辺の長さがx 、y 、z である三角形の三角不等式の 3 つの例を示します。上の例は、z が 他の 2 辺の和x + y zが x + y 数学 において、三角形の不等式は、任意の 三角形 において、任意の2辺の長さの和は、残りの1辺の長さ以上でなければならないと述べている。[ 1 ] [ 2 ] この記述は退化した三角形 を含めることを許容するが、特に初等幾何学について書いている著者の中には、この可能性を除外し、したがって等号の可能性を排除する者もいる。[ 3 ] a 、b 、c が三角形の辺の長さである場合、三角形の不等式は次のように述べている。
c ≤ 1 + b 、 {\displaystyle c\leq a+b,} 等号が成り立つのは、面積がゼロの三角形という特殊な場合に限られる。
ユークリッド幾何学 やその他の幾何学において、三角不等式はベクトルとベクトルの長さ（ノルム ）に関する定理である。
‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖ 、 {\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,} ここで、3 辺の長さはベクトル和u + v 、 それら ベクトル として見なすことができます。R 1 \displaystyle \mathbb {R} ^{1}} 絶対値 間の関係を表します。
ユークリッド幾何学では、直角三角形の場合、三角形の不等式は ピタゴラスの定理 の結果であり、一般の三角形の場合は余弦定理 の結果であるが、これらの定理を用いなくても証明できる。この不等式は、どちらの場合も直感的に理解できる。R 2 \displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 180°の 角と2つの0°の 角を持ち、3つの頂点が 一直線上に ある場合にのみ等号が成立します。これは下の例に示されています。したがって、ユークリッド幾何学では、2点間の最短距離は直線になります。
球面幾何学 では、2点間の最短距離は大 円弧ですが、三角形の不等式は、球面上の2点間の距離が、それらの端点を持つ劣球面線分（つまり、中心角が [ 0, π ] [ 4 ] [ 5 ]
三角不等式は、ノルム と距離尺度を 定義する性質です。この性質は、 実数 、ユークリッド空間 、L p 空間 ( p ≥ 1 )、内積空間など、特定の空間ごとに、そのような目的で提案された関数の定理として確立されなければなりません 。
ユークリッド幾何学 平面幾何学における三角形の不等式の証明のためのユークリッドの作図法。 三角不等式定理は、ユークリッドの『原論 』第1巻命題20に記されている。
[…]三角形ABCでは、任意の2辺の和は残りの1辺よりも大きい。つまり、BAとACの和はBCよりも大きく、ABとBCの和はACよりも大きく、BCとCAの和はABよりも大きい。 [ 6 ]
ユークリッドは、図に示す作図を用いて平面幾何学 における距離の三角形の不等式を証明した。 [ 7 ] 三角形ABC から始めて、一辺をBC AB BD とする二等辺三角形を作図する。次に、角βは角 α よりも大きいので、辺ADは辺 AC
A D ¯ = A B ¯ + B D ¯ = A B ¯ + B C ¯ 、 {\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}},} したがって、辺AB BC AC ユークリッドの『原論』 第 1 巻命題 20に記載されている。 [ 6 ]
三角形の辺に対する制約の数学的表現 正三角形の場合、三角形の不等式は、言葉で述べると、文字通り3つの不等式に翻訳されます（正三角形の辺の長さa 、b 、c
1 + b > c 、 b + c > 1 、 c + 1 > b 。 {\displaystyle a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.} この不等式体系のより簡潔な形式は、次のように表すことができる。
| 1 − b | < c < 1 + b 。 {\displaystyle |ab|<c<a+b.} 別の言い方をすれば
最大 （ 1 、 b 、 c ） < 1 + b + c − 最大 （ 1 、 b 、 c ） {\displaystyle \max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)} 暗示する
2 最大 （ 1 、 b 、 c ） < 1 + b + c {\displaystyle 2\max(a,b,c)<a+b+c} したがって、最長辺の長さは半周長 よりも短い。
数学的に同等の定式化としては、辺の長さがa 、b 、c ヘロンの公式は次の通りである。
4 ⋅ エリア = （ 1 + b + c ） （ − 1 + b + c ） （ 1 − b + c ） （ 1 + b − c ） = − 1 4 − b 4 − c 4 + 2 1 2 b 2 + 2 1 2 c 2 + 2 b 2 c 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot {\text{面積}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}} 面積のどちらの表現に関しても、すべての辺に課せられた三角形の不等式は、平方根記号の下の式が実数でゼロより大きいという条件と同等です（したがって、面積の表現は実数でゼロより大きい）。
三角形の不等式は、辺の長さがa 、b 、c a ≥ b ≥ c ϕ {\displaystyle \phi } 黄金比 です。
