ノルム（数学）

規範${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ベクトル空間上で与えられる${\displaystyle X,}$ベクトルのノルム${\displaystyle z\in X}$通常は二重の縦線で囲んで表記されます。${\displaystyle \|z\|=p(z)}$1920年の博士論文でシュテファン・バナッハが提案したように。このような表記法は、次のような場合にも使用されることがある。${\displaystyle p}$はセミノルムにすぎません。ユークリッド空間におけるベクトルの長さ（以下で説明するように、ノルムの一例です）については、表記法${\displaystyle |x|}$一本の縦線を用いる方法も広く用いられている。

絶対値${\displaystyle |x|}$は、実数または複素数 によって形成されるベクトル空間上のノルムです。複素数は、それ自身上で1次元ベクトル空間を形成し、実数上で2次元ベクトル空間を形成します。絶対値は、これら2つの構造のノルムです。たとえば、1を基底とし、複素数をスカラーとすると1次元ベクトル空間が形成されますが、${\textstyle \{1,i\}}$基底として、実数をスカラーとして、2 次元ベクトル空間を形成し、絶対値は${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$複素数の${\displaystyle z=x+iy}$、 どこ${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$実数であり、ノルムを形成する。

あらゆる規範${\displaystyle p}$1次元ベクトル空間において${\displaystyle X}$は（スケーリングを除いて）絶対値ノルムと等価であり、つまりベクトル空間のノルム保存同型が存在する。${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$どこ${\displaystyle \mathbb {F} }$どちらか${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} ,}$規範を維持するということは、${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ この同型写像は、${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$ノルムのベクトルへ${\displaystyle 1,}$このようなベクトルは、ゼロでない任意のベクトルにそのノルムの逆数を掛けることによって得られるため、存在する。

オン${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ベクトルの長さに関する直感的な概念${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$式^{[ 9 ]で表されます}$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

これはユークリッドノルムであり、原点から点Xまでの通常の距離を表します。これはピタゴラスの定理の結果です。この演算は「SRSS」とも呼ばれ、これは平方和の平方根の頭文字です。^{[ 10 ]}

ユークリッドノルムは、これまでで最も一般的に使用されているノルムです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$^{[ 9 ]}しかし、後述するように、このベクトル空間には他のノルムも存在します。ただし、これらのノルムはすべて、有限次元空間上で同じ位相を定義するという意味で同等です。

ユークリッドベクトル空間の2つのベクトルの内積は、正規直交基底上の座標ベクトルのドット積です。したがって、ユークリッドノルムは座標に依存しない形で次のように 表すことができます。$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

ユークリッドノルムは二次ノルムとも呼ばれる。${\displaystyle L^{2}}$規範、^{[ 11 ]}${\displaystyle \ell ^{2}}$ノルム、2ノルム、または平方ノルム。参照${\displaystyle L^{p}}$空間。ユークリッド距離と呼ばれる距離関数を定義します。${\displaystyle L^{2}}$距離、または${\displaystyle \ell ^{2}}$距離。

ベクトルの集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ユークリッドノルムが与えられた正の定数である${\displaystyle n}$-球体。

実数上にはちょうど４つのユークリッド・フルヴィッツ代数が存在する。これらは実数である。${\displaystyle \mathbb {R} ,}$複素数${\displaystyle \mathbb {C} ,}$四元数${\displaystyle \mathbb {H} ,}$そして最後に八元数${\displaystyle \mathbb {O} ,}$ここで、実数上のこれらの空間の次元は${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$それぞれ。${\displaystyle \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \mathbb {C} }$これらは、前述のとおり、絶対値関数です。

正統的な規範${\displaystyle \mathbb {H} }$四元数の は次のように定義されます。 $${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$ すべての四元数に対して${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$で${\displaystyle \mathbb {H} .}$これはユークリッドノルムと同じです${\displaystyle \mathbb {H} }$ベクトル空間として考えられます${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$同様に、八元数上の標準ノルムは、ユークリッドノルムに等しい。${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

オン${\displaystyle n}$次元複素空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$最も一般的な規範は $${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

この場合、ノルムはベクトルとそれ自身との 内積の平方根として表すことができる。$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$ どこ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$列ベクトルとして表現されます${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$は、その共役転置を表します。

この公式は、ユークリッド空間や複素空間を含む、あらゆる内積空間に対して有効です。複素空間の場合、内積は複素ドット積と等価です。したがって、この場合の公式は、次の表記法を用いて記述することもできます。 $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$その名称は、タクシーが（ニューヨークのマンハッタン区のような）長方形の街路網の中で、出発地から目的地まで 走行しなければならない距離に由来する。${\displaystyle x.}$

1ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合は、ベクトル空間の次元から1を引いた次元に等しい次元を持つクロス多面体の表面を形成します。タクシーノルムは、${\displaystyle \ell ^{1}}$ノルム。このノルムから導出される距離はマンハッタン距離と呼ばれます。${\displaystyle \ell ^{1}}$距離。

1ノルムは、単純に各列の絶対値の合計です。

対照的に、 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$ それは、マイナスの結果をもたらす可能性があるため、一般的ではありません。

させて${\displaystyle p\geq 1}$実数である。${\displaystyle p}$-規範（別名）${\displaystyle \ell ^{p}}$ベクトルのノルム)${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$[ ^{9 ]​}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\biggr )}^{1/p}.}$$ のために${\displaystyle p=1,}$タクシーの基準は、${\displaystyle p=2}$ユークリッドノルムが得られ、${\displaystyle p}$アプローチ${\displaystyle \infty }$の${\displaystyle p}$-ノルムは無限大ノルムまたは最大ノルムに近づく： $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$ の${\displaystyle p}$-ノルムは、一般化平均またはべき平均に関連しています。

のために${\displaystyle p=2,}$の${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$-ノルムは、正準内積によっても誘導される。${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$つまり${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$すべてのベクトルについて${\displaystyle \mathbf {x} .}$この内積は、偏極恒等式を用いてノルムで表すことができる。${\displaystyle \ell ^{2},}$この内積はユークリッド内積は次のように定義される。 $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$ スペースについては${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$測定空間に関連付けられている${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$これはすべての二乗可積分関数から成り立っており、この内積は $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

この定義は依然として興味深い${\displaystyle 0<p<1,}$しかし、結果として得られる関数はノルムを定義しません。^{[ 12 ]}これは三角不等式に違反するためです。この場合、何が正しいのでしょうか。${\displaystyle 0<p<1,}$測定可能な類似物においても、対応する${\displaystyle L^{p}}$クラスはベクトル空間であり、関数も真である。 $${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$ （それなし${\displaystyle p}$（ th ルート）は、距離を定義します。${\displaystyle L^{p}(X)}$完全距離位相ベクトル空間に。これらの空間は、関数解析、確率論、調和解析において非常に興味深い。しかし、自明な場合を除いて、この位相ベクトル空間は局所的に凸ではなく、連続な非零線形形式を持たない。したがって、位相双対空間には零関数のみが含まれる。

の偏微分${\displaystyle p}$-ノルムは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

に関する導関数${\displaystyle x,}$したがって、 $${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}=\left({\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}\right)^{\top }.}$$ どこ${\displaystyle \circ }$アダマール積を表し、${\displaystyle |\cdot |}$これは、ベクトルの各成分の絶対値に使用されます。

特別なケースとして${\displaystyle p=2,}$これは $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$ または $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}=\left({\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}\right)^{\top }.}$$

もし${\displaystyle \mathbf {x} }$は、あるベクトルで、${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$それから： $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

無限大ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合、${\displaystyle c,}$辺の長さが の超立方体の表面を形成する${\displaystyle 2c.}$

ベクトルのエネルギーノルム^{[ 13 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$は対称正定値行列で定義される${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}$として

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

もし${\displaystyle A}$は単位行列であり、このノルムはユークリッドノルムに対応します。${\displaystyle A}$は対角行列であり、このノルムは重み付きノルムとも呼ばれる。エネルギーノルムは、次の内積によって誘導される。${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {y}}}$のために${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}$。

一般的に、ノルムの値はスペクトルに依存します。${\displaystyle A}$: ベクトルの場合${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ユークリッドノルムが1の場合、値は${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}$は、最小および最大の絶対固有値によって下と上に制限される。${\displaystyle A}$それぞれ、境界が達成されるのは${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$対応する（正規化された）固有ベクトルと一致する。対称行列の平方根に基づく${\displaystyle A^{1/2}}$ベクトルのエネルギーノルムは、標準ユークリッドノルムを用いて次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}$$

確率論および関数解析において、ゼロノルムは可測関数の空間およびFノルムを持つ数列のF空間に対して完全な距離位相を誘導する。${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$^{[ 14 ]}ここでFノルム、ある実数値関数を 意味する。${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$距離のあるF空間上${\displaystyle d,}$そのため${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$上述のFノルムは、必要な同次性という性質を欠いているため、通常の意味でのノルムではない。

上記の規範を無限個の構成要素に一般化すると、${\displaystyle \ell ^{p}}$そして${\displaystyle L^{p}}$スペース​${\displaystyle p\geq 1\,,}$規範に従って

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

複素数値シーケンスおよび関数について${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$それぞれ、さらに一般化できる（ハール測度を参照）。これらのノルムは、極限においても有効である。${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$最高規範を与え、と呼ばれる${\displaystyle \ell ^{\infty }}$そして${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

