交代群と対称群の被覆群

群論の数学の分野において、交代群と対称群の被覆群は、交代群と対称群の射影表現を理解するために使用される群である。被覆群は (Schur 1911) で分類された。n ≥ 4の場合、被覆群は 2 重被覆であるが、交代群が 6 重被覆および 7 重被覆となる次数 6 および 7 の場合、被覆群は 2 重被覆である。

たとえば、2元二十面体群は、次数5の交代群である二十面体群をカバーし、2元四面体群は、次数4の交代群である 四面体群をカバーします。

DからGへの群準同型は、次の場合、有限群Gのシューア被覆であると言われる:

1. 核はDの中心と交換子部分群の両方に含まれ、
2. このような準同型の中で、このD は最大の大きさを持ちます。

Gのシューア乗数は、あらゆるシューア被覆の核であり、多くの解釈があります。準同型性が理解されている場合、群D はシューア被覆または Darstellungsgruppe と呼ばれることがよくあります。

対称群と交代群のシュアー被覆は (Schur 1911) で分類されました。次数n ≥ 4の対称群には、位数 2⋅ n ! のシュアー被覆があります。n ≠ 6の場合は同型類が 2 つ、n = 6 の場合は同型類が 1 つあります。次数nの交代群には、位数n !のシュアー被覆の同型類が 1 つあります。ただし、 nが 6 または 7 の場合は、シュアー被覆の位数は 3⋅ n ! です。

シュアー被覆は生成元と関係式によって記述できる。対称群 S _{n は}、 i = 1, 2, ..., n − 1に対してn − 1 個の生成元t _iと関係式 上の表現を持つ。

t _i t _i = 1、ただし1 ≤ i ≤ n − 1

t _{i +1} t _i t _{i +1} = t _i t _{i +1} t _i、ただし1 ≤ i ≤ n − 2

t _j t _i = t _i t _j、ただし1 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n − 1。

これらの関係は対称群の2つの非同型被覆を記述するのに使用できる。1つの被覆群2⋅S⁻
_いいえ生成元z、t ₁、...、t _{n −1}と関係式を持つ:

zz = 1

t _i t _i = z、ただし1 ≤ i ≤ n − 1

t _{i +1} t _i t _{i +1} = t _i t _{i +1} t _i、ただし 1 ≤ i ≤ n − 2

t _j t _i = t _i t _j z、ただし1 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n − 1。

同じグループ2⋅S⁻
_いいえi が奇数か偶数か に応じてt _iまたはt _i zによって生成される生成子zとs _{i を使用して、次のように表現できます。}

zz = 1

s _i s _i = z、ただし1 ≤ i ≤ n − 1

s _{i +1} s _i s _{i +1} = s _i s _{i +1} s _i z、ただし1 ≤ i ≤ n − 2

s _j s _i = s _i s _j z、ただし 1 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n − 1。

もう一つの被覆群2⋅S⁺
_いいえ生成元z、t ₁、...、t _{n −1}と関係式を持つ:

zz = 1、zt _i = t _i z、ただし1 ≤ i ≤ n − 1

t _i t _i = 1、ただし1 ≤ i ≤ n − 1

t _{i +1} t _i t _{i +1} = t _i t _{i +1} t _i z、ただし1 ≤ i ≤ n − 2

t _j t _i = t _i t _j z、ただし1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n − 1。

同じグループ2⋅S⁺
_いいえi が奇数か偶数か に応じてt _iまたはt _i zによって生成される生成子zとs _{i を使用して、次のように表現できます。}

zz = 1、zs _i = s _i z、ただし1 ≤ i ≤ n − 1

s _i s _i = 1、ただし1 ≤ i ≤ n − 1

s _{i +1} s _i s _{i +1} = s _i s _{i +1} s _i、ただし1 ≤ i ≤ n − 2

s _j s _i = s _i s _j z、ただし1 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n − 1。

対称群のすべての関係は、( t _i t _j ) ^{m _ij} = 1と表現されることがあります。ここで、m _ijは負でない整数、つまり、1 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n − 1に対して、 m _ii = 1、m _{i、i +1} = 3、m _ij = 2です。2⋅S⁻
_いいえは、この形では特に簡単になります: ( t _i t _j ) ^{m _ij} = z、zz = 1。群2⋅S⁺
_いいえ生成子がすべて 2 次であるという優れた特性があります。

被覆群は、群の射影表現を分類するためにIssai Schurによって導入されました。群Gの (複素)線型表現は、群Gから一般線型群への群準同型G → GL( n , C )であり、射影表現は、 Gから射影線型群への準同型G → PGL( n , C )です。 Gの射影表現は、Gの被覆群の線型表現に自然に対応します。

交代群と対称群の射影表現がこの本の主題です (Hoffman & Humphreys 1992)。

被覆群は、第 2群ホモロジー群 H ₂ ( G , Z ) に対応し、シューア乗数としても知られています。交代群 A _nのシューア乗数は ( nが少なくとも 4の場合) 2 次巡回群ですが、 nが 6 または 7 の場合は三重被覆もあります。これらの場合、シューア乗数は 6 次巡回群であり、被覆群は 6 重被覆です。

