分離可能な拡張部分

体論（代数学の一分野）における代数体拡張${\displaystyle E/F}$は、すべての に対して である場合、分離可能な拡張と呼ばれます。${\displaystyle \alpha \in E}$最小多項式​${\displaystyle \alpha }$F上の拡大は分離可能な多項式である(すなわち、形式的導関数と互いに素である、または同等に、どの拡大体においても重複根を持たない)。^{[ 1 ]}また、 E が必ずしもF上の代数的ではない 場合に適用される、より一般的な定義もある。分離可能でない拡大は分離不可能であると言われる。

標数ゼロの体の代数的拡大はすべて分離可能であり、有限体の代数的拡大もすべて分離可能である。^{[ 2 ]} このことから、数学で考察されるほとんどの拡大は分離可能であることがわかる。しかしながら、分離不可能な拡大の存在は、標数ゼロで証明された多くの定理を標数ゼロ以外の場合に拡張する際の主な障害となるため、分離可能性の概念は重要である。例えば、ガロア理論の基本定理は正規拡大に関する定理であり、標数ゼロ以外の場合にも、拡大が分離可能であると仮定した場合にのみ真となる。^{[ 3 ]}

その反対の概念である純粋に分離不可能な拡張も自然に生じます。なぜなら、すべての代数的拡張は、分離可能な拡張の純粋に分離不可能な拡張として一意に分解できるからです。代数的拡張${\displaystyle E/F}$非零特性pの体が純粋に分離不可能な拡張であるのは、すべての に対して が成り立つ場合に限る。${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$最小多項式${\displaystyle \alpha }$F上の は分離多項式ではない、あるいは同等に、 Eのすべての要素xに対して、正の整数kが存在して、${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$[ ^{4 ]​}

（純粋に）分離不可能な拡張の最も単純な非自明な例は、${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$不定元xにおける有限体係数を持つ有理関数の体${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$要素${\displaystyle x\in E}$最小多項式を持つ${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$持っている${\displaystyle f'(X)=0}$そしてp重根として、${\displaystyle f(X)=(Xx)^{p}\in E[X]}$これは次数pの単純な代数的拡張です。${\displaystyle E=F[x]}$しかし、ガロア群は通常の拡張ではない。${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$些細なことだ。

体 F の係数を持つ任意の多項式f は、拡大体Fにdeg f個の根を持つ場合、異なる根を持つ、または平方因子を持たないと言われる。${\displaystyle E\supseteq F}$例えば、多項式g ( X ) = X ² − 1は複素平面上に正確にdeg g = 2 個の根、すなわち1と−1 を持ち、したがって異なる根を持ちます。一方、非定数多項式の二乗である多項式h ( X ) = ( X − 2) ^{2 は}、次数が 2 であり、 2 が唯一の根であるため、異なる根を持ちません。

多項式はすべて、その係数の体上の代数的閉包において、線形因子に因数分解できる。したがって、多項式が正の次数を持つ多項式の平方で割り切れる場合に限り、多項式は異なる根を持たない。これは、多項式とその導関数の最大公約数が定数でない場合に限る。したがって、多項式が平方因子を持たないかどうかを判定するために、明示的に体の拡大を考慮したり、根を計算したりする必要はない。

この文脈では、既約多項式の場合には注意が必要です。一見すると、既約多項式は自身以外に定数でない約数を持たないため、平方で割り切れることは不可能に思えるかもしれません。しかし、既約性は周囲の体に依存し、多項式はF上では既約であっても、 Fの拡大体上では可約となる場合があります。同様に、平方で割り切れるかどうかも周囲の体に依存します。F 上の既約多項式 f が何らかの拡大体上で平方で割り切れる場合、（上記の議論から）fとその導関数f ′の最大公約数は定数ではありません。f ′の係数はfの係数と同じ体に属し、2 つの多項式の最大公約数は周囲の体に依存しないため、 fとf ′の最大公約数はFの係数を持ちます。f は F で既約であるため、この最大公約数は必然的にf自身になります。f ′の次数はfの次数より厳密に小さいので、 fの導関数はゼロとなり、これは体の標数が素数pであることを意味し、f は次のように書ける。

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

このような、形式導関数がゼロとなる多項式は、分離不可能であると言われます。分離不可能でない多項式は、分離可能であると言われます。分離可能な拡張とは、分離可能な要素、すなわち最小多項式が分離可能な要素によって生成できる拡張のことです。

