グループ全体

数学において、群 $G は、$ $G$ のすべての自己同型が内部であり、中心がないこと、つまり自明な外部自己同型群と自明な中心を持つことを完全と言います。

同様に、共役写像 $G \to Aut(G)$ (元 $g を$ $g$ による共役に送る) が同型である場合、群は完全です。単射性は、単位元による共役のみが単位自己同型であることを意味し、群が中心を持たないことを意味します。一方、全射性は、群に外部自己同型がないことを意味します。

例

一例として、対称群S $n は$ $すべて、 n \in {2, 6$ }の場合を除いて完全です。 $n = 2$ の場合、群には非自明な中心があり、 $n = 6$ の場合、外部自己同型が存在します。

単純群の自己同型群はほぼ単純群である。非可換単純群 G の場合、 G $の$ $自己$ 同型群は完全である。

プロパティ

完全群は常にその自己同型群と同型である（その元を共役に送ることによって）が、その逆は必ずしも成り立たない。例えば、 8 個の元からなる二面体群はその自己同型群と同型であるが、完全ではない。議論については、（Robinson 1996、セクション 13.5）を参照。

完全群の拡張

群 $Gが$ 群の短い完全列として与えられた群の拡大であると仮定する

1 ⟶ N ⟶ G ⟶ G' ⟶ 1

核N 、商 $G$ $'$ で $表さ$ れます。核 N が完全な群であれば $、$ $拡大$ は分割されます。 $G は$ 直積N $\times$ $G$ $'$ に同型です。準同型と完全列を使用した証明は、自然な方法で与えることができます。正規部分群 $N$ への $G$ の作用(共役による)により、群準同型 $φ$ $:$ $G$ $\to Aut($ $N$ $) ≅$ $N$ が生成されます。Out $($ $N$ $) = 1$ で $N$ の中心が自明なので、準同型 $φ は射影的で、$ $G$ に $N を$ 含めることで得られる明らかな切断を持ちます。 $φ$ の核は $G$ における $N$ の中心化 $C$ $G$ $($ $N$ $)$ であるため、G $は$ 少なくとも半直積 $C$ $G$ $($ $N$ $) ⋊$ $N$ ですが、 $C$ $G$ $($ $N$ $)$ に対する $N$ の作用は自明であるため、積は直になります。

これは、元と内部条件を使って言い換えることができます。 $N が$ 群 $G$ の正規完全部分群である場合、 $G$ $= C$ $G$ $($ $N$ $) \times$ $N$ は直積です。証明は定義から直接導かれます。 $N$ は中心がないので、 $C$ $G$ $($ $N$ $) \cap$ $N$ は自明です。 $gが$ $G$ の元である場合、共役によって $N$ の自己同型が誘導されますが、 $N$ $= Aut($ $N$ $)であり、この共役は$ $N$ の何らかの元 $n$ による共役と等しくなければなりません。すると、 $gn$ $-1による共役は$ $N$ 上の恒等式であるため、 $gn$ $-1 は$ $C$ $G$ $($ $N$ $)$ に含まれ、 $G$ のすべての元 $g$ $はC$ $G$ $($ $N$ $)$ $N$ の積 $($ $gn$ $-1$ $)$ $n$ です。

参考文献

ロビンソン、デレク・ジョン・スコット（1996）、群論講座、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94461-6
ロトマン、ジョセフ・J.（1994）、群論入門、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94285-8（第7章、特に定理7.15と7.17）。

外部リンク

Joel David Hamkins : グループの自己同型タワーの高さはどれくらいですか?

例

プロパティ

完全群の拡張

参考文献

外部リンク

関連するトピック

数学

群

自己同型が

内部