H ₂ (A _n , Z ) = 0（n ≤ 3の場合）

H ₂ (A _n , Z ) = Z /2 Z （ n = 4, 5の場合）

H ₂ (A _n , Z ) = Z /6 Z （ n = 6, 7の場合）

H ₂ (A _n , Z ) = Z /2 Z （ n ≥ 8の場合）

対称群では、n ≤ 3 ではシューア乗数はゼロとなり、n ≥ 4 では次数 2 の巡回群となる。

H ₂ (S _n , Z ) = 0 （n ≤ 3の場合）

H ₂ (S _n , Z ) = Z /2 Z （ n ≥ 4の場合）

二重被覆は、 A _nと S _nの忠実で既約な線型表現のスピン（それぞれピン）被覆として構成できます。これらのスピン表現はすべてのnに対して存在しますが、被覆群となるのはn ≥ 4（ A _nの場合はn ≠ 6, 7 ）の場合のみです。n ≤ 3 の場合、 S _nと A _{n は}それぞれ独自の Schur 被覆になります。

明示的には、 S _{n は}n次元空間R ⁿに対して、座標を（行列では置換行列として）入れ替えることによって作用します。これには、すべての座標が等しいベクトルに対応する 1 次元の自明な部分表現があり、相補的な( n − 1)次元部分表現（座標の合計が 0 になるベクトル）は、n ≥ 4に対して既約です。幾何学的には、これは( n − 1)単体の対称性であり、代数的には、マップを生成し、これらを離散部分群（点群）として表現します。特殊直交群には、スピン群Spin( n ) → SO( n )による 2 重被覆があり、この被覆を A _nに制限して逆像を取ると、2 重被覆2⋅A _n → A _nが生成されます。ピン群を用いた同様の構成は、対称群の2重被覆をもたらす：Pin _± ( n ) → O( n )。2つのピン群があるので、対称群の2重被覆は2つの異なる2⋅Sである。${\displaystyle A_{n}\hookrightarrow \operatorname {SO} (n-1)}$${\displaystyle S_{n}\hookrightarrow \operatorname {O} (n-1)}$ ^±
_n、Ŝ _nとも呼ばれます。 ${\displaystyle {\チルダ {\mathrm {S} }}_{n}}$

_{A 6}の三重被覆3⋅A ₆と表記され、対応する S ₆の三重被覆3⋅S _{6 は}、複素 6 次元空間内の特定のベクトル集合の対称性として構築できます。 A ₆と A ₇の例外的な三重被覆はS ₆と S _7の拡大に拡張されますが、これらの拡大は中心ではないため、シューア被覆を形成しません。

この構成は散在群の研究において重要であり、また、マシュー群 M ₂₄、射影ユニタリ群 U ₄ (3) と射影特殊線型群の例外被覆、 リー型群G ₂ (4)の例外二重被覆など、小型の古典群や例外群の例外的挙動の多くにおいて重要である。^[要出典]${\displaystyle L_{3}(4),}$

低次元の場合、有限体上の特殊線型群から射影特殊線型群への写像と例外的に同型であるものがあります。

n = 3の場合、対称群はSL(2, 2) ≅ PSL(2, 2)であり、それ自身のSchur被覆である。

n = 4の場合、交代群のシュアー被覆は SL(2, 3) → PSL(2, 3) ≅ A _{4で与えられ、これは}四面体群を覆うバイナリ四面体群と考えることもできます。同様に、 GL(2, 3) → PGL(2, 3) ≅ S _{4はシュアー被覆ですが、 GL(2,9) に含まれる S 4}の2番目の非同型シュアー被覆があります。9 = 3 ²であるため、これはGL(2, 3) のスカラーの拡張であることに注意してください。上記の表現では、 GL(2, 3) ≅ Ŝ ₄です。

n = 5の場合、交代群の Schur 被覆は SL(2, 5) → PSL(2, 5) ≅ A _{5で与えられ、これは}20 面体群を覆うバイナリ 20 面体群と考えることもできます。 PGL(2, 5) ≅ S ₅ですが、 GL(2, 5) → PGL(2, 5) は、核が GL(2 ,5) の導出部分群に含まれていないため Schur 被覆ではありません。 PGL(2, 5) の Schur 被覆は GL(2, 25) に含まれます。前と同じように、25 = 5 ²なので、これはスカラーを拡張します。

n = 6の場合、交代群の二重被覆は SL(2, 9) → PSL(2, 9) ≅ A _{6で与えられる。 PGL(2, 9) は PSL(2, 9) ≅ A 6}の自己同型群PΓL (2, 9)に含まれるが、 PGL(2, 9) は S ₆と同型ではなく、そのシューア被覆（二重被覆）は GL(2, 9) にもその商にも含まれない。 A ₆の唯一の例外を除いて、ほとんどすべての場合において、 A ₆の例外的な外部自己同型によることに留意されたい。 A ₆の自己同型群の別の部分群はM ₁₀、つまり 10 次マシュー群であり、そのシューア被覆は三重被覆である。対称群_S6自体のシュアー被覆は、d≤3に対してGL( d ,9)の部分群として忠実な表現を持たない。A6の_自己同型群PΓL(2,9)の4つのシュアー被覆は二重被覆である。 ${\displaystyle S_{n}\cong \operatorname {Aut} (A_{n}),}$

n = 8の場合、交代群 A ₈は SL(4, 2) = PSL(4, 2) と同型であり、したがって SL(4, 2) → PSL(4, 2) は 2 対 1 ではなく 1 対 1 であり、シュア被覆ではありません。

有限完全群のシューア被覆は超完全であり、つまり、第一および第二の整ホモロジーが両方ともゼロである。特に、n ≥ 4のA _nの二重被覆はn = 6, 7を除いて超完全であり、A _nの六重被覆はn = 6, 7に対して超完全である。

_{単純群の幹拡張として、A n}の被覆群はn ≥ 5に対して準単純群である。