例外的なオブジェクト

数学の多くの分野では、特定のタイプのオブジェクトを研究し、分類定理を証明しています。共通のテーマは、分類によって多数のオブジェクトの系列と、どの系列にも当てはまらない有限数の例外（多くの場合、望ましい特性を持つ）が生じることです。これらは例外オブジェクトとして知られています。多くの場合、これらの例外オブジェクトは、主題においてさらに重要な役割を果たします。さらに、ある数学分野の例外オブジェクトは、他の数学分野の例外オブジェクトと関連していることがよくあります。^{[1] [2] [3]}

関連する現象として例外同型性があり、これは2つの系列が一般には異なるが、いくつかの小さな値については一致する場合である。たとえば、低次元のスピン群は他の古典的なリー群と同型である。^[4]

例外的なオブジェクトの典型的な例は、正多面体の分類に見られる。2次元では、 n ≥ 3の一連の正n角形が存在 する。2を超えるすべての次元では、立方体、四面体、八面体の類似体を見つけることができます。3次元では、さらに2つの正多面体、十二面体（12面体）と二十面体（20面体）があり、5つのプラトン立体を形成します。4次元では、 120セル、600セル、24セルを含む合計6つの正多面体が存在する。これ以外の正多面体は存在せず、高次元の正多面体は超立方体、単体、正多面体のシリーズのみである。したがって、すべての次元を合わせると、3つのシリーズと5つの例外的な多面体が存在する。^[5]

さらに、非凸多面体を含めた場合もパターンは同様です。2次元では、すべての有理数に対して正星型多面体が存在します。^{[6] 3次元では、4つの}ケプラー・ポアンソ多面体 があり、4次元では10のシュレーフリ・ヘス多面体があります。高次元では、非凸正多面体は存在しません。 ${\displaystyle \textstyle p/q>2}$

これらは、他の空間のタイル張り、特に一様タイル張り、特に例外的なオブジェクトを持つユークリッド空間 (ハニカム) のタイル張り、および双曲空間のタイル張りに一般化できます。 6 次元未満にはさまざまな例外的なオブジェクトがありますが、6 次元以上では、正多面体/タイル張り/双曲タイル張りは、単体、超立方体、交差多面体、および超立方体格子だけです。

タイル張りや正多面体に関連して、例外的なシュバルツの三角形（球面、またはより一般的にはユークリッド平面や双曲平面を、辺の反射の三角形群を介してタイル張りする三角形）があり、特にメビウスの三角形があります。球面には、3 つの例外的なプラトン立体群に対応する 3 つのメビウスの三角形（および 1 つの 1 パラメータ族）があり、ユークリッド平面には、3 つの特別な三角形、60-60-60（正三角形）、45-45-90（直角二等辺三角形）、および30-60-90に対応する 3 つのメビウスの三角形があります。球面とユークリッド平面には、さらに例外的なシュバルツの三角形があります。対照的に、双曲平面には、3 パラメータのメビウスの三角形族があり、例外的な三角形はありません。

有限単純群は、いくつかの級数と26の散在群に分類されている。^[7]これらのうち20はモンスター群のサブグループまたはサブ商であり、「幸せな家族」と呼ばれているが、6つはそうではなく、「パーリア」と呼ばれている。

いくつかの散在群はリーチ格子と関連しており、最も有名なのはリーチ格子の自己同型群をその中心で割ったものである コンウェイ群 Co _{1である。}

実数上の有限次元結合的除算代数は、実数、複素数、四元数の3 つだけです。結合的でない除算代数は、八元数の代数だけです。八元数は、さまざまな例外的な対象と関連しています。たとえば、例外的な形式的に実なジョルダン代数は、八元数上の 3 行 3 列の自己随伴行列の アルバート代数です。

単純リー群は、A、B、C、D とラベル付けされたいくつかの級数 (古典リー群) を形成します。さらに、例外的な群G ₂ (八元数の自己同型群)、F ₄、E ₆、E ₇、E ₈があります。これら最後の 4 つの群は、それぞれO、C ⊗ O、H ⊗ O、O ⊗ O上の射影平面の対称群として考えることができます。ここで、Oは八元数であり、テンソル積は実数上にあります。

リー群の分類はルート系の分類に対応しており、例外リー群は例外ルート系と例外ディンキン図に対応しています。

超対称性を持つ例外的なオブジェクトがいくつかあります。カッツとティエリー・ミーグによる超代数の分類では、 31次元のリー超代数G(3)と40次元のリー超代数F(4)、およびジョルダン超代数K ₃とK ₁₀が例外的なオブジェクトの例であることが示されています。^{[8] [9]}

