アフィンバンドル

数学において、アフィンバンドルとは、その典型ファイバー、ファイバー、自明化射、遷移関数がアフィンであるファイバーバンドルのことである。 ^[1]

をベクトル空間 の典型ファイバーを持つベクトル束とします。ベクトル束をモデル化したアフィン束は、その典型ファイバーがをモデル化したアフィン空間 であるファイバー束であり、次の条件が満たされます。 ${\displaystyle {\overline {\pi}}:{\overline {Y}}\to X}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$${\displaystyle {\overline {\pi}}:{\overline {Y}}\to X}$${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {F}}}$

(i)のすべてのファイバーは、ベクトル束の対応するファイバー上にモデル化されたアフィン空間です。 ${\displaystyle Y_{x}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\overline {Y}}_{x}}$${\displaystyle {\overline {Y}}}$

(ii) アフィンバンドルアトラスが存在し、その局所自明化射と遷移関数はアフィン同型である。 ${\displaystyle Y\to X}$

アフィンバンドルを扱う場合、アフィン遷移関数を持つ アフィンバンドル座標のみを使用する。${\displaystyle (x^{\mu},y^{i})}$

${\displaystyle y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu })y^{j}+b^{i}(x^{\nu }).}$

バンドル射がある

${\displaystyle Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad (y^{i},{\overline {y}}^{i})\longmapsto y^{i}+ {\overline {y}}^{i},}$

${\displaystyle Y\times _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y}},\qquad (y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i },}$

ここで、は線形遷移関数を持つベクトル束上の線形束座標です。 ${\displaystyle ({\overline {y}}^{i})}$${\displaystyle {\overline {Y}}}$${\displaystyle {\overline {y}}'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }){\overline {y}}^{j}}$

アフィンバンドルには大域切断があるが、ベクトルバンドルとは異なり、アフィンバンドルの標準的な大域切断は存在しない。ベクトルバンドルをモデルにしたアフィンバンドルを とする。アフィンバンドルのすべての大域切断は、バンドル射を生成する。 ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle {\overline {\pi}}:{\overline {Y}}\to X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle Y\to X}$

${\displaystyle Y\ni y\to ys(\pi (y))\in {\overline {Y}},\qquad {\overline {Y}}\ni {\overline {y}}\to s(\ pi (y))+{\overline {y}}\in Y.}$

特に、すべてのベクトル束は、が の標準的なゼロ値切断であるこれらの射により、アフィン束の自然な構造を持ちます。たとえば、多様体の接線束は自然にアフィン束です。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$

アフィンバンドルは、次元 の典型的なファイバーのアフィン変換の一般アフィン構造群を持つファイバーバンドルです。この構造群は常に一般線型群に還元できます。つまり、アフィンバンドルは線型遷移関数を持つアトラスを許容します。 ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle GA(m,\mathbb {R} )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle GL(m,\mathbb {R} )}$

アフィンバンドルの射とは、各ファイバーへの制限がアフィン写像であるバンドル射を意味する。ベクトルバンドル上にモデル化されたアフィンバンドルからベクトルバンドル上にモデル化されたアフィンバンドルへのすべてのアフィンバンドル射は、一意の線型バンドル射を生成する 。${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\overline {Y}}}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle {\overline {Y}}'}$

${\displaystyle {\overline {\Phi }}:{\overline {Y}}\to {\overline {Y}}',\qquad {\overline {y}}'^{i}={\frac {\partial \Phi ^{i}}{\partial y^{j}}}{\overline {y}}^{j},}$

の線形微分と呼ばれる。 ${\displaystyle \Phi}$

• 繊維束
• ファイバーマニホールド
• ベクトル束
• アフィン空間

• S. Kobayashi、K. Nomizu、「Foundations of Differential Geometry」、第1巻および第2巻、Wiley-Interscience、1996年、ISBN 0-471-15733-3。 
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, 2017-03-30 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2013-05-28 に取得
• Sardanashvily, G.、「理論家のための上級微分幾何学。ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論」、Lambert Academic Publishing、2013年、ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886。 
• サンダース、DJ（1989）、ジェットバンドルの幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36948-7