妨害理論

数学において、妨害理論は2 つの異なる数学理論に付けられた名前であり、どちらもコホモロジー 不変量をもたらします。

スティフェルとホイットニーの元の研究では、特性類は特定の線型独立ベクトル体の存在に対する障害として定義されました。障害理論は、コホモロジー理論をバンドルの断面を構成する問題に適用したものであることが判明しました。

ホモトピー理論における障害理論の古い意味は、次元に関して帰納的な、単体複体またはCW 複体上に定義された連続写像を拡張するための手順に関連しています。これは伝統的に、サミュエル・アイレンバーグにちなんでアイレンバーグ障害理論と呼ばれています。これは、ホモトピー群の係数を持つコホモロジー群を使用して、拡張に対する障害を定義します。たとえば、単体複体Xから別の単体複体Yへの写像が、最初にXの0 スケルトン( Xの頂点) 上に定義されている場合、0 スケルトンの像がYの同じパス接続コンポーネントに属するときはいつでも、1 スケルトンへの拡張が可能になります。1 スケルトンから 2 スケルトンに拡張するということは、境界エッジ上に既に定義されている写像が与えられた場合に、 Xから各立体三角形への写像を定義することを意味します。同様に、 3 次元スケルトンへのマッピングを拡張するには、その境界上で既に定義されているマッピングを前提として、 Xの各立体 3 次元単体へのマッピングを拡張する必要があります。

ある時点で、たとえばXの (n-1)-スケルトンからXの n-スケルトンへのマッピングを拡張する場合、この手順は不可能になる可能性があります。その場合、各 n-単体に、その境界で既に定義されているマッピングのホモトピー類を割り当てることができます (そのうちの少なくとも 1 つは非ゼロになります)。これらの割り当て により、 の係数を持つn-コチェーンが定義されます。驚くべきことに、このコチェーンはコサイクルであることが判明し、の係数を持つXの n 番目のコホモロジー群のコホモロジー類を定義します。このコホモロジー類が 0 に等しい場合、マッピングを X の (n-1)-スケルトン上のホモトピー類内で変更して、マッピングをXの n-スケルトンに拡張できることがわかります。クラスが 0 でない場合、(n-1)-スケルトン上のホモトピー類が与えられた場合、それは n-スケルトン上のマッピングの拡張に対する障害と呼ばれます。 ${\displaystyle \pi_{n-1}(Y)}$${\displaystyle \pi_{n-1}(Y)}$${\displaystyle \pi_{n-1}(Y)}$

B が単連結な単体複体であり、p  : E → B がファイバーF を持つファイバー列であると仮定します。さらに、 Bのnスケルトン上に部分的に定義されたセクションσ _n  : B _n → Eがあると仮定します。

Bのすべての( n + 1)単体Δに対して、σ _{n は}境界∂Δ (これは位相的なn球面) に制限できます。p は各σ _n ( ∂Δ )を∂Δに送り返すため、σ _{n は}n球面からp ⁻¹ ( Δ )への写像を定義します。ファイブレーションはホモトピーリフティングプロパティを満たし、Δは収縮可能であるため、p ⁻¹ ( Δ )はFとホモトピー同値です。したがって、この部分的に定義されたセクションは、すべての( n + 1)単体にπ _n ( F )の元を割り当てます。これはまさに、 B上の次数n + 1のπ _n ( F )値の単体コチェーンのデータ、つまりC ^{n + 1} (B; π _n ( F ))の元です。このコチェーンは、ゼロであるということはπn ( F )のこれらの要素がすべて自明であることを意味するため、障害コチェーンと呼ばれます。つまり、 （各Δの境界上の部分的に定義されたセクション）と定数マップ間のホモトピーを使用して、部分的に定義されたセクションを（n + 1）スケルトン_に拡張できます。

このコチェーンが部分的に定義されたセクション（すべての( n + 1) -単体のすべての境界からのマップの任意のコレクションとは対照的）から来たという事実は、このコチェーンがコサイクルであることを証明するために使用できます。( n − 1) -スケルトン上の元のセクションと一致する、異なる部分的に定義されたセクションσ _nから開始した場合、結果として得られるコサイクルは、コ境界によって最初のコサイクルと異なることも証明できます。したがって、コホモロジー群H ^{n + 1} ( B ; π _n ( F ))の明確に定義された要素があり、 ( n + 1) -スケルトン上の指定された選択と一致する部分的に定義されたセクションが ( n − 1) -スケルトン上に存在する場合、このコホモロジークラスは自明でなければなりません。

ホモトピー切断、つまりp ∘ σ がB上の恒等写像とホモトピック（等しいのではなく）であるような写像σ  : B → E などを許容する場合は、逆も成り立ちます。したがって、これは( n + 1) -スケルトン上のホモトピーまでの切断の存在の完全な不変量を提供します。

• nに対して帰納することにより、上記のコホモロジー類のうちゼロでない最初のものとして、セクションへの最初の障害を構築できます。
• これを使用して、主バンドルの単純化に対する障害を見つけることができます。
• 任意の写像はファイバ化に変換できるため、この構成は、 p  : E → Bがファイバ化でない場合でも、Bへの写像からEへの写像への持ち上げ(ホモトピーまで)の存在に対する障害があるかどうかを確認するために使用できます。
• これはポストニコフシステムの構築に不可欠です。

幾何学的位相幾何学において、障害理論は位相多様体がいつ区分線形構造を持つか、また区分線形多様体がいつ微分構造を持つかを扱っています。

最大 2 次元 (Rado) および 3 次元 (Moise) では、位相多様体と区分線形多様体の概念は一致します。4 次元では、それらは同じではありません。

最大 6 次元では、区分線形多様体と微分可能多様体の概念は一致します。

手術理論の 2 つの基本的な問題は、 n次元ポアンカレ双対性を持つ位相空間がn次元多様体とホモトピー同値であるかどうか、およびn次元多様体のホモトピー同値性は微分同相写像とホモトピックであるかどうかです。 どちらの場合も、 n > 9の 2 つの障害があります。ベクトル束の存在に対する主要な位相 K 理論障害です。これが消えると法線マップが存在し、ホモトピー同値性を取得するために法線マップ上で手術を実行するという代数 L 理論の二次手術障害の定義が可能になります。

• カービー・ジーベンマン級
• 壁の有限性障害

• Husemöller、Dale (1994)、Fibre Bundles、Springer Verlag、ISBN 0-387-94087-1
• スティーンロッド、ノーマン（1951）、ファイバー束のトポロジー、プリンストン大学出版、ISBN 0-691-08055-0
• スコルパン、アレクサンドル (2005)。4次元多様体のワイルドワールド。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3749-4。