1 < 1 + c b < 3 {\displaystyle 1<{\frac {a+c}{b}}<3} 1 ≤ ミニ （ 1 b 、 b c ） < ϕ 。 {\displaystyle 1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .} [ 8 ]
直角三角形 辺の長さが等しい二等辺三角形AB = AC を 直角三角形の場合、三角形の不等式は、斜辺が 2辺のどちらよりも大きく、かつ2辺の和よりも小さいという記述に特化されます。[ 9 ]
この定理の後半部分は、任意の三角形の任意の辺について既に上で証明されています。前半部分は下の図を用いて証明されます。図では、直角三角形ADC を 考えます。二等辺三角形ABCは、辺 AB AC 三角形の公準 から、直角三角形ADC の角は次の条件を満たします。
α + γ = π / 2 。 {\displaystyle \alpha +\gamma =\pi /2\ .} 同様に、二等辺三角形ABC では、角度は次の条件を満たします。
2 β + γ = π 。 {\displaystyle 2\beta +\gamma =\pi \ .} したがって、
α = π / 2 − γ 、 w h 私 l e β = π / 2 − γ / 2 、 {\displaystyle \alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,} そのため、特に、
α < β 。 {\displaystyle \alpha <\beta \ .} つまり、角αの対辺 AD は、より大きな角βの対辺 AB よりも短い。しかし、AB = ACで
A C ¯ > A D ¯ 。 {\displaystyle {\overline {AC}}>{\overline {AD}}\ .} 同様の構成により交流 直流である
別の証明（これも三角形の公準に基づく）では、点B の 3 つの位置を検討します。[ 10 ] B が D と一致する位置（この場合、二等辺三角形の底角は 2 つの直角で、頂角γが加わるため、 三角形の公準に 違反します）、または最後に、(iii) B が点 A とD の間の直角三角形の内部にある位置（この場合、角ABCは直角三角形 BDC の外角であり、したがってπ /2π /2π を 超え、三角形の公準に違反します）。
この不等式を確立する定理は、ピタゴラスの定理 によって、斜辺の長さの二乗が他の二辺の長さの二乗の和に等しいという等式へとより厳密に拡張される。
使用例 辺の長さが等差数列 である三角形を考え、辺の長さをa 、a + d 、a + 2d
0 < 1 < 2 1 + 3 d 、 0 < 1 + d < 2 1 + 2 d 、 0 < 1 + 2 d < 2 1 + d 。 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&2a+3d,\\0&<&a+d&<&2a+2d,\\0&<&a+2d&<&2a+d.\end{array}}} これらの不等式をすべて満たすには、
1 > 0 そして − 1 3 < d < 1 。 {\displaystyle a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.} [ 11 ] d を d = a / 33、4、5 のピタゴラス 数 に 常に相似な直角三角形が生成されます。
ここで、辺の長さが等比数列 である三角形を考え、辺の長さをa 、ar 、ar 2
0 < 1 < 1 r + 1 r 2 、 0 < 1 r < 1 + 1 r 2 、 0 < 1 r 2 < 1 + 1 r 。 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2},\\0&<&ar&<&a+ar^{2},\\0&<&\!ar^{2}&<&a+ar.\end{array}}} 最初の不等式はa > 0a > 0r > 0
r 2 + r − 1 > 0 r 2 − r − 1 < 0. {\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}} これらの二次 不等式のうち最初のものは、rが二次方程式 r² + r − 1 = 0r > φ − 1 のφは 黄金比 です。2番目 rが 0 から二次方程式 r² − r − 1 = 00 < r < φ の範囲にあることを要求します。これらの条件を組み合わせると、r は の範囲に制限されます。
φ − 1 < r < φ そして 1 > 0. {\displaystyle \varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.} [ 12 ] 公比r を r = √ φ ケプラーの三角形 と相似な直角三角形が生成されます。
任意の多角形への一般化 三角形の不等式は、数学的帰納法 によって任意の多角形の経路に拡張することができ、そのような経路の全長は、その両端を結ぶ直線の長さ以上であることが示される。したがって、どの多角形の辺の長さも、他の多角形の辺の長さの合計より常に小さくなる。
四角形に対する一般化多角形不等式の例 辺の長さが等比数列 をなす四角形を考え、辺の長さをa 、ar 、ar 2 、ar 3
0 < 1 < 1 r + 1 r 2 + 1 r 3 0 < 1 r < 1 + 1 r 2 + 1 r 3 0 < 1 r 2 < 1 + 1 r + 1 r 3 0 < 1 r 3 < 1 + 1 r + 1 r 2 。 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar&<&a+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar^{2}&<&a+ar+ar^{3}\\0&<&ar^{3}&<&a+ar+ar^{2}.\end{array}}} a > 0 の
