対称群と交代群の自己同型

数学の一分野である群論 では、対称群と交代群の自己同型と外部自己同型は、どちらもこれらの自己同型の標準的な例であり、それ自体が研究対象であり、特に6 元の対称群である S _{6の例外的な外部自己同型が研究対象となっています。}

• ${\displaystyle n\neq 2,6}$: 、したがって。${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {C} _{1}}$

形式的には、は完全であり、自然な写像は同型です。${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})}$

• ${\displaystyle n\neq 1,2,6}$:であり、外部自己同型は奇順列による共役である。${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n\neq 2,3,6}$:${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$

実際、自然写像は同型写像です。${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})\to \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})}$

• ${\displaystyle n=1,2}$: 些細なこと:

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{ 1})=\演算子名 {Out} (\mathrm {A} _{1})=\mathrm {C} _{1}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{ 2})=\演算子名 {Out} (\mathrm {A} _{2})=\mathrm {C} _{1}}$

• ${\displaystyle n=3}$:${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{3})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm { A} _{3}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$:であり、半直積です。${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$：、 そして${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}.}$

対称群の中で、S ₆だけが非自明な外部自己同型を持ち、これは例外的（例外リー代数と類似）または異常と呼ぶことができる。実際、Out(S ₆ ) = C ₂である。^[2]

これは1895年にオットー・ヘルダーによって発見されました。 ^{[2] [3]}

外部自己同型の具体的な性質は以下のとおりである。偶数部分群 (A ₆ ) 内の 360 個の順列は、互いに変換される。

• 唯一の恒等順列はそれ自身にマッピングされます。
• (1 2 3)のような3サイクルは、(1 4 5)(2 6 3)のような2つの3サイクルの積にマッピングされ、その逆も同様で、それぞれ40通りの順列が考えられます。
• (1 2 3 4 5) のような 5 サイクルは (1 3 6 5 2) のような別の 5 サイクルにマッピングされ、144 通りの順列が考えられます。
• (1 2)(3 4)のような2つの2サイクルの積は、(3 5)(4 6)のような別の2つの2サイクルの積にマッピングされ、45通りの順列が生じる。
• (1 2 3 4)(5 6)のような2サイクルと4サイクルの積は、(1 4 2 6)(3 5)のような別の順列にマッピングされ、残りの90通りの順列が説明されます。

そして、奇数部分も保存されます。

• (1 2)のような2サイクルは、(1 2)(3 4)(5 6)のような3つの2サイクルの積にマッピングされ、その逆も同様で、それぞれ15通りの順列がある。
• (1 2 3)(4 5)のような2サイクルと3サイクルの積は(1 2 5 3 4 6)のような6サイクルにマッピングされ、その逆も同様で、それぞれ120通りの順列が存在する。
• (1 2 3 4) のような 4 サイクルは (1 6 2 4) のような別の 4 サイクルにマッピングされ、残りの 90 通りの組み合わせが説明されます。

したがって、6 つの要素上の 720 通りの順列がすべて説明されます。外部自己同型は一般にサイクル構造を保存せず、一部の単一サイクルを 2 つまたは 3 つのサイクルの積にマッピングし、その逆も同様です。

これにより、 A ₆の別の外部自己同型も得られ、これは有限単純群の唯一の例外的な外部自己同型です。^[4]単純群の無限族に対して、外部自己同型の数の公式があり、 A ₆として考えられた順序 360 の単純群は、4 つではなく 2 つの外部自己同型を持つことが期待されます。ただし、 A _{6 を}PSL(2, 9) と見なすと、外部自己同型群は期待される順序を持ちます。(散在群、つまり無限族に属さない群の場合、例外的な外部自己同型の概念は一般的な公式がないため、明確に定義されていません。)

数多くの構成があり、Janusz & Rotman 1982 にリストされています。

外部自己同型として、それは内部自己同型までしか決定されない自己同型のクラスであり、したがって書き留めるべき自然な自己同型は存在しないことに注意してください。

一つの方法は次のとおりです。

• エキゾチックマップ（埋め込み）S ₅  → S ₆を構築する。下記参照
• S _{6 は}、この部分群の 6 つの共役に対して共役作用を及ぼし、写像 S ₆  → S _{X を}生成します。ここで、X は共役の集合です。X を 1、...、6 の番号 (共役の番号の選択、つまり S 6 の元 (内部自己同型) までの選択に依存) と同一視すると、外部_自己同型 S ₆  → S ₆が生成されます。
• この写像は外部自己同型です。転置は転置に写像されませんが、内部自己同型は循環構造を保存します。