あらゆる内部産物は自然な形で規範を誘発する${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

無限次元ノルムベクトル空間の他の例は、バナッハ空間に関する記事に記載されています。

一般的に、これらのノルムは同じトポロジーを与えません。例えば、無限次元${\displaystyle \ell ^{p}}$空間は無限次元よりも厳密に細かいトポロジーを与える${\displaystyle \ell ^{q}}$スペース${\displaystyle p<q\,.}$

その他の規範${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上記を組み合わせることで構築できます。例えば $${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$ は規範である${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

任意のノルムおよび任意の単射線形変換に対して${\displaystyle A}$私たちは新しい規範を定義することができます${\displaystyle x,}$等しい $${\displaystyle \|Ax\|.}$$ 2Dでは、${\displaystyle A}$45°回転と適切なスケーリングにより、タクシーノルムが最大ノルムに変わります。${\displaystyle A}$タクシーの基準に、軸の反転と交換を除いて適用すると、異なる単位球、すなわち特定の形状、サイズ、および向きを持つ平行四辺形が得られる。

3D空間では、これは1ノルム（正八面体）と最大ノルム（平行四辺形を底面とする角柱）で似ているが、異なる。

「要素ごとの」式で定義されないノルムの例があります。たとえば、中心対称凸体のミンコフスキー汎関数は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（ゼロを中心とする）は、ノルムを定義します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（下記の「半ノルムの分類：絶対凸吸収集合」の項を 参照）。

上記のすべての式は、以下のノルムも生成します。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$変更なし。

行列空間（実数または複素数の要素を持つ）にもノルムがあり、いわゆる行列ノルムと呼ばれる。

させて${\displaystyle E}$体の有限拡張である${\displaystyle k}$不可分な程度${\displaystyle p^{\mu },}$そして${\displaystyle k}$代数的閉包を持つ${\displaystyle K.}$ 異なる埋め込みが${\displaystyle E}$は${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$すると、要素のガロア理論的なノルムは${\displaystyle \alpha \in E}$値は${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ その関数は次数が同次であるため${\displaystyle [E:k]}$ガロア理論のノルムは、この記事の意味でのノルムではない。しかし、${\displaystyle [E:k]}$（その概念が意味を成すと仮定すると）規範の ⁿ 乗根は規範である。^{[ 15 ]}

単位円（ノルム1のすべてのベクトルの集合）の概念は、ノルムによって異なります。1ノルムの場合、単位円はひし形に配向された正方形です。2ノルム（ユークリッドノルム）の場合、よく知られている単位円です。一方、無限大ノルムの場合、軸に沿った正方形です。${\displaystyle p}$-ノルムでは、軸が合同な超楕円になります（添付の図を参照）。ノルムの定義により、単位円は凸で中心対称でなければなりません（したがって、たとえば、単位球は長方形にはなり得ますが、三角形にはなり得ません）。${\displaystyle p\geq 1}$のために${\displaystyle p}$-規範）。

ベクトル空間に関して言えば、セミノルムは空間上の位相を定義し、セミノルムが異なるベクトルを区別できる場合に限り、これはハウスドルフ位相となります。これは、セミノルムがノルムであることと同値です。このように定義された位相（ノルムまたはセミノルムのいずれかによって定義される）は、シーケンスまたは開集合の観点から理解することができます。ベクトルのシーケンス${\displaystyle \{v_{n}\}}$ノルムにおいて収束すると言われている${\displaystyle v,}$もし${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$として${\displaystyle n\to \infty .}$言い換えれば、位相は開球の和集合として表せるすべての集合から構成される。${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ノルム空間である場合^{[ 18 ]}${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

2つの規範${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$そして${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ベクトル空間上${\displaystyle X}$と呼ばれる同じ位相を誘導する場合、それらは同等である^{[ 19 ]。}これは、正の実数が存在する場合に限り起こる。${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$すべての${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$ 例えば、${\displaystyle p>r\geq 1}$の上${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$それから^{[ 20 ]}$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

特に、 $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$ つまり、 $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$ ベクトル空間が有限次元の実数空間または複素数空間である場合、すべてのノルムは等価である。一方、無限次元ベクトル空間の場合、すべてのノルムが等価であるとは限らない。

同値ノルムは、連続性と収束性という同じ概念を定義するため、多くの場合、区別する必要はありません。より正確に言えば、ベクトル空間上の同値ノルムによって定義される均一構造は、一様同型です。この同値性は、ノルムが常に互換性があることを意味すると誤解してはなりません。例えば、モデルフィッティングの文脈では、異なるノルムを用いると、異なるフィッティング結果や異なるアルゴリズム効率が得られる可能性があります。