ギシン準同型

代数的位相幾何学として知られる数学の分野において、ギシン数列は、球束の基底空間、ファイバー、および全空間のコホモロジー類を関連付ける長い正確な数列である。ギシン数列は、球束のオイラー類が与えられた場合にコホモロジー環を計算するのに便利なツールであり、その逆も同様である。これはギシン(1942)によって導入され 、セール スペクトル数列によって一般化されている。

全空間E、基底空間M、ファイバーS ^{k 、}および投影マップ を持つファイバー指向球束を考えます。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle S^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}M.}$

このようなバンドルは、バンドルのオイラー類と呼ばれる 次数k  + 1 のコホモロジー類eを定義します。

シーケンスの議論は、ド・ラーム・コホモロジーを用いると最も明確になります。コホモロジー類は微分形式で表されるため、e は( k + 1) 形式で表すことができます 。

射影写像はコホモロジーにおいて引き戻しと呼ばれる写像を誘導する。${\displaystyle \pi}$${\displaystyle H^{\ast}}$ ${\displaystyle \pi^{\ast}}$

${\displaystyle \pi^{*}:H^{*}(M)\longrightarrow H^{*}(E).\,}$

ファイバーバンドルの場合、プッシュフォワードマップを定義することもできる。${\displaystyle \pi_{\ast}}$

${\displaystyle \pi _{*}:H^{*}(E)\longrightarrow H^{*-k}(M)}$

これは、向き付けられた球面上の微分形式のファイバー単位の積分によって機能します。このマップは「間違った方向」に進むことに注意してください。これは、反変関数に関連付けられたオブジェクト間の共変マップです。

ギシンは、以下が長完全列であることを証明した。

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H^{n}(E){\stackrel {\pi _{*}}{\longrightarrow }}H^{nk}(M){\stackrel {e_{\wedge }}{\longrightarrow }}H^{n+1}(M){\stackrel {\pi ^{*}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(E)\longrightarrow \cdots }$

ここで、 はオイラー類 eを持つ微分形式のウェッジ積です。 ${\displaystyle e_{\wedge}}$

ギシン列は、微分形式のド・ラームコホモロジーだけでなく、積分係数を持つコホモロジーに対しても長い正確な列です。積分の場合、オイラー類のウェッジ積をカップ積に置き換える必要があり、プッシュフォワードマップはもはや積分に対応しません。

i : X → Y を余次元dの（閉じた）正則埋め込み、Y ' → Y を射、i ' : X ' = X × _Y Y ' → Y 'を誘導写像とする。Nをiの正規バンドルのX 'への引き戻しとする。このとき、洗練された Gysin 準同型i ^!は合成を指す。

${\displaystyle i^{!}:A_{k}(Y'){\overset {\sigma }{\longrightarrow }}A_{k}(N){\overset {\text{Gysin}}{\longrightarrow } }A_{kd}(X')}$

どこ

• σ は特殊化準同型であり、k次元の部分多様体V を、 VとV内のX 'の交点への正規円錐に送ります。結果は、を通じてNにあります。${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow N}$
• 2番目の写像は、ゼロセクション埋め込みによって誘導される（通常の）Gysin準同型です。${\displaystyle X'\hookrightarrow N}$

準同型i ^!は、 交差理論における交差積を符号化しており、 XとVの交差積が式で与えられることを示すか、この式を定義としてとらえる。^[1]${\displaystyle X\cdot V=i^{!}[V],}$

例: ベクトル束Eが与えられ、s : X → EをEの切断とします。すると、s が正規切断のとき、はsの零点の類となり、ここで [ X ] はXの基本類となります。^[2]${\displaystyle s^{!}[X]}$

• 対数形式
• 王シーケンス