r 3 + r 2 + r − 1 > 0 {\displaystyle r^{3}+r^{2}+r-1>0} r 3 − r 2 − r − 1 < 0. {\displaystyle r^{3}-r^{2}-r-1<0.} [ 13 ] これら2つの不等式の左辺の多項式は、トリボナッチ定数 とその逆数を根としています。したがって、rは 1/ t < r < t の範囲に制限されます。ここでt はトリボナッチ定数です。
コンバース 三角形の不等式定理の逆もまた真である。すなわち、3つの実数がそれぞれ他の2つの実数の和よりも小さい場合、これらの実数を辺の長さとする面積が正の三角形が存在する。また、1つの実数が他の2つの実数の和に等しい場合、これらの実数を辺の長さとする面積がゼロの退化三角形が存在する。
いずれの場合も、辺の長さがa 、b 、cであれば、図に示すように ユークリッド平面 上に三角形を配置することができます。a 、 b 、c の値と一致する実数h が存在し、その場合この三角形が存在することを証明する必要があります。
高さh の三角形が底辺cを d + ( c − d )右図に示すように、ピタゴラスの定理 より 、b² = h² + d²および = h² + ( c − d ) ² と 、 a² − b² = c² − 2cd となります。この式により 、 d を 三角形 。
d = − 1 2 + b 2 + c 2 2 c 。 {\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.} 三角形の高さはh 2 = b 2 − d 2 d を 置き換えると、次のようになります。
h 2 = b 2 − （ − 1 2 + b 2 + c 2 2 c ） 2 。 {\displaystyle h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.} 実数h がこれを満たすためには、h 2 は
0 ≤ b 2 − （ − 1 2 + b 2 + c 2 2 c ） 2 0 ≤ （ b − − 1 2 + b 2 + c 2 2 c ） （ b + − 1 2 + b 2 + c 2 2 c ） 0 ≤ （ 1 2 − （ b − c ） 2 ） （ （ b + c ） 2 − 1 2 ） 0 ≤ （ 1 + b − c ） （ 1 − b + c ） （ b + c + 1 ） （ b + c − 1 ） 0 ≤ （ 1 + b − c ） （ 1 + c − b ） （ b + c − 1 ） {\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[4pt]0&\leq \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\\[4pt]0&\leq \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\end{aligned}}} これは、三角形の不等式がすべての辺で満たされる場合に成立する。したがって、実数が存在する。h {\displaystyle h} 1 、 b 、 c {\displaystyle a,b,c} 厳密に 成り立つ場合、h > 0 {\displaystyle h>0} h = 0 {\displaystyle h=0}
高次元への一般化 正四面 体の三角形面の面積は、他の３つの三角形面の面積の合計以下である。より一般的には、ユークリッド空間では、n 単体 の( n -1) 面の超体積は、他の n 面の超体積の合計以下である。[ 15 ]
三角形の不等式が多角形の不等式に一般化されるのと同様に、任意の次元の単体に対する不等式は任意の次元の多面体 に対して一般化される。すなわち、多面体の任意の面の超体積は、残りの面の超体積の合計以下である。
場合によっては、四面体不等式は三角形不等式のいくつかの適用よりも強い。たとえば、三角形不等式は、ユークリッド空間に距離が4 つの点A 、B 、C 、Zが存在する可能性を許容しているように見える。
AB = BC = CA = 26そして
AZ = BZ = CZ = 14しかし、そのような距離の点は存在し得ません。26-26-26の 正三角形ABC 169 3 {\textstyle 169{\sqrt {3}}} 39 3 {\textstyle 39{\sqrt {3}}} 26-14-14の 二等辺三角形の面積（すべてヘロンの公式 による）であるため、この配置は四面体不等式によって禁止されている。
ノルムベクトル空間 ベクトルのノルムに関する三角不等式。 ノルム化されたベクトル空間 V において、ノルム を定義する性質の一つは、三角不等式である。
‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖ ∀ u 、 v ∈ V {\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|\quad \forall \,\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}
つまり、2 つのベクトルの和 のノルムは、2 つのベクトルのノルムの和以下である。これは劣加法性 とも呼ばれる。提案された関数がノルムとして振る舞うためには、この要件を満たさなければならない。[ 16 ]
