若者の情景

ヤング図（特にドットで表す場合はフェラーズ図とも呼ばれる）は、左揃えの行に並べられた有限個のボックス（セル）の集合で、行の長さは非増加順になっています。各行のボックスの数を列挙すると、図のボックスの総数である非負整数nの分割λが得られます。ヤング図は形状λであると言われ、その分割と同じ情報を持っています。あるヤング図が別のヤング図に含まれることで、すべての分割の集合上に部分順序が定義され、これは実際にはヤング格子として知られる格子構造です。ヤング図の各列のボックスの数を列挙すると、別の分割、つまりλの共役分割または転置分割が得られます。元の図を主対角線に沿って反転させることで、その形状のヤング図が得られます。

ヤング図のボックスに整数のペアでラベルを付ける場合、最初のインデックスが図の行を選択し、2 番目のインデックスが行内のボックスを選択するという点については、ほぼ普遍的な合意がある。しかしながら、これらの図、ひいてはタブローを表示するための 2 つの異なる慣習が存在する。1 は各行を前の行の下に配置し、2 は各行を前の行の上に積み重ねる。前者の慣習は主に英語圏の人々が使用し、後者はフランス語圏の人々が好むことが多いため、これらの慣習をそれぞれ英語表記とフランス語表記と呼ぶのが慣例となっている。たとえば、対称関数に関する著書の中で、マクドナルドはフランス語表記を好む読者に「この本を鏡で逆さまに読んでください」とアドバイスしている (Macdonald 1979、p.  2)。この命名法はおそらく冗談として始まったのだろう。英語表記は行列に普遍的に使用されているものに対応し、フランス語表記はデカルト座標の慣習に近い。しかし、フランス式表記法では、縦座標を先に記す点でこの慣例とは異なります。右の図は、英語表記法を用いて、数10の分割(5, 4, 1)に対応するヤング図を示しています。列の長さを測った共役分割は(3, 2, 2, 2, 1)です。

ヤングタブローは、ヤング図のマス目に何らかのアルファベットから取った記号を記入することによって得られます。このアルファベットは通常、全順序集合である必要があります。元々、このアルファベットは添え字付き変数x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...の集合でしたが、現在では簡潔にするために数値の集合が用いられるのが一般的です。対称群の表現への当初の応用では、ヤングタブローはn 個の異なるエントリを持ち、それらは図のマス目に任意に割り当てられます。タブローは、各行と各列のエントリが単調増加である場合に標準と呼ばれます。n個のエントリを持つ異なる標準ヤングタブローの数は、対合数によって与えられます。

1、1、2、4、10、26、76、232、764、2620、9496、... （ OEISのシーケンスA000085）。

他のアプリケーションでは、タブローに同じ数が複数回出現すること（または全く出現しないこと）を許容するのが自然です。タブローは、各行に沿って要素が弱く増加し、各列に沿って厳密に増加する場合、セミスタンダードまたは列厳密と呼ばれます。タブローに各数が出現する回数を記録すると、タブローの重みと呼ばれる数列が得られます。したがって、標準ヤングタブローは、重み (1, 1, ..., 1) のセミスタンダードタブローに正確に対応しており、 nまでのすべての整数がちょうど 1 回出現する必要があります。

標準的なヤング表では、整数${\displaystyle k}$降下であれば${\displaystyle k+1}$厳密に下の行に表示されます${\displaystyle k}$降下の合計は、タブローの主要指数と呼ばれる。 ^{[ 3 ]}

この定義にはいくつかのバリエーションがあります。例えば、行厳密なタブローでは、行に沿って要素が厳密に増加し、列に沿って弱く増加します。また、要素が減少するタブローも、特に平面分割理論において検討されています。さらに、ドミノタブローやリボンタブローといった一般化もあり、これらのタブローでは、要素を割り当てる前に複数のボックスをグループ化することができます。