等長変換まで、 15 次元以下では偶数ユニモジュラー格子はE ₈格子のみ存在する。次元24まででは、根を持たない偶数ユニモジュラー格子は Leech 格子のみ存在する。散在単純群のうち 3 つは、Conway が Leech 格子の自己同型群を調査しているときに発見された。たとえば、Co _{1は ±1 を法とする自己同型群そのものである。Co 2}およびCo 3_群、および他の多くの散在群は、Leech 格子のさまざまな部分集合の安定化因子として生じる。

いくつかのコードも例外的なオブジェクトとして際立っており、特にリーチ格子と密接に関連している完全バイナリ ゴレイ コードがそうです。散在単純群の 1 つであるマシュー群は、 拡張バイナリ ゴレイ コードの自己同型群であり、さらに 4 つの散在単純群が のさまざまな種類の安定化部分群として生じます。 ${\displaystyle M_{24}}$${\displaystyle M_{24}}$

例外的なブロック設計は、自己同型群が散在単純マシュー群であるシュタイナー系S(5,8,24)である。 ${\displaystyle M_{24}}$

拡張バイナリ ゴレイ コードのコードワードの長さは 24 ビットで、重みは 0、8、12、16、または 24 です。このコードは最大 3 つのエラーを訂正できます。したがって、重み 5 の 24 ビット ワードはすべて、重み 8 のコードワードに訂正できます。24 ビット ワードのビットは、24 要素セットの可能なサブセットを指定するものと考えることができます。したがって、拡張バイナリ ゴレイ コードは、5 要素サブセットごとに一意の 8 要素サブセットを提供します。実際、S(5,8,24) を定義します。

特定の群の族は、特定の外部自己同型群を持つことが多いが、特定の場合には、他の例外的な外部自己同型を持つこともある。

有限単純群の族の中で、唯一の例は対称群と交代群の自己同型である。交代群は1つの外部自己同型（ の奇数元による共役に対応）を持ち、対称群は外部自己同型を持たないからである。しかし、 には例外的な外部自己同型（位数 2）があり、それに対応して の外部自己同型群は（位数 2 の群）ではなく、 、つまりクラインの 4 元群である。^{[10] [11] [12]}${\displaystyle n\geq 3,n\neq 6}$ ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n=6,}$${\displaystyle S_{6}}$${\displaystyle A_{6}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$

代わりに、（同型の）射影特殊線型群を考えると、外部自己同型は例外的ではありません。したがって、例外性は例外同型によるものと見ることができます。この例外的な外部自己同型は、マシュー群の内部で実現され、同様に、2 つの異なる方法で 12 個の要素のセットに作用します。 ${\displaystyle A_{6}}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,9)}$ ${\displaystyle A_{6}\cong \operatorname {PSL} (2,9).}$${\displaystyle M_{12}}$${\displaystyle M_{12}}$

リー群のうち、スピン群は 例外的に大きな外部自己同型群（つまり ）を持ち、これはディンキン図の例外的な対称性に対応する。この現象は三元性と呼ばれる。${\displaystyle \operatorname {スピン} (8)}$${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle D_{4}}$

この図の例外的な対称性により、スタインバーグ群も生じます。 ${\displaystyle D_{4}}$

ケルヴェア不変量は、(4 k  + 2)次元多様体の不変量であり、多様体を球面に変換できるかどうかを測定するものです。この不変量は、多様体を球面に変換できる場合は0、そうでない場合は1と評価されます。より具体的には、ケルヴェア不変量はフレーム付き多様体、つまりユークリッド空間への埋め込みと正規バンドルの自明化を備えた多様体に適用されます。ケルヴェア不変量問題は、どの次元でケルヴェア不変量が非ゼロになるかを決定する問題です。微分可能多様体の場合、これは次元2、6、14、30、62、およびおそらく126で発生する可能性があり、他の次元では発生しません。最後の次元126の場合は未解決のままです。^{[13] [14]}ケルヴェール不変量1を持つ多様体のこれら5つまたは6つのフレーム付きコボルディズム類は、エキゾチック球面に関連する例外的なオブジェクトです。最初の3つのケースは、それぞれ複素数、四元数、八元数に関連しています。ケルヴェール不変量1の多様体は、2つの球面の積として構成することができ、そのエキゾチックなフレームは、ノルム除算代数によって決定されます。^[15]

次元の類似性から、残りのケース（次元30、62、126）は、八元数から構成される代数上で定義されるローゼンフェルド射影平面に関連していると推測されている。具体的には、これらの射影平面を取り、2次元下において非ゼロのケルヴェール不変量を持つ多様体を生成する構成があると推測されているが、これは未確認のままである。^[16]

量子情報理論では、 SIC-POVMまたは SICと呼ばれる構造が存在し、これは複素等角線の最大集合に対応します。既知の SIC の一部 (2 次元および 3 次元のベクトル空間内のもの、および 8 次元の特定の解) は例外的なオブジェクトと見なされ、「散在 SIC」と呼ばれます。これらは、対称群、ベクトル成分の数値のガロア理論など、他の既知の SIC と異なります。 ^[17] 8 次元の散在 SIC は、積分八元数に関連しています。^[18]