三角形の合同 ノルム空間がユークリッド 空間、あるいはより一般的には厳密に凸 空間である場合、三角形の等式は ‖ u + v ‖ = ‖ u ‖ + ‖ v ‖ {\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|} u v u + v u v u = 0v = 0α > 0に対して u = α v [ 17 ]
この性質は、1 < p < ∞の ℓ p 空間のような厳密に凸なノルム空間を特徴づけます。しかし、これが成り立たないノルム空間も存在します。例えば、 ℓ 1 マンハッタン距離 )を持つ平面を考え、 u = (1, 0) およびv = (0, 1)とします。すると、 u v u + v
‖ u + v ‖ = ‖ （ 1 、 1 ） ‖ = | 1 | + | 1 | = 2 = ‖ u ‖ + ‖ v ‖ 。 {\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}
規範の例 絶対値は 実数直線 のノルムであり、要求どおり、絶対値は任意の実数u とv に対して三角不等式を満たします。
u とv の符号が同じか、どちらかがゼロの場合、| u + v | = | u | + | v | 。 {\displaystyle |u+v|=|u|+|v|.} u とv が反対の符号を持つ場合、一般性を失うことなく 、| u | > | v | 。 {\displaystyle |u|>|v|.} | u + v | = | u | − | v | < | u | + | v | 。 {\displaystyle |u+v|=|u|-|v|<|u|+|v|.} これらのケースを組み合わせると：[ 18 ]
| u + v | ≤ | u | + | v | 。 {\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|.}
三角不等式は、2 つの数の和の大きさを個々の数の大きさで表した最良の上限推定値を決定するために、数学的解析 で役立ちます。また、任意の実数u とv に対して、 逆三角不等式を使用して求めることができる下限推定値もあります。 | u − v | ≥ | | u | − | v | | 。 {\displaystyle |u-v|\geq {\bigl |}|u|-|v|{\bigr |}.}
タクシーノルム v = （ v 1 、 v 2 、 … v n ） 、 {\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),} ‖ v ‖ 1 = | v 1 | + | v 2 | + ⋯ + | v n | 。 {\displaystyle \|v\|_{1}=|v_{1}|+|v_{2}|+\dotsb +|v_{n}|.}
ユークリッドノルム または2ノルムは、n 次元ユークリッド空間における並進ベクトルの長さを デカルト座標 系で定義します。ベクトルの場合v = （ v 1 、 v 2 、 … v n ） 、 {\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),} n 次元ピタゴラスの定理 を用いて定義される。 ‖ v ‖ 2 = | v 1 | 2 + | v 2 | 2 + ⋯ + | v n | 2 。 {\displaystyle \|v\|_{2}={\sqrt {|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}+\dotsb +|v_{n}|^{2}}}.}
内積は、無限次元の例を含むユークリッドベクトル空間の一般化である任意の 内積空間 のノルムです。三角不等式は、コーシー・シュワルツの不等式 から次のように導かれます。ベクトルu とv が与えられ、内積を次のように表します。⟨ u 、 v ⟩ {\displaystyle \langle u,v\rangle } [ 19 ]
‖ u + v ‖ 2 = ⟨ u + v 、 u + v ⟩ = ‖ u ‖ 2 + ⟨ u 、 v ⟩ + ⟨ v 、 u ⟩ + ‖ v ‖ 2 ≤ ‖ u ‖ 2 + 2 | ⟨ u 、 v ⟩ | + ‖ v ‖ 2 ≤ ‖ u ‖ 2 + 2 ‖ u ‖ ‖ v ‖ + ‖ v ‖ 2 （コーシー・シュワルツの不等式による） = （ ‖ u ‖ + ‖ v ‖ ） 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\|u+v\|^{2}&=\langle u+v,u+v\rangle \\&=\|u\|^{2}+\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\|v\|^{2}\\&\leq \|u\|^{2}+2|\langle u,v\rangle |+\|v\|^{2}\\&\leq \|u\|^{2}+2\|u\|\|v\|+\|v\|^{2}\quad {\text{(by Cauchy–Schwarz inequality)}}\\&=\left(\|u\|+\|v\|\right)^{2}\end{aligned}}}
コーシー・シュワルツの不等式は、 u とvが 線形従属である場合に限り等式になる。⟨ u 、 v ⟩ + ⟨ v 、 u ⟩ ≤ 2 | ⟨ u 、 v ⟩ | {\displaystyle \langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle \leq 2\left|\left\langle u,v\right\rangle \right|} 線形従属なベクトルu と v に対して等式となるのは、ベクトルu またはvのいずれかが他方の 非負の スカラーである場合に限る。最終結果の平方根を取ると、三角不等式が得られる。