歪んだ形状とは、 λのヤング図がμのヤング図を含むような分割のペア ( λ , μ ) のことです。これはλ / μと表記されます。λ = ( λ 1 , λ 2 , ...) および μ = ( μ 1 , μ 2 , ...) の場合、図の_包含は、_すべてのiについてμ i _≤ λ i_であることを意味します。歪んだ_形状λ / _μの歪んだ図は、λとμのヤング図の集合論的な差、つまりλの図には含まれるがμの図には含まれない正方形の集合です。形状λ / μの歪んだタブローは、対応する歪んだ図の正方形を埋めることによって得られます。このようなタブローは、各行に沿ってエントリが弱く増加し、各列に沿って厳密に下方向に増加する場合は半標準であり、さらに 1 から歪んだ図の正方形の数までのすべての数がちょうど 1 回出現する場合は標準です。分割からヤング図への写像は単射ですが、スキュー形状からスキュー図への写像はそうではありません。^{[ 4 ]}したがって、スキュー図の形状は、塗りつぶされた正方形の集合からのみ常に決定できるとは限りません。スキュータブローの多くの特性は塗りつぶされた正方形のみに依存しますが、それらに対して定義されるいくつかの操作はλとμの明示的な知識を必要とするため、スキュータブローがこの情報を記録することは重要です。2つの異なるスキュータブローは、同じ正方形の集合を占め、それぞれが同じエントリで塗りつぶされているにもかかわらず、形状のみが異なる場合があります。^{[ 5 ]}ヤングタブローは、μが空の分割(0)（0の一意の分割）であるスキュータブローと同一視できます。  

正の整数エントリを持つ形状λ / μの任意の歪んだ半標準タブローT は、 μから始めて、 Tで値≤ iを含むすべてのボックスを追加することによってμの図から得られる図を持つ分割i をシーケンスのさらに先に配置することによって、分割 (またはヤング図) のシーケンスを生成します。この分割は最終的にλと等しくなります。このようなシーケンス内の連続する形状の任意のペアは、図の各列に最大で 1 つのボックスを含む歪んだ形状です。このような形状は水平ストリップと呼ばれます。この分割のシーケンスはT を完全に決定し、実際、マクドナルド (Macdonald 1979、p. 4) が行ったように、(歪んだ) 半標準タブローをこのようなシーケンスとして定義することが可能です。この定義は、歪んだタブローを構成するデータに分割λとμを組み込みます。    

仕切り10用の箱のフックの長さ =  5  +  4  +  1

nの分割λに対応する対称群S _nの既約表現π _λの次元は、表現の図から得られる異なる標準ヤング表の数に等しい。この数はフックの長さの公式で計算できる。

形状λのヤング図Y ( λ )における箱xのフック長 hook ( x )は、同じ行の右側にある箱の数と、同じ列の下にある箱の数の合計に、箱自体のフック長を加えた数である。フック長の公式によれば、既約表現の次元は、n !をその表現の図にあるすべての箱のフック長の積で割った値となる。

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\operatorname {hook} (x)}}.}$

右の図は、仕切り図10 = 5 + 4 + 1のすべてのボックスのフックの長さを示しています。したがって

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.}$

同様に、 nの分割λ (最大でr個の部分を持つ) に対応するGL _rの既約表現W ( λ )の次元は、形状λ (1 からrまでのエントリのみを含む)の半標準ヤング表の数であり、これはフック長公式で与えられます。

${\displaystyle \dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+ji}{\operatorname {hook} (i,j)}},}$

ここで、インデックスi はボックスの行を、j は列を表します。 ^{[ 8 ]}例えば、分割 (5,4,1) の場合、GL ₇の対応する既約表現の次元として(ボックスを行ごとにたどって) が得られます。

${\displaystyle \dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.}$

n個の要素を持つ対称群S _nの表現は、n − 1個の要素を持つ対称群S _{n −1の表現でもあります。ただし、} S _nの既約表現は、S _{n −1}に対して既約ではない場合があります。代わりに、 S _{n −1}に対して既約である複数の表現の直和となる場合があります。これらの表現は、制限表現の因子と呼ばれます(誘導表現も参照)。

nの分割λに対応する、与えられたS _nの既約表現の制限表現のこの分解を決定するという問題は、次のように解決されます。形状λの図から1 つのボックス (行と列の両方の末尾にある必要があります) だけを取り除くことによって得られるすべてのヤング図の集合を形成します。制限表現は、それらの図に対応するS _{n −1}の既約表現の直和として分解され、それぞれの図が和の中にちょうど 1 回出現します。