バンドル（数学）

数学において、束はファイバー束の一般化であり、局所積構造の条件を除外したものです。局所積構造の要件は、束が位相を持つことに基づいています。この要件がなければ、より一般的な対象を束とみなすことができます。たとえば、EとBが集合である束 π: E → Bを考えることができます。もはや逆像は成り立ちません。 $\displaystyle \pi ^{-1}(x)$ ファイバー束とは異なり、ファイバーはすべて同じように見えなければなりません。ファイバー束では、ファイバーはすべて同型でなければなりません（ベクトル束の場合）。

意味

バンドルとは、 $(E, p, B)$ という三つ組のことで、 $E 、 B$ は集合、 $p : E \to B$ は写像である。^{[ 1 ]}

$E$ は全空間と呼ばれます
$B$ は束の基底空間である
$p$ は射影である

このバンドルの定義は非常に自由度が高い。例えば、空の関数もバンドルを定義する。とはいえ、基本的な用語を紹介するには十分であり、あらゆる種類のバンドルは、 $E 、 p 、 B$ に制約を加えた上で、上記の基本的な要素を備えており、通常は追加の構造が存在する。

各 $b \in B に対して、 p -1 (b)は$ $b$ 上の束のファイバーまたはファイバーである。

バンドル $(E*, p*, B*)は、$ $B*$ $\subset$ $B$ $、$ $E*$ $\subset$ $E$ かつ $p*$ $=$ $p$ $|$ $E*$ の場合、 $($ $E$ $,$ $p$ $,$ $B$ $)$ の部分バンドルである。

断面とは、各 $b$ $\in$ $Bに対して$ $p$ $($ $s$ $($ $b$ $)) =$ $b$ となる写像 $s : B \to E$ のことである。つまり、 $s$ $($ $b$ $) \in$ $p$ $-1$ $($ $b$ $)$ である。

例

$E$ と $B$ が滑らかな多様体であり、 $p$ が滑らかで全射であり、さらに沈め込みである場合、束はファイバー多様体です。ここで、および以下の例では、滑らかさの条件は連続に弱めたり、解析に厳密にしたり、あるいはその間の連続微分可能 ( $C 1$ ) のような妥当なものにすることもできます。
基底内の任意の2 つの点 $b 1$ と $b 2$ に対して、対応するファイバー $p -1 (b 1)$ と $p -1 (b 2)が$ ホモトピー同値である場合、その束はファイブレーションである。
基底内の各2点 $b 1$ と $b 2$ について、対応するファイバー $p -1 (b 1)$ と $p -1 (b 2)が$ 同相であり、さらに束が関連するリンク記事で概説されている局所自明性の特定の条件を満たす場合、その束はファイバー束である。通常、ファイバーには位相構造に加えて、群構造やベクトル空間構造などの追加構造が存在する。この場合、同相写像がその構造に関して同型であることが求められ、局所自明性の条件はそれに応じてより厳密になる。
主束とは、特定の性質を持つ右群作用を備えたファイバー束のことである。主束の一例として、フレーム束が挙げられる。
基底内の任意の2点 $b1$ と $b2について、対応するファイバー$ $p -1$ $($ $b1$ $)$ $と$ p $- 1 (b2)$ $が$ 同じ次元のベクトル空間である場合、局所自明性の適切な条件が満たされれば $、$ その束はベクトル束となる。接線束は $ベクトル$ 束の一例である。

バンドルオブジェクト

より一般的には、バンドルまたはバンドルオブジェクトは任意のカテゴリで定義できます。カテゴリCでは、バンドルは単に全射π: E → Bです。カテゴリが具体的でない場合、写像の逆像の概念は必ずしも利用できません。したがって、これらのバンドルはファイバーをまったく持たない可能性がありますが、十分に良いカテゴリではファイバーを持ちます。たとえば、引き戻しと終端オブジェクト1 を持つカテゴリの場合、 Bの点は射p :1→ Bと同一視でき、 pのファイバーはpと πの引き戻しとして得られます。B上のバンドルのカテゴリは、 B上のオブジェクトのスライスカテゴリ( C ↓ B ) の部分カテゴリであり、固定基底オブジェクトを持たないバンドルのカテゴリは、コンマカテゴリ( C ↓ C )の部分カテゴリであり、これはCの射のカテゴリであるファンクターカテゴリC ²でもあります。

滑らかなベクトル束の圏は、小さな圏の圏であるCatにおける滑らかな多様体の圏上の束オブジェクトです。各多様体をその接束に写像する関手は、この束オブジェクトの切断の一例です。

注記

↑ヒューゼモラー 1994 p 11.

参考文献

ゴールドブラット、ロバート（2006）[1984]。トポイ、論理の範疇分析。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45026-12009年11月2日に取得。
ヒューゼモラー、デール(1994) [1966]、「ファイバー束」、大学院数学テキスト、第 20巻、シュプリンガー、ISBN 0-387-94087-1
ヴァシリエフ、ヴィクトル (2001) [2001]、『位相幾何学入門』、学生数学ライブラリー、アメリカ数学会、ISBN 0821821628

[1] ヒューゼモラー 1994 p 11.

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バンドル（数学）

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例

バンドルオブジェクト

関連項目

注記

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