最大部分群

数学において、最大部分群という用語は、代数のさまざまな分野で若干異なる意味に使用されます。

群論において、群Gの極大部分群 Hは、いかなる真部分群KもH を厳密に含まない真部分群である。言い換えれば、H は、 Gと等しくないGの部分群の半順序集合の最大元である。極大部分群は、 Gの原始置換表現と直接関係しているため興味深い。また、有限群論の目的でも盛んに研究されている。例えば、極大部分群の共通部分であるフラッティーニ部分群を参照のこと。

半群論において、半群Sの最大部分群とは、 Sの別の部分群に適切に含まれないSの部分群（つまり、半群演算によって群を形成する部分半群）である。ここで、最大部分群が適切である必要はないことに注意されたい。したがって、S が実際に群である場合、その唯一の最大部分群（半群として）はS自身である。半群の部分群、特に最大部分群を考慮すると、半群論において群論的手法を適用できることが多い。^{[要出典]半群の}べき等元と半群の最大部分群 の間には一対一の対応がある。つまり、各べき等元は、唯一の最大部分群の 単位元である。

有限群の任意の真部分群は、何らかの極大部分群に含まれます。なぜなら、真部分群は包含に関して有限な半順序集合を形成するからです。しかし、プリューファー群など、極大部分群を含まない無限アーベル群も存在します。

同様に、Gの正規部分群 N は、 N < GかつN < K < GとなるGの正規部分群Kが存在しない場合に、 Gの最大正規部分群 (または最大真正規部分群) であるといわれます。次の定理が成り立ちます。

定理:群Gの正規部分群Nが最大正規部分群となるのは、商G / Nが単純である場合に限ります。

これらのハッセ図は、対称群S ₄、二面体群D ₄、巡回群C ₂の3 番目の順冪であるC ₂ ^{3 の}部分群の格子を示しています。 最大部分群は、ハッセ図の辺によって群自体 (ハッセ図の上) にリンクされています。