離散空間

実数に対する通常の測定基準を使用してこの集合を考えてみましょう。すると、は離散空間になります。なぜなら、各点について、それを開区間で囲むことができるためです。したがって、交点は当然シングルトンです。実数の開集合と誘導位相の交点は開いているため、は開いているため、シングルトンは開いており、は離散空間です。 ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{n}=2^{-n}\in X,}$${\displaystyle (x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),}$${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.}$${\displaystyle \left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X}$${\displaystyle \{x_{n}\}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle X}$

しかし、 は一様に離散的ではありません。その理由を理解するには、 が存在すると仮定し、がとなる場合、 にはと が少なくとも 2 つ存在し、がより互いに近いことを示すだけで十分です。 隣接する点と の間の距離は であるため、この不等式を満たす を見つける必要があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle d(x,y)>r}$${\displaystyle x\neq y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r.}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n+1}}$${\displaystyle 2^{-(n+1)},}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}}$$

与えられた実数よりも大きい数が常に存在するため、任意の正の数よりも互いに近い点が少なくとも 2 つ存在し、したがって は均一に離散的ではないということになります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle X}$