これらの例外的な物体のすべてではありませんが、いくつかの物体の間には多数のつながりが観察されています。最も一般的なのは、24 = 8 · 3 である8次元と24次元に関連する物体です。対照的に、その名前が示すように、パーリア グループは一線を画しています。

数字 8 に関連する例外的なオブジェクトには、次のものがあります。

• 八元数は 8 次元です。
• E ₈格子は、積分八元数（スケール係数まで）として実現できます。
• 例外リー群は八元数の対称性と八元数から導かれる構造として見ることができる。^[19]さらに、E8_{代数は表記が示すようにE8}格子と関連している（格子は代数のルート系によって生成される）。
• Spin(8)では三項性が発生し、これは8 · 3 = 24にもつながります。

同様に、24 という数字に関連する例外的なオブジェクトには次のものがあります。

• リーチ格子は 24 次元です。
• 散発的な単純群のほとんどは、リーチ格子、またはより広義にはモンスターに関連付けることができます。
• 例外的なジョルダン代数は、ジョルダン積の法則とともに 24×24 の実数行列で表現されます。

これらのオブジェクトは、数学におけるさまざまな他の現象と関連しており、それらは驚くべきものと考えられるが、それ自体は「例外的」ではない。たとえば、代数的位相幾何学では、8倍の実ボット周期性は八元数から生じると見ることができる。モジュラー形式の理論では、リーチ格子の24次元の性質が、デデキントのイータ関数とモジュラー判別式の式に24が存在することの根拠となっている。この関係は、モジュラー関数をモンスター群に関連付けた発展であるモンスタームーンシャインによって深められている。^[20]

弦理論と超弦理論では、例外的な代数現象の結果として特定の次元が選ばれることがよくあります。たとえば、ボゾン弦理論では次元26の時空が必要ですが、これはデデキントのイータ関数の24の存在に直接関係しています。同様に、超重力の可能な次元は、分割代数の次元に関連しています。^[21]

数学と物理学における例外的な対象の多くは、互いに関連していることがわかっています。たとえば、モンスター群が弦理論とどのように関連しているかを示すのが、モンスター・ムーンシャイン予想などの展開です。モジュラー形式の理論は、代数 E _{8 が}モンスター群とどのように関連しているかを示しています。（実際、モンスター・ムーンシャイン予想が証明されるかなり前に、楕円j関数がE ₈の表現をエンコードすることが発見されました。^{[2] [22] [23]}）他の興味深い関連性には、リーチ格子がゴレイ・コードを介して十二面体（別の例外的な対象）の隣接行列にどのように関連しているかが含まれます。以下は、数学と数理物理学におけるいくつかの例外的な対象がどのように関連しているかを示すマインドマップ です。

この接続は、代数を格子頂点作用素代数の塔として考えることで部分的に説明できます。たまたま、最下部の頂点代数は非常に単純であるため、よく知られている非頂点代数と同型です。したがって、この接続は、いくつかの格子が他の格子の部分格子であるという単純な結果として見ることができます。

ジョルダン超代数は、超対称性を持つ例外的なオブジェクトの並列セットです。これらは、ローレンツ格子に関連するリー超代数です。この主題はあまり研究されておらず、オブジェクト間の接続はあまり確立されていません。これらの超オブジェクトには、さまざまな散在群を含む、モンストラス ムーンシャイン予想と並行する新しい予想があります。^{[引用が必要]}

「例外的な」オブジェクトは、珍しい、つまり稀な、例外的なオブジェクトのために予約されており、予期しない、または標準的でないオブジェクトのために予約されていません。これらの予期しないが典型的な（または一般的な）現象は、一般的に、どこでも微分可能な関数などの病的、またはエキゾチックな球体のように「エキゾチック」と呼ばれます。エキゾチックな球体は任意の高次元（例外の有限セットだけでなく）に存在し、多くの次元では、ほとんどの球体（の微分構造）はエキゾチックです。

例外的なオブジェクトは、極端なオブジェクトと区別する必要があります。つまり、ある基準で最も極端な例であるファミリーに属するオブジェクトは興味深いものですが、例外的なオブジェクトほど珍しいものではありません。たとえば、黄金比 φ は最も単純な連分数近似を持ち、したがって有理数で近似するのが最も困難です。ただし、これは無限にあるそのような二次数 (連分数) の 1 つにすぎません。

同様に、(2,3,7)シュワルツ三角形は最小の双曲シュワルツ三角形であり、関連する(2,3,7) 三角形群は特に興味深いもので、普遍的なフルヴィッツ群であり、したがって、最大対称代数曲線であるフルヴィッツ曲線に関連付けられています。ただし、これはそのような三角形の族 ((2,4,7)、(2,3,8)、(3,3,7) など) に属し、最小ではありますが、例外的でも他の三角形と異なるものでもありません。

• 例外的な同型性