pノルムは 、 ‖ v ‖ p = （ | v 1 | p + | v 2 | p + ⋯ + | v n | p ） 1 / p 、 {\displaystyle \|v\|_{p}={\bigl (}|v_{1}|^{p}+|v_{2}|^{p}+\dotsb +|v_{n}|^{p}{\bigr )}^{1/p},} v i はベクトルv の成分です。
p = 2 のp ノルムは平行四辺形の法則 を満たさないため、内積ノルムではありません。p の 一般値に対する三角形不等式はミンコフスキーの不等式 と呼ばれます。[ 20 ] ‖ u + v ‖ p ≤ ‖ u ‖ p + ‖ v ‖ p 。 {\displaystyle \|u+v\|_{p}\leq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}\ .}
メトリック空間 距離d を持つ距離空間 M において、三角不等式は距離 に関する要件である。 d （ A 、 C ） ≤ d （ A 、 B ） + d （ B 、 C ） 、 {\displaystyle d(A,\ C)\leq d(A,\ B)+d(B,\ C)\ ,}
M 内のすべての点A 、B 、C について。つまり、Aから C までの距離は、 Aから B までの距離とBから C までの距離の合計以下です。
三角不等式は、距離空間の興味深い構造の大部分、すなわち収束性に関係しています。これは、距離空間の残りの要件が比較的単純であるためです。たとえば、距離空間内の任意の収束列が コーシー列であるという事実は、三角不等式の直接的な結果です。なぜなら、任意の x n とx m を 次のように 選択すると、d （ x n 、 x ） < ε 2 、 d （ x m 、 x ） < ε 2 、 {\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}},\quad d(x_{m},x)<{\frac {\varepsilon }{2}},} ε > 0
d （ x n 、 x m ） ≤ d （ x n 、 x ） + d （ x m 、 x ） < ε 2 + ε 2 = ε 、 {\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x)+d(x_{m},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,}
したがって、定義により、数列{ x n } はコーシー列である。
このバージョンの三角不等式は、ノルム付きベクトル空間の場合、計量が誘導される際に、上記の不等式に帰着する。 d （ u 、 v ） := ‖ u − v ‖ 、 {\displaystyle d(u,v):=\|u-v\|,} u − v は点vから 点 u に向かうベクトルである。
逆三角不等式 逆三角不等式は 、上限ではなく下限を与える三角不等式の同等の別の定式化です。平面幾何学の場合、その記述は次のとおりです。[ 21 ]
三角形のどの辺も、他の2辺の差以上である 。ノルム化されたベクトル空間の場合、その記述は次のようになります。 | ‖ u ‖ − ‖ v ‖ | ≤ ‖ u − v ‖ 、 {\displaystyle {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|,} | d （ A 、 C ） − d （ B 、 C ） | ≤ d （ A 、 B ） 。 {\displaystyle |d(A,C)-d(B,C)|\leq d(A,B).} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} z からの距離関数d ( z , · )1で リプシッツ連続 であり、したがって特に一様連続で ある。
通常の三角不等式からの逆三角不等式の証明は、 ‖ v − u ‖ = ‖ − 1 （ u − v ） ‖ = | − 1 | ⋅ ‖ u − v ‖ = ‖ u − v ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}\|v-u\|&=\|{-}1(u-v)\|\\[2pt]&=|{-}1|\cdot \|u-v\|\\[2pt]&=\|u-v\|\end{aligned}}} ‖ u ‖ = ‖ （ u − v ） + v ‖ ≤ ‖ u − v ‖ + ‖ v ‖ ⇒ ‖ u ‖ − ‖ v ‖ ≤ ‖ u − v ‖ 、 ‖ v ‖ = ‖ （ v − u ） + u ‖ ≤ ‖ v − u ‖ + ‖ u ‖ ⇒ ‖ u ‖ − ‖ v ‖ ≥ − ‖ u − v ‖ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|=\|(u-v)+v\|&\leq \|u-v\|+\|v\|\\[4pt]\Rightarrow \quad \|u\|-\|v\|&\leq \|u-v\|,\\[10pt]\|v\|=\|(v-u)+u\|&\leq \|v-u\|+\|u\|\\[4pt]\Rightarrow \quad \|u\|-\|v\|&\geq -\|u-v\|,\end{aligned}}}
