ドット積

2つのベクトルの内積${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$そして${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$正規直交基底に関して指定される は、総和表記で次のように定義されます。 ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

どこ${\displaystyle n}$はベクトル空間の次元です。たとえば、3次元空間では、ベクトルの内積は${\displaystyle [1,3,-5]}$そして${\displaystyle [4,-2,-1]}$は：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

同様に、ベクトルのドット積${\displaystyle [1,3,-5]}$それ自身を含むと次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

ベクトルを列ベクトルと同一視すると、内積は行列積としても表すことができる。$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$ どこ$\displaystyle \mathbf {a} {^{\mathsf {T}}}}$は、の転置を表します。${\displaystyle \mathbf {a} }$。

上記の例をこのように表現すると、1 × 3 行列（行ベクトル）に 3 × 1 行列（列ベクトル）を乗算して、一意の要素で識別される 1 × 1 行列が得られます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

ユークリッド空間において、ユークリッドベクトルは大きさと方向の両方を持つ幾何学的オブジェクトです。ベクトルは矢印としてイメージできます。大きさはその長さであり、方向はその矢印が指す方向です。ベクトルの大きさは${\displaystyle \mathbf {a} }$は、${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$2つのユークリッドベクトルの内積${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$^{[ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]}によって定義される$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$ どこ${\displaystyle \theta }$角度は​${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$。

特に、ベクトルが${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$は直交している（つまり、角度は${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$または$90°$）、 それから${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$これは、 $$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$ もう一方の極端な例として、それらが同方向である場合、それらの間の角度はゼロで、${\displaystyle \cos 0=1}$そして $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$ これは、ベクトルのドット積が${\displaystyle \mathbf {a} }$それ自体は $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$ これにより $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$ベクトルのユークリッド長 の公式。

ユークリッドベクトルのスカラー射