全格子: 任意の接合部と結合部が存在する格子。
• 有界格子:最大要素と最小要素を持つ格子。
• 分配格子: 交わりと結合がそれぞれ他方に分配される格子。和集合と積集合の下でのべき集合は分配格子を形成します。
• ブール代数: 補完的な分配格子。 meet または join のいずれかを、他方と補完の観点から定義できます。

• モジュール: アーベル群Mと環R はM上の演算子として作用します。 Rの要素はスカラーと呼ばれることもあり、スカラー乗算の二項演算は関数R  ×  M → Mであり、いくつかの公理を満たします。環演算を数えると、これらのシステムには少なくとも 3 つの演算があります。
• ベクトル空間: 環Rが体、または状況によっては分割環であるモジュール。

• 体上の代数: 体上のモジュールであり、モジュール構造と互換性のある乗算演算も実行します。これには、加算に対する分配性と乗算に関する線形性が含まれます。
• 内積空間:定常双線型形式V × V → Fを持つ体Fとベクトル空間V。

代数構造は、半順序や位相などの非代数的性質の追加構造と共存することもできます。追加構造は、ある意味では代数構造と互換性がなければなりません。

• 位相群: グループ演算と互換性のあるトポロジを持つグループ。
• リー群: 互換性のある滑らかな多様体構造を持つ位相群。
• 順序付き群、順序付き環、順序付き体: それぞれ互換性のある半順序を持つ構造のタイプ。
• アルキメデス群:アルキメデスの性質が成り立つ線形順序群。
• 位相ベクトル空間: Mが互換性のある位相を持つベクトル空間。
• ノルムベクトル空間: 互換性のあるノルムを持つベクトル空間。そのような空間が（距離空間として）完全である場合、それはバナッハ空間と呼ばれます。
• ヒルベルト空間: 実数または複素数上の内積空間であり、その内積はバナッハ空間構造を生じます。
• 頂点作用素代数
• フォン・ノイマン代数:弱作用素位相を備えたヒルベルト空間上の作用素の *-代数。

代数構造は、公理の異なる構成を通じて定義されます。普遍代数は、そのようなオブジェクトを抽象的に研究します。1 つの大きな二分法は、恒等式によって完全に公理化された構造と、そうでない構造の間にあります。代数のクラスを定義するすべての公理が恒等式である場合、このクラスは多様体です (代数幾何学の代数多様体と混同しないでください)。

恒等式は、構造が許す演算と、関連する宇宙上で暗黙的に普遍量化された変数のみを使用して定式化された方程式です。恒等式には、許可された演算以外の接続詞、存在量化された変数、またはあらゆる種類の関係は含まれません。多様体の研究は普遍代数の重要な部分です。多様体内の代数構造は、項代数（「絶対自由代数」とも呼ばれる）を一連の恒等式によって生成された同値関係で割った商代数として理解できます。したがって、指定されたシグネチャを持つ関数のコレクションは、自由代数、項代数T を生成します。等式恒等式（公理）の集合が与えられた場合、それらの対称的な推移的閉包E を検討できます。商代数T / Eは、代数構造または代数多様体です。したがって、たとえば、群は 2 つの演算子を含むシグネチャを持ちます。2 つの引数を取る乗算演算子mと、 1 つの引数を取る逆演算子i、および定数である単位元e は、引数を取らない演算子と見なすことができます。変数x、y、zなどの (可算な) 集合が与えられた場合、項代数は、 m、i、eおよび変数を含むすべての可能な項の集合です。したがって、たとえば、m ( i ( x )、m ( x、m ( y、e ))) は項代数の要素になります。群を定義する公理の 1 つは、単位元m ( x、i ( x )) = eであり、もう 1 つはm ( x、e ) = xです。公理はツリーとして表現できます。これらの方程式は、自由代数上の同値類を誘導します。したがって、商代数は群の代数構造を持ちます。

いくつかの構造は、次のいずれかの理由で多様体を形成しません。

1. 0 ≠ 1 であることが必要であり、0 は加法単位元であり、1 は乗法単位元であるが、これは非単位元である。
2. 体などの構造には、 Sの非ゼロのメンバーに対してのみ成立する公理がいくつかあります。代数構造が多様体であるためには、その演算がSのすべてのメンバーに対して定義されている必要があり、部分的な演算は存在できません。

不可避的に非単位元を公理に含む構造は、数学において最も重要な構造の 1 つです (たとえば、体や除算環 )。非単位元を含む構造は、多様体では発生しない課題を提示します。たとえば、 2 つの体の直積は体ではありません。なぜなら ですが、体には零因子がないからです。 ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

カテゴリー理論は代数構造を研究するためのもう 1 つのツールです (たとえば、Mac Lane 1998 を参照)。カテゴリーは、関連付けられた射を持つオブジェクトのコレクションです。すべての代数構造には、準同型という独自の概念、つまり構造を定義する演算と互換性のある関数があります。このように、すべての代数構造からカテゴリーが生成されます。たとえば、グループのカテゴリーには、すべてのグループがオブジェクトとして含まれ、すべてのグループ準同型が射として含まれます。この具体的なカテゴリーは、カテゴリ理論的構造が追加された集合のカテゴリーと見なすことができます。同様に、位相群のカテゴリー(その射は連続グループ準同型) は、追加の構造を持つ位相空間のカテゴリーです。代数構造のカテゴリー間の忘却関数は、構造の一部を「忘れます」。

圏論には文脈の代数的特徴を捉えようとする様々な概念がある。例えば

• 代数カテゴリ
• 本質的に代数的なカテゴリ
• 見栄えの良いカテゴリー
• 現地で展示可能なカテゴリー
• モナド関数とカテゴリ
• 普遍的な財産。

表記法を少し乱用すると、「構造」という語は、基礎となる集合自体ではなく、構造に対する演算だけを指すこともあります。たとえば、「集合 に環構造を定義しました」という文は、集合 に環演算を定義したことを意味します。別の例として、群 は代数構造、つまり演算を備えた集合と見なすことができます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle +}$

• フリーオブジェクト
• 数学的構造
• 署名（ロジック）
• 構造（数学的論理）

• マックレーン、サンダース、バーコフ、ギャレット（1999）、代数（第2版）、AMSチェルシー、ISBN 978-0-8218-1646-2
• ミシェル、アンソニー N.; ハーゲット、チャールズ J. (1993)、応用代数と関数解析、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-67598-5
• バリス、スタンリー N.; サンカッパナヴァール、HP (1981)、普遍代数の講座、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-90578-3

カテゴリー理論

• マック・レーン、サンダース（1998）、Category for the Working Mathematician（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98403-2
• テイラー、ポール（1999）、数学の実践的基礎、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-63107-5

• Jipsen の代数構造。ここには記載されていない多くの構造が含まれています。
• 抽象代数に関する Mathworld のページ。
• スタンフォード哲学百科事典：ヴォーン・プラット著『代数学』 。