F [ X ]の既約多項式 fが分離可能であるのは、それがFの任意の拡張において異なる根を持つ場合、かつその場合に限る。つまり、それがFのある代数的閉包における異なる線形因子X - aの積である場合である。^{[ 5 ]} F [ X ]のfを既約多項式とし、f ' をその形式的導関数 とする。このとき、既約多項式f が分離可能であるための同値条件は次のとおりである。

• EがFの拡張であり、fが線形因子の積である場合、これらの因子のどの二乗もE [ X ]においてf を割り切らない(つまり、fはE上で平方因子を持たない)。^{[ 6 ]}
• Fの拡張Eが存在し、 f はEにおいてdeg ( f )個の互いに異なる根を持つ。^{[ 6 ]}
• 定数1は、 fとf 'の多項式の最大公約数である。^{[ 7 ]}
• fの形式的導関数f 'はゼロ多項式ではない。^{[ 8 ]}
• Fの特性は ゼロであるか、特性がpであり、f は次の形式ではない。${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{p^{i}}.}$

正の次数を持つ多項式の形式的導関数は、体が素数標数を持つ場合にのみゼロになるため、既約多項式が分離可能でないためには、その係数は素数標数の体に属していなければなりません。より一般的には、F [ X ]の既約 (非ゼロ) 多項式fは、 Fの標数が (非ゼロ) 素数pであり、F [ X ]の何らかの既約多項式gに対してf ( X )= g ( X ^p )である場合に限り、分離可能ではありません。^{[ 9 ]}この性質を繰り返し適用すると、実際には、${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$非負整数nとF [ X ]内の分離可能な既約多項式gに対して(ここでFは素数特性pを持つと仮定する)。^{[ 10 ]}

フロベニウスの自己準同型が${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$Fは全射ではないので、要素があります${\displaystyle a\in F}$これはFの要素のp乗ではありません。この場合、多項式${\displaystyle X^{p}-a}$は既約かつ分離不可能である。逆に、分離不可能な既約（非ゼロ）多項式が存在する場合、${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$F [ X ]において、Fのフロベニウス自己準同型は自己同型にはなり得ない。なぜなら、そうであれば、${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$一部の人にとって${\displaystyle b_{i}}$、そして多項式f は次のように因数分解されます。${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$^{[ 11 ]}

K が素標数pの有限体であり、Xが不定元である場合、K上の有理関数体K ( X )は必然的に不完全であり、多項式f ( Y )= Y ^p − Xは分離不可能である ( Yに関する形式的導関数は0 である)。^{[ 1 ]}より一般に、Fが (ゼロでない) 素標数の任意の体であり、フロベニウス自己準同型が自己同型でない場合、Fは分離不可能な代数拡大を持つ。^{[ 12 ]}

体Fが完全体であるのは、すべての既約多項式が分離可能である場合に限る。したがって、Fが完全体であるのは、 Fの標数がゼロであるか、またはFの（ゼロでない）素標数pを持ち、かつFのフロベニウス自己準同型が自己同型である場合に限る。これはすべての有限体を含む。

させて${\displaystyle E\supseteq F}$フィールド拡張である。要素${\displaystyle \alpha \in E}$要素がF上で代数的であり、かつその最小多項式が分離可能であれば、その要素はF上で分離可能である（要素の最小多項式は必ず既約である）。

もし${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$F上で分離可能であれば、${\displaystyle \alpha +\beta }$、${\displaystyle \alpha \beta }$そして${\displaystyle 1/\alpha }$F上で分離可能である。

したがって、 EのF上で分離可能なすべての要素の集合は、 Eの部分体を形成し、EにおけるFの分離閉包と呼ばれます。^{[ 13 ]}

Fの代数的閉包におけるFの分離閉包は、単にFの分離閉包と呼ばれる。代数的閉包と同様に、同型を除いて一意であり、一般にこの同型は一意ではない。

分野の拡張${\displaystyle E\supseteq F}$EがFのEにおける分離閉包である場合、 E は分離可能である。これは、 E が分離可能な要素によってF上で生成される場合に限る。

もし${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$体拡大であるとき、E がF上で分離可能であるのは、 E がL上で分離可能であり、かつ L がF上で分離可能である場合に限る。^{[ 14 ]}

もし${\displaystyle E\supseteq F}$が有限拡張（つまり、Eが有限次元のFベクトル空間）である場合、以下は同等である。

1. EはF上で分離可能である。
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$どこ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$Eの分離可能な要素です。
3. ${\displaystyle E=F(a)}$ここで、aはEの分離可能な要素である。
4. KがFの代数的閉包である場合、ちょうど${\displaystyle [E:F]}$Fを固定するEからKへの体準同型。
5. Eを含むF の任意の正規拡張Kに対して、ちょうど${\displaystyle [E:F]}$Fを固定するEからKへの体準同型。