以下では、剰余類に対する乗算作用、または共役類に対する共役作用を扱うことができます。

S _{6 が}外部自己同型を持つことを確認するには、群Gから対称群 S _nへの準同型はn個の要素の集合に対するGの作用と本質的に同じであり、点を固定する部分群はGにおけるインデックスが最大でnの部分群になることを思い出してください。逆に、 Gにインデックスnの部分群がある場合、剰余類への作用はn 個の点に対するGの推移的作用を与え、したがって S _nへの準同型を与えます。

より数学的に厳密な構造に入る前に、単純な構造を理解しておくと役立ちます。

6 つの頂点を持つ完全グラフK ₆を考えてみましょう。このグラフには 15 の辺があり、 15 通りの方法で完全マッチングに分割できます。各完全マッチングは、どの 2 辺も頂点を共有しない 3 辺のセットです。15 の集合から、どの 2 辺も頂点を共有せず、その間にグラフの5 × 3 = 15辺すべてが含まれる 5 の完全マッチングのセットを見つけることができます。このグラフ因数分解は、6 通りの方法で実行できます。

6 つの頂点の順列を考え、それが 6 つの異なる因数分解にどのような影響を与えるかを見てみましょう。720 個の入力順列から 720 個の出力順列へのマップが得られます。このマップはまさに S ₆の外部自己同型です。

自己同型写像​​であるため、写像は要素の順序を保存する必要がありますが、内部自己同型とは異なり、サイクル構造を保存しないため、外部自己同型である必要があります。たとえば、2 サイクルは 3 つの 2 サイクルの積に写像されます。2 サイクルが何らかの方法で 6 つのグラフ因数分解すべてに影響を与えるため、因数分解の順列として見ると固定点がないことは簡単にわかります。この自己同型を構築できるという事実は、n = 6にのみ適用される多数の数値的一致に依存しています。

_{S 6} には、抽象的には S ₅と同型であるが、6 つの元の集合上で S _{6の部分群として推移的に作用する部分群（実際には 6 つの共役部分群）が存在する。（明らかな写像 S n}  → S _{n +1}の像は、要素を固定するため推移的ではない。）

Janusz と Rotman は次のように構築しています。

• S _{5 は、その 6 つの}Sylow 5 部分群の集合上で共役により推移的に作用し、位数 120 の推移的部分群として埋め込み S ₅  → S ₆を生成します。

これは 5 サイクルの検査からわかります。各 5 サイクルは位数 5 のグループ (したがって Sylow サブグループ) を生成し、5!/5 = 120/5 = 24 個の 5 サイクルがあり、6 つのサブグループが生成されます (各サブグループには単位元も含まれるため)。また、S _{n は}、特定のクラスのサイクルの集合に対して共役によって推移的に作用するため、これらのサブグループに対して共役によって推移的に作用します。

あるいは、すべての Sylow p 部分群が共役であることを一般に述べる Sylow 定理を使用することもできます。

5 元有限体上の 2 次元射影線型群PGL (2, 5) は、 6 元を持つ5 元体上の射影直線P ¹ ( F _{5 ) に作用する。さらに、この作用は}忠実かつ 3推移的であり、射影線型群の射影直線への作用が常にそうであるように、推移的部分群として写像 PGL(2, 5) → S _{6が得られる。PGL(2, 5) を S 5}と同一視し、射影特殊線型群 PSL(2, 5) を A _{5と同一視すると、目的のエキゾチック写像 S 5}  → S ₆および A ₅  → A ₆が得られる。^[5]

同じ考え方に従えば、外部自己同型は6つの要素を持つ集合に対する_S6の次の2つの同値でない作用として実現できる。 ^[6]

• 置換群としての通常の作用。
• 抽象的な 6 要素セットの 6 つの非同値な構造を射影直線P ¹ ( F ₅ ) として表します。直線には 6 つの点があり、射影線型群は 3 推移的に作用するため、3 つの点を固定すると、残りの 3 つの点を配置​​する方法は 3! = 6 通りあり、目的の代替動作が得られます。

_{別の方法: S 6}の外部自己同型を構築するには、 S _{6のインデックス 6 の「異常な」サブグループ、つまり、点を固定する 6 つの明らかな S 5サブグループ (これは S 6}の内部自己同型にちょうど対応する)の 1 つではないサブグループを構築する必要があります。

