合同関係

抽象代数学において、合同関係（または単に合同）とは、代数構造（群、環、ベクトル空間など）上の同値関係であり、同値な要素に対して行われる代数演算が同値な要素を生み出すという意味で、その構造と両立する関係である。 ^[¹^] すべての合同関係には対応する商構造があり、その要素は関係の同値類（または合同類）である。 ^[²^]

意味

合同の定義は、考察対象となる代数構造の種類によって異なります。群、環、ベクトル空間、加群、半群、束などに対して、それぞれ具体的な合同の定義を行うことができます。共通するテーマは、合同とは、代数構造と互換性のある代数的対象上の同値関係であり、同値類上で演算が適切に定義されているということです。

一般的な

合同関係の一般的な概念は、すべての代数構造に共通する概念を研究する分野である普遍代数の文脈で形式的に定義することができる。この設定では、関係は $R$ 与えられた代数構造は、各に対して、が互換性があると呼ばれる。 $n$ そしてそれぞれ $n$ -項演算 $\mu$ 構造体上で定義: $a_{1}\mathrel {R} a'_{1}$ そして…そして $a_{n}\mathrel {R} a'_{n}$ 、それから $\mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})$ 。

構造上の合同関係は、同時に両立する同値関係として定義される。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

例

基本的な例

合同関係の典型的な例は、法合同です。 $n$ 整数の集合上で。与えられた正の整数に対して $n$ 2つの整数 $a$ そして $b$ 合同法と呼ばれる $n$ 書かれた

a\equiv b{\pmod {n}}

もし $ab$ は割り切れる $n$ （または同等に、 $a$ そして $b$ で割ったときの余りが同じである $n$ )

例えば、 $37$ そして $57$ は法で合同である $10$ 、

37\equiv 57{\pmod {10}}

以来 $37-57=-20$ は10の倍数、または同等に、両方とも $37$ そして $57$ 残りがある $7$ で割ったとき $10$ 。

合同法 $n$ （固定の場合） $n$ ) は整数の加算と乗算の両方に対応しています。つまり、

もし

a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}

そして

b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}

それから

a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}

そして

a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}

同値類の対応する加算と乗算はモジュラー算術として知られています。抽象代数の観点から、モジュラー合同は $n$ は整数環上の合同関係であり、モジュロ演算は $n$ 対応する商環上で発生します。

例：グループ

例えば、群は、ある公理を満たす単一の二項演算と集合からなる代数的対象である。 $G$ 運営を行うグループです $\ast$ 、合同関係 $G$ 同値関係 $\equiv$ 要素について $G$ 満足

g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,

そして

\ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}

すべての人々のために $g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G$ 群の合同式において、単位元を含む同値類は常に正規部分群であり、他の同値類はこの部分群の他の剰余類である。これらの同値類を合わせて、商群の要素とする。

例：指輪

代数構造に複数の演算が含まれる場合、合同関係は各演算と互換性がある必要がある。例えば、環は加算と乗算の両方を持ち、環上の合同関係は以下を満たさなければならない。

r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}

そして

\displaystyle r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

いつでも $\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}}$ そして $s_{1}\equiv s_{2}$ 環上の合同式の場合、0 を含む同値類は常に両側イデアルであり、同値類の集合に対する 2 つの演算によって対応する商環が定義されます。

準同型写像との関係

もし $f:A\,\rightarrow B$ が 2 つの代数構造間の準同型写像(群の準同型写像、またはベクトル空間間の線形写像など)である場合、関係は $R$ 定義される

a_{1}\,R\,a_{2}

かつその場合に限り

f(a_{1})=f(a_{2})

は合同関係である $A$ 第一同型定理により、Aのによる像は $f$ これは、この合同式によるAの商空間と同型なB の部分構造である。

一方、合同関係 $R$ 一意の準同型を誘導する $f:A\rightarrow A/R$ によって与えられた

f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}

。

したがって、任意の代数構造における合同式と準同型写像の間には、自然な対応関係が存在する。

群の合同、正規部分群およびイデアル

群の場合、合同関係は次のように初等的に記述できます。G が群（単位元 e と演算 * を持つ）であり、 ~がG上の二項関係である場合、~は、次の場合に合同関係となります。

Gの任意の要素aに対して、a ~ a (反射律) が成り立つ。
Gの任意の要素aとbが与えられたとき、a ~ bならばb ~ aである(対称性)。
Gの任意の要素a、b、cが与えられたとき、a ~ bかつb ~ cならば、a ~ cである(推移性)。
Gの任意の要素a、a ′、b、およびb ′が与えられたとき、a ~ a ′かつb ~ b ′ならば、a * b ~ a ′ * b ′である。
Gの任意の要素aとa ′ が与えられたとき、a ~ a ′ならば、a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹である（これは他の 4 つから暗黙的に導かれるため、^[^{注 1}^]厳密には冗長である）。

