ファイバーマニホールド

微分幾何学において、微分可能多様体のカテゴリでは、ファイバー多様体は、 各点で接線写像 が射影的であるような射影微分可能写像、またはそれと同値な、そのランクが等しい射影 沈み 込みである^[1]。$${\displaystyle \pi :E\to B\,}$$${\displaystyle y\in U}$$${\displaystyle T_{y}\pi :T_{y}E\to T_{\pi (y)}B}$$${\displaystyle \dim B.}$

位相幾何学において、ファイバー（ドイツ語でFaser）とファイバー空間（gefaserter Raum ）という言葉は、 1932年にヘルベルト・ザイフェルトの論文で初めて登場しましたが、彼の定義は非常に特殊な場合に限られています。^[2]しかし、今日のファイバー空間の概念との主な違いは、ザイフェルトにとって、現在ファイバー（位相）空間の基底空間（位相空間）と呼ばれているものは構造の一部ではなく、構造から派生した商空間であるという点です。ファイバー空間の最初の定義は、1935年にハスラー・ホイットニーによって球面空間という名前で与えられましたが、1940年にホイットニーは球束に名前を変更しました。^{[3] [4]}${\displaystyle E}$${\displaystyle E.}$

ベクトル束、主束、位相的ファイバ化、ファイバ多様体が特別なケースであるファイバ空間の理論は、ザイフェルト、ホップ、フェルドバウ、ホイットニー、スティーンロッド、エーレスマン、セールらによって提唱された。^{[5] [6] [7]} [ ^{8] [9]}

と が微分可能多様体で が射影的沈み込みである三重写像はファイバー多様体と呼ばれる。^[10]は全空間と呼ばれ、は基底と呼ばれる。 ${\displaystyle (E,\pi ,B)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$

• すべての微分可能なファイバー束はファイバー多様体です。
• すべての微分可能被覆空間は離散ファイバーを持つファイバー多様体です。
• 一般に、ファイバー多様体はファイバーバンドルである必要はありません。異なるファイバーは異なるトポロジーを持つことができます。この現象の例は、自明なバンドルを取り、基本多様体上の 2 つの異なるファイバー内の 2 つの点を削除することによって構築できます。その結果、2 つを除くすべてのファイバーが接続された新しいファイバー多様体が得られます。${\displaystyle \left(S^{1}\times \mathbb {R} ,\pi _{1},S^{1}\right)}$${\displaystyle S^{1}.}$

• 任意の射影的沈み込みは開いている。つまり、各開いている集合は${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle V\subseteq E,}$${\displaystyle \pi (V)\subseteq B}$${\displaystyle B.}$
• 各ファイバーは次元の閉じた埋め込み部分多様体である^[11]${\displaystyle \pi ^{-1}(b)\subseteq E,b\in B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \dim E-\dim B.}$
• ファイバー多様体は局所断面を許容する：それぞれに対して、の開近傍と、およびの滑らかな写像が存在する。${\displaystyle y\in E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi (y)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s:U\to E}$${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{U}}$${\displaystyle s(\pi (y))=y.}$
• 射影がファイバー多様体であるのは、 （ ）の局所断面が各^[12]を通過するときのみである。${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle s:B\to E}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{B}}$${\displaystyle y\in E.}$

（それぞれ）を-次元（それぞれ -次元）多様体とする。ファイバー多様体はファイバーチャートを許容する。上のチャートがファイバーチャートである、または射影的沈み込みに適合しているとは、上のチャートが存在し、 かつ となる場合で ある。${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U=\pi (V)}$$${\displaystyle u^{1}=x^{1}\circ \pi ,\,u^{2}=x^{2}\circ \pi ,\,\dots ,\,u^{n}=x^{n}\circ \pi \,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\left(u^{1},\dots ,u^{n},y^{1},\dots ,y^{p-n}\right).\quad y_{0}\in V,\\\varphi &=\left(x^{1},\dots ,x^{n}\right),\quad \pi \left(y_{0}\right)\in U.\end{aligned}}}$$

上記のファイバーチャート条件は、 で表現できます 。 ここで 、 は最初の座標への投影です。チャートは明らかに一意です。上記の特性を考慮すると、ファイバーチャートのファイバー座標は通常 で表されます。ここで、対応するチャートの座標は、明らかな慣例により、 で表されます。ここで$${\displaystyle \varphi \circ \pi =\mathrm {pr} _{1}\circ \psi ,}$$$${\displaystyle {\mathrm {pr} _{1}}:{\mathbb {R} ^{n}}\times {\mathbb {R} ^{p-n}}\to {\mathbb {R} ^{n}}\,}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle \psi =\left(x^{i},y^{\sigma }\right)}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle \sigma \in \{1,\ldots ,m\},}$ ${\displaystyle m=p-n}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varphi =\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}.}$

逆に、全射がファイバーアトラスを許容する場合、 はファイバー多様体です。 ${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle \pi :E\to B}$

をファイバー多様体とし、任意の多様体をとする。の開被覆と写像 を共存させ て、 がに関する局所的自明化 となることを 、自明化写像 と呼ぶ^。[13]${\displaystyle E\to B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \psi :\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to U_{\alpha }\times V,}$$$${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\circ \psi _{\alpha }=\pi ,{\text{ for all }}\alpha }$$${\displaystyle V.}$

ファイバー多様体と多様体を合わせると、それが に関して局所的自明化を許容する場合、そのファイバー バンドルは典型ファイバー(または単にファイバー)を持つファイバー バンドルになります。その場合、アトラスはバンドル アトラスと呼ばれます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \Psi =\left\{\left(U_{\alpha },\psi _{\alpha }\right)\right\}}$

• 代数ファイバー空間
• 接続（ファイバーマニホールド）  – ファイバーマニホールドの操作
• 被覆空間 – 位相幾何学における連続写像の種類
• ファイバー束 – 局所自明性条件を満たす連続射影
• ファイブレーション – 代数的位相幾何学における概念
• ナチュラルバンドル
• 準ファイブレーション – 数学からの概念
• ザイフェルトファイバー空間 – 位相空間

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, 2017年3月30日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2011年6月15日取得
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• サンダース、DJ（1989）、ジェットバンドルの幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36948-7
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