F ₅のアフィン変換のフロベニウス群（a ≠ 0 の写像） は、位数が 20 = (5 − 1) · 5 で、5 つの元を持つ体に作用するため、 S 5 の部分群です。_{（実際、これは、} F ₅の位数 5 の変換群として考えられる、上記の Sylow 5 群の正規化群です 。） ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

S _{5 は}、120/20 = 6 個の要素の集合である剰余類空間に対して推移的に作用します (または、共役によって上記の作用が生成されます)。

エルンスト・ウィットは、マシュー群M ₁₂ ( S ₆に同型な部分群Tと、 T を正規化し外部自己同型で作用する元σ )内に Aut(S ₆ )のコピーを発見した。S ₆が6 個の要素の集合に 2 つの異なる方法で作用する (外部自己同型を持つ) のと同様に、M _{12 は}12 個の要素の集合に 2 つの異なる方法で作用する (外部自己同型を持つ) が、M ₁₂自体は例外的であるため、この外部自己同型自体は例外的であるとは考えられない。

_{A 6}の完全自己同型群は、マシュー群 M ₁₂の最大部分群として、12 点を 6 元集合のペアに分割する部分群として、または 2 点の部分集合を固定する部分群として、2 つの方法で自然に現れます。

_{S 6 が}非自明な外部自己同型を持つことを確認する別の方法は、A _{6 がPSL 2} (9)と同型であるという事実を使用することです。PSL 2 (9) の自己同型群は射影半線型群PΓL ₂ (9) であり、PSL ₂ (9) は指数 4 であり、位数 4 の外部自己同型群をもたらします。この自己同型を見るための最も視覚的な方法は、次のように有限体上の代数幾何学を介して解釈を与えることです。3 つの元を持つ体 k 上のアフィン 6 次元空間へのS _{6の作用を考えます。この作用は、座標の合計が 0 になる超平面}H 、すべての座標が一致するH内の直線L 、および6 つの座標すべての平方の合計によって与えられる二次形式q など、いくつかのものを保存します。 qのHへの制限には欠陥直線Lがあるため、4 次元H / L上には非退化かつ非分割であることが確認される誘導された二次形式Qが存在する。 H / LにおけるQのゼロスキームは、 k上の関連する射影 3 次元空間に滑らかな二次曲面X を定義する。 kの代数閉包上では、X は2 つの射影直線の積であるため、降下論法によってX は二次エタール代数K上の射影直線のkへの Weil 制限となる。Qはk上で分割されないため、 k上の特殊直交群による補助論法によって、Kは体 ( kの 2 つのコピーの積ではなく) となる。視界内のすべてのものに対する自然な S _{6作用は、 S 6から}Xのk自己同型群への写像を定義する。これは、ガロア反転に対する PGL ₂ ( K ) = PGL ₂ (9)の半直積Gである。この写像は、単純群A ₆を半直積Gの指数4の部分群PSL ₂ (9)に非自明に持ち込むので、S _6はGの指数2の部分群（すなわち、 PSL _{2によって生成される}Gの部分群）として識別されます。(9)とガロア反転。S6の外側のGの任意の元による共役は_、S6の非自明な外部自己同型を定義する。

サイクルでは、型(12)の順列を(12)(34)(56)（クラス2 ¹とクラス2 ³）と交換し、型(123)の順列を(145)(263)（クラス3 ¹とクラス3 ²）と交換する。外部自己同型はまた、型(12)(345)の順列を(123456)（クラス2 ¹ 3 ¹とクラス6 ^{1 ）と交換する。S} ₆の他のサイクル型のそれぞれについて、外部自己同型はサイクル型の順列のクラスを固定する。

A ₆では、3サイクル（(123)など）と3 ²クラスの要素（(123)(456)など）が入れ替わる。

他の対称群には外部自己同型がないことを確認するには、次の 2 つの手順を実行するのが最も簡単です。

1. まず、転置の共役類を保存する任意の自己同型が内部自己同型であることを示します。(これは、S ₆の外部自己同型が一意であることも示しています。以下を参照してください。) 自己同型は、各共役類 (その要素が共有する巡回構造によって特徴付けられる) を (おそらく異なる) 共役類に送信する必要があることに注意してください。
2. _{次に、すべての自己同型（S 6}の場合を除く）が転置のクラスを安定化することを示します。

後者は 2 つの方法で表示できます。

• _{S 6}以外のすべての対称群に対して、転置のクラスと同じ数の元を持つ、位数 2 の元からなる共役クラスは存在しません。
• または次のようになります。

2 次順列の各置換 (反転と呼ばれる) は、 k > 0 の互いに素な転置の積であるため、巡回構造 2 ^k 1 ^{n −2 k}を持ちます。転置のクラス ( k = 1)の特別な点は何ですか?