これら2つの記述を組み合わせると次のようになります。 − ‖ u − v ‖ ≤ ‖ u ‖ − ‖ v ‖ ≤ ‖ u − v ‖ ⇒ | ‖ u ‖ − ‖ v ‖ | ≤ ‖ u − v ‖ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&-\|u-v\|\leq \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|\\[4pt]&\Rightarrow \quad {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|.\end{aligned}}}
逆に、逆三角不等式から三角不等式を証明する方法は、次の2つの場合に有効です。
もし‖ u + v ‖ − ‖ u ‖ ≥ 0 、 {\displaystyle \|u+v\|-\|u\|\geq 0,} ‖ u + v ‖ − ‖ u ‖ = | ‖ u + v ‖ − ‖ u ‖ | ≤ ‖ （ u + v ） − u ‖ = ‖ v ‖ ⇒ ‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}&\|u+v\|-\|u\|={\big |}\|u+v\|-\|u\|{\big |}\leq \|(u+v)-u\|=\|v\|\\[4pt]&\Rightarrow \quad \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|\end{aligned}}} そしてもし‖ u + v ‖ − ‖ u ‖ < 0 、 {\displaystyle \|u+v\|-\|u\|<0,} ‖ u ‖ + ‖ v ‖ ≥ ‖ u ‖ > ‖ u + v ‖ {\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u\|>\|u+v\|} したがって、どちらの場合も、次のことがわかります。 ‖ u ‖ + ‖ v ‖ ≥ ‖ u + v ‖ 。 {\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u+v\|.}
距離空間の場合、逆三角不等式の証明は同様に次のようにして得られます。 d （ A 、 B ） + d （ B 、 C ） ≥ d （ A 、 C ） ⇒ d （ A 、 B ） ≥ d （ A 、 C ） − d （ B 、 C ） d （ C 、 A ） + d （ A 、 B ） ≥ d （ C 、 B ） ⇒ d （ A 、 B ） ≥ d （ B 、 C ） − d （ A 、 C ） {\displaystyle {\begin{aligned}d(A,B)+d(B,C)&\geq d(A,C)\\[4pt]\Rightarrow \quad d(A,B)&\geq d(A,C)-d(B,C)\\[10pt]d(C,A)+d(A,B)&\geq d(C,B)\\[4pt]\Rightarrow \quad d(A,B)&\geq d(B,C)-d(A,C)\end{aligned}}} d （ A 、 B ） ≥ | d （ A 、 C ） − d （ B 、 C ） | {\displaystyle d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|}
そしてその逆、つまり逆三角不等式から出発して、再び2つの場合を用いることができます。
もしd （ A 、 C ） − d （ B 、 C ） ≥ 0 {\displaystyle d(A,C)-d(B,C)\geq 0} d （ A 、 B ） ≥ | d （ A 、 C ） − d （ B 、 C ） | = d （ A 、 C ） − d （ B 、 C ） ⇒ d （ A 、 B ） + d （ B 、 C ） ≥ d （ A 、 C ） {\displaystyle {\begin{aligned}&d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|=d(A,C)-d(B,C)\\[4pt]&\Rightarrow \quad d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)\end{aligned}}} そしてもしd （ A 、 C ） − d （ B 、 C ） < 0 、 {\displaystyle d(A,C)-d(B,C)<0,} d （ A 、 B ） + d （ B 、 C ） ≥ d （ B 、 C ） > d （ A 、 C ） {\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(B,C)>d(A,C)} したがって、どちらの場合も、次のことがわかります。 d （ A 、 B ） + d （ B 、 C ） ≥ d （ A 、 C ） 。 {\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C).}
コサイン類似度に関する三角形の不等式 弧長の三角形不等式と逆三角形不等式にコサイン関数を適用し、コサインの角度加算と減算の公式を用いると、直ちに次のことが導かれる[ 22 ]
シム （ u 、 w ） ≥ シム （ u 、 v ） ⋅ シム （ v 、 w ） − （ 1 − シム （ u 、 v ） 2 ） ⋅ （ 1 − シム （ v 、 w ） 2 ） {\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\geq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)-{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}}