条件1、2、3は、~が同値関係であることを示しています。

合同関係 ~ は、単位元と合同なGの要素の集合{ a ∈ G | a ~ e }によって完全に決定され、この集合は正規部分群です。具体的には、a ~ bはb ⁻¹ * a ~ eの場合に限ります。したがって、群の合同関係について話す代わりに、人々は通常、群の正規部分群について話さなければなりません。実際、すべての合同関係は、 Gの正規部分群に一意に対応します。

環のイデアルと一般の場合

同様の手法を用いることで、環論における核を合同関係の代わりにイデアルとして、また加群論における核を合同関係の代わりに部分加群として扱うことができる。

この手法が可能なより一般的な状況としては、オメガ群（多項式演算子を許容する一般的な意味でのオメガ群）が挙げられる。しかし、例えばモノイドではこのような手法は使えないため、モノイド理論においては合同関係の研究がより中心的な役割を果たす。

普遍代数

合同式の一般的な概念は、普遍代数において特に有用である。この文脈における同等の定式化は次のとおりである。^{[ 4 ]}

代数A上の合同関係とは、 A × Aの直積の部分集合であり、 A上の同値関係であると同時にA × Aの部分代数でもあるものです。

準同型の核は常に合同式です。実際、すべての合同式は核として生じます。A 上の与えられた合同式 ~ に対して、同値類の集合A / ~は、自然な形で代数の構造、すなわち商代数を持つことができます。A のすべての要素をその同値類に写像する関数は準同型であり、この準同型の核は ~ です。

代数A上のすべての合同関係の束Con ( A )は代数的である。

ジョン・M・ハウイーは、半群理論が普遍代数学における合同関係をどのように説明するかを説明した。

群においては、単一の合同類が分かれば合同が決定されます。特に、単位元を含む正規部分群が分かれば合同が決定されます。同様に、環においては、零元を含む合同類であるイデアルが分かれば合同が決定されます。半群においては、このような幸運なことはなく、したがって合同そのものを研究する必要に迫られます。何よりも、この必要性こそが半群理論に特徴的な風味を与えているのです。半群は実際には、普遍代数の方法を適用しなければならない最初の最も単純なタイプの代数です ... ^{[ 5 ]}

圏論

圏論において、圏C上の合同関係Rは次のように定義されます。C内の任意の対象X、Y のペアに対して、射の合成を尊重する同値関係R _X_、_Yが Hom( X、Y ) 上に存在します。詳細は商圏 §定義を参照してください。

解説

↑ a ′ ⁻¹ = a ′⁻¹ * a * a ⁻¹ ~ a ′⁻¹ * a ′* a ⁻¹ = a ⁻¹

注記

↑ハンガーフォード (1974)、p. 27
↑ハンガーフォード（1974）、p.26
↑ Barendregt (1990)、p. 338、デフ。 3.1.1
1 2 Bergman (2011) 、セクション 1.5 および演習セット 1.26 の演習 1(a) (Bergman は互換性があることを示すために置換特性を持つ式を使用しています)
↑ハウイー（ 1975）、p.v

参考文献

バレンドレット、ヘンク (1990)。「関数型プログラミングとラムダ微積分」。 Jan van Leeuwen (編)。形式モデルとセマンティクス。理論的コンピュータサイエンスのハンドブック。 Vol. B.エルゼビア。321 ～ 364ページ。ISBN 0-444-88074-7。
バーグマン、クリフォード（2011）、『普遍代数学：基礎と厳選されたトピック』、テイラー＆フランシス
ホーン、ジョンソン（1985）、『行列解析』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-38632-2（第4.5節では行列の合同性について論じています。）
Howie, JM (1975), 『半群理論入門』、Academic Press
ハンガーフォード、トーマス W. (1974)、代数学、シュプリンガー・フェルラーク
ローゼン、ケネス・H（2012）。離散数学とその応用。マグロウヒル・エデュケーション。ISBN 978-0077418939。

[5] ′ ⁻¹ = a ′⁻¹ * a * a ⁻¹ ~ a ′⁻¹ * a ′* a ⁻¹ = a ⁻¹

[FOOTNOTEHungerford197427-1] ハンガーフォード (1974)、p. 27

[FOOTNOTEHungerford197426-2] ハンガーフォード（1974）、p.26

[FOOTNOTEBarendregt1990338Def._3.1.1-3] Barendregt (1990)、p. 338、デフ。 3.1.1

[FOOTNOTEBergman2011Sect._1.5_and_Exercise_1(a)_in_Exercise_Set_1.26_(Bergman_uses_the_expression_''having_the_substitution_property''_for_''being_compatible'')-4] 1 2 Bergman (2011) 、セクション 1.5 および演習セット 1.26 の演習 1(a) (Bergman は互換性があることを示すために置換特性を持つ式を使用しています)

[FOOTNOTEHowie1975v-6] ハウイー（ 1975）、p.v

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意味