2つの異なる転置τ ₁とτ ₂の積をとれば、常に3巡回か2 ² 1 ^{n −4型の順列が得られるので、生成される元の位数は2か3である。一方、} k > 1型の2つの異なる反転σ ₁、σ ₂の積をとれば、 n ≥ 7であれば、常に位数6、7、または4の元を生成することが可能である。積に以下のいずれかが含まれるようにすることができる。

• 2つの2サイクルと1つの3サイクル（k = 2かつn ≥ 7の場合）
• 7サイクル（k = 3かつn ≥ 7の場合）
• 2つの4サイクル（k = 4かつn ≥ 8の場合）

k ≥ 5の場合、最後の例の順列σ ₁、σ ₂に、互いに打ち消し合う冗長な 2 サイクルを付加すると、依然として 2 つの 4 サイクルが得られます。

ここで矛盾に遭遇します。なぜなら、転置のクラスが自己同型fを介してk > 1の反転のクラスに送信される場合、 f ( τ ₁ ) f ( τ ₂ ) の順序が 6、7、または 4である 2 つの転置τ ₁、τ ₂が存在するからです。しかし、 τ ₁ τ ₂の順序は 2 または 3 であることがわかっています。

S _{6 に}は外部自己同型が1つ（クラス）だけあります：Out(S ₆ ) = C ₂。

_{これを理解するには、サイズ 15 の S 6}の共役類が 2 つしかないことに注目してください。転置とクラス 2 ^{3の共役類です。Aut(S} ₆ )の各要素は、これらの共役類のそれぞれを保存するか、交換します。上で構築された外部自己同型の任意の代表は共役類を交換しますが、インデックス 2 の部分群は転置を安定化します。しかし、転置を安定化する自己同型は内部自己同型であるため、内部自己同型は Aut(S ₆ ) のインデックス 2 の部分群を形成し、Out(S ₆ ) = C ₂となります。

もっと簡潔に言うと、転置を安定化する自己同型は内部自己同型であり、位数 15 の共役類は 2 つ (転置と三重転置) しかないため、外部自己同型群の位数は最大でも 2 です。

n = 2の場合、 S ₂  = C ₂  =  Z /2 であり、自己同型群は自明です (当然ですが、より形式的には、 Aut( Z /2) = GL(1,  Z /2) =  Z /2 ^*  = C _{1 で}あるためです)。したがって、内部自己同型群も自明です (S ₂がアーベルであるためでもあります)。

n = 1 および 2の場合、 A ₁  = A ₂  = C ₁は自明なので、自己同型群も自明です。n = 3 の場合、  A ₃  = C ₃  =  Z /3 はアーベル（および巡回）です。つまり、自己同型群は GL(1,  Z /3 ^* ) = C ₂であり、内部自己同型群は自明です（アーベルであるため）。

• https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
• ジョン・バエズによる「6という数字についての考察」は、外面自己同型性と正二十面体を関連付けています。
• Coxeter 著「幾何学の美」の「PG(3, 5) の 12 点と 95040 の自己変換」: 最初の 2 ページで外部自己同型について説明しています。
• ヤヌス、ジェラルド; ロットマン、ジョセフ (1982 年 6 月 - 7 月)、「S ₆の外部自己同型」、アメリカ数学月刊誌、89 (6): 407-410、doi :10.2307/2321657、JSTOR  2321657
• フォーネル、トーマス A. (1993 年 1 月 1 日)、「立方体の対称性と S ₆の外部自己同型」、アメリカ数学月刊誌、100 (4): 377–380、doi :10.2307/2324961、JSTOR  2324961
• _{ロリマー、PJ (1966 年 1 月 1 日)、「S 6}の外部自己同型」、アメリカ数学月刊誌、73 (6): 642–643、doi :10.2307/2314806、JSTOR  2314806
• ミラー、ドナルド W. (1958 年 1 月 1 日)、「ホルダーの定理について」、アメリカ数学月刊誌、65 (4): 252–254、doi :10.2307/2310241、JSTOR  2310241