そして
シム （ u 、 w ） ≤ シム （ u 、 v ） ⋅ シム （ v 、 w ） + （ 1 − シム （ u 、 v ） 2 ） ⋅ （ 1 − シム （ v 、 w ） 2 ） 。 {\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\leq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)+{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}\,.}
これらの式では、検査するベクトルのペア { u , v } ごとに arccos(sim( u , v )) を計算するのではなく、検査するベクトルのトリプル { u , v , w } ごとに平方根 を 計算 する 必要 が あり 、 検査 するトリプルの 数 が 検査 する ペア の 数 より
注記 ↑ Wolfram MathWorld – http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html ↑ Mohamed A. Khamsi; William A. Kirk (2001). "§1.4 R n における三角不等式 " . 距離空間と不動点理論入門 . Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0 。↑ 例えば、 Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , WH Freeman & Co., p. 246, ISBN 0-7167-0456-0 ↑ Oliver Brock; Jeff Trinkle; Fabio Ramos (2009). Robotics: Science and Systems IV . MIT Press. p. 195. ISBN 978-0-262-51309-8 。↑アーラン・ラムゼイ、ロバート・D・リヒト マイヤー （1995）。 双曲幾何学入門 。シュプリンガー。17 ページ 。ISBN 0-387-94339-0 。1 2 David E. Joyce (1997). "ユークリッド原論、第1巻、命題20" . ユークリッド原論 . クラーク大学数学・コンピュータ科学科. 2010年6月25日 取得 . ↑ ハロルド・R・ジェイコブス（2003）。 幾何学：見る、行う、理解する （ 第3 版）。マクミラン。p. 201。ISBN 0-7167-4361-2 。↑ American Mathematical Monthly ↑ クロード・アーウィン・パーマー (1919)。 家庭学習のための実践数学：算術、幾何学、代数、三角法の基礎 。マグロウヒル。p. 422 。 ↑ Alexander Zawaira; Gavin Hitchcock (2009). "補題 1: 直角三角形において、斜辺は他の 2 辺よりも大きい" . 数学コンテスト入門 . オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-953988-8 。↑ Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<2a+3d, 0<a+d<2a+2d, 0<a+2d<2a+d, " . Wolfram Research . 2010年9月7日 取得 . ↑ Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<ar+ar 2 , 0<ar<a+ar 2 , 0<ar 2 <a+ar " . Wolfram Research . 2010年9月7日 取得 . ↑ Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<ar+ar 2 +ar 3 , 0<ar 3 <a+ar+ar 2 " . Wolfram Research . 2012-07-29 取得 . ↑ ジョン・スティルウェル (1997). 数と幾何学 . スプリンガー. ISBN 978-0-387-98289-2 。↑ 泉修造 (2016). 「単体不等式の十分性」 . アメリカ数学会紀要 . 144 (3): 1299– 1307. doi : 10.1090/proc12756 . ISSN 0002-9939 . ↑ Rainer Kress (1988). "§3.1: ノルム空間" . 数値解析 . Springer. p. 26. ISBN 0-387-98408-9 。↑ 「三角形の等式について - グジェゴシュ・ウィシク」 （PDF） 。 2018年7月21日に オリジナル （PDF） からアーカイブされました。 ↑ 別個のケースを必要としない証明は次のとおりです。任意の数は常にその絶対値以下なので、− | u | ≤ u ≤ | u | {\displaystyle -|u|\leq u\leq |u|} − | v | ≤ v ≤ | v | 。 {\displaystyle -|v|\leq v\leq |v|.} − （ | u | + | v | ） ≤ u + v ≤ | u | + | v | 、 {\displaystyle -{\bigl (}|u|+|v|{\bigr )}\leq u+v\leq |u|+|v|,} − 1 ≤ b ≤ 1 {\displaystyle -a\leq b\leq a} 1 = | u | + | v | {\displaystyle a=|u|+|v|} b = u + v 。 {\displaystyle b=u+v.} | b | ≤ 1 {\displaystyle |b|\leq a} | u + v | ≤ | u | + | v | 。 {\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|.}