3.と1.の同値性は、原始要素定理またはアルティンの原始要素に関する定理として知られています。性質4.と5.はガロア理論の基礎であり、特にガロア理論の基本定理の基礎となっています。

させて${\displaystyle E\supseteq F}$は、標数pの体の代数的拡大である。EにおけるFの分離閉包は${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$すべての要素について${\displaystyle x\in E\setminus S}$正の整数kが存在して、${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$したがって、EはSの 純粋に不可分な拡張である。このことから、 SはF上で分離可能であり、かつEが純粋に不可分である唯一の中間体であることがわかる 。^{[ 15 ]}

もし${\displaystyle E\supseteq F}$は有限拡大であり、その次数[ E  : F ]は次数[ S  : F ]と [ E  : S ]の積である。前者はしばしば[ E  : F ] _sepと表記され、[ E : F ]の 分離可能部分、または E / Fの分離可能な程度。後者は程度の分離不可能な部分不可分次数。 ^{[ 16 ]}不可分次数は、特性0では1であり、特性p > 0ではpのべき乗である。 ^{[ 17 ]}

一方、任意の代数的拡張${\displaystyle E\supseteq F}$F上で純粋に分離不可能で、かつEが分離可能な中間拡大Kを持たない可能性がある。ただし、例えば、次のような場合には、そのような中間拡大が存在する可能性がある。${\displaystyle E\supseteq F}$は有限次正規拡大である（この場合、KはF上のEのガロア群の固定体である）。このような中間拡大が存在し、[ E : F ]が有限であると仮定すると、[ S : F ] = [ E : K ]となる。ここでS はEにおける Fの可分閉包である。^{[ 18 ]}この等式の既知の証明では、次の事実が用いられている。   ${\displaystyle K\supseteq F}$これは純粋に分離不可能な拡張であり、f がF [ X ]の分離可能な既約多項式である場合、f はK [ X ]で既約のままである^{[ 19 ]} )。この等式は、[ E  : F ]が有限であり、U がFとEの間の中間体である場合、[ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅[ U  : F ] _{sep であることを}意味する。^{[ 20 ]}

体Fの分離閉包F ^{sep は、} Fの代数閉包におけるFの分離閉包である。これはFの最大ガロア拡大である。定義により、F が完全体であるのは、その分離閉包と代数閉包が一致する場合に限る。

超越拡大を扱う場合、分離可能性の問題が生じる可能性がある。これは、素標数の体上の代数幾何学において典型的によく見られるケースであり、代数多様体の関数体は、基礎体上でその多様体の次元に等しい超越次数を持つ。

超越拡大の分離可能性を定義するには、すべての体拡大が純粋超越拡大の代数拡大であるという事実を用いるのが自然である。これにより、次の定義が得られる。

拡張の分離超越基盤${\displaystyle E\supseteq F}$Eの超越基底Tは、 EがF ( T )の分離可能な代数拡大であるようなE の超越基底である。有限生成体拡大は、分離超越基底を持つ場合に限り分離可能である。有限生成でない拡大は、すべての有限生成部分拡大が分離超越基底を持つ場合に分離可能であると呼ばれる。^{[ 21 ]}

させて${\displaystyle E\supseteq F}$特性指数pの体拡張である（つまり、特性 0 ではp = 1であり、それ以外の場合はpは特性である）。以下の性質は同値である。

• EはFの分離可能な拡張である。
• ${\displaystyle E^{p}}$とFは線形的に互いに素である${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$減少する、
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$Eの各フィールド拡張Lに対して減少します。

どこ${\displaystyle \otimes _{F}}$は場のテンソル積を表す。${\displaystyle F^{p}}$は、 Fの要素のp乗の体であり(任意の体Fについて)、${\displaystyle F^{1/p}}$は、Fにそのすべての要素の p 乗根を付加することによって得られる体です (詳細は分離代数を参照) 。

分離可能性は微分を用いて研究することができる。Fを有限生成体拡大とし、Eを体とする。${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$EのF線形微分からなるEベクトル空間では、次のようになる。

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

また、等号が成立するのは、 EがF上で分離可能である場合のみである(ここで「tr.deg」は超越次数を表す)。

特に、${\displaystyle E/F}$代数的拡大である場合、${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$かつその場合に限り${\displaystyle E/F}$分離可能である。^{[ 22 ]}

させて${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$基礎となる${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$そして${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$。 それから${\displaystyle E}$は分離代数である${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$行列が${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$は可逆である。特に、${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$この行列は、次の場合に限り可逆です。${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$それは分離超越の基盤である。

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