ジェームズ・スチュワート（2008）。『エッセンシャル・カルキュラス . A10。ISBN 978-0-495-10860-3 。 ↑ ジョン・スティルウェル（2005）。 『幾何学の四つの柱』 。 シュプリンガー。80 ページ 。ISBN 0-387-25530-3 。↑カレン ・ サックス （2002）。 『関数解析入門』 。スプリンガー。p. 61。ISBN 0-387-95224-1 。↑ 匿名 (1854)。 「第19命題に対する練習問題1」 。 『大衆教育者』第4巻 。ロンドン、ラドゲート・ヒル：ジョン・カッセル。196ページ 。 ↑ Schubert, Erich (2021). A Triangle Inequality for Cosine Similarity . International Conference on Similarity Search and Applications. Dortmund: Springer. arXiv : 2107.04071 . doi : 10.1007/978-3-030-89657-7_3 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[4pt]0&\leq \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\\[4pt]0&\leq \left(a^{2}-(bc)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\\[6pt]0&\leq (a+bc)(a-b+c)(b+c+a)(b+ca)\\[6pt]0&\leq (a+bc)(a+cb)(b+ca)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f266b2a02c0f9643c3c251cd0cc417af539466)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|vu\|&=\|{-}1(uv)\|\\[2pt]&=|{-}1|\cdot \|uv\|\\[2pt]&=\|uv\|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31868b08dc171ed284539418dbb353342b171ba)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|=\|(uv)+v\|&\leq \|uv\|+\|v\|\\[4pt]\Rightarrow \quad \|u\|-\|v\|&\leq \|uv\|,\\[10pt]\|v\|=\|(vu)+u\|&\leq \|vu\|+\|u\|\\[4pt]\Rightarrow \quad \|u\|-\|v\|&\geq -\|uv\|,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fb595654b65d04790d7e4ee53734d283bdc24d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-\|uv\|\leq \|u\|-\|v\|\leq \|uv\|\\[4pt]&\Rightarrow \quad {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|uv\|.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa74dde374ebc90d3dc6d66f7d9e76e0d87459f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\|u+v\|-\|u\|={\big |}\|u+v\|-\|u\|{\big |}\leq \|(u+v)-u\|=\|v\|\\[4pt]&\Rightarrow \quad \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94273fd56882c0461dd1560fc4ff5f846260ac7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d(A,B)+d(B,C)&\geq d(A,C)\\[4pt]\Rightarrow \quad d(A,B)&\geq d(A,C)-d(B,C)\\[10pt]d(C,A)+d(A,B)&\geq d(C,B)\\[4pt]\Rightarrow \quad d(A,B)&\geq d(B,C)-d(A,C)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2828ef09dabe536e62006c2c44db273791f200b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|=d(A,C)-d(B,C)\\[4pt]&\Rightarrow \quad d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a741d06ef7decc127c8de159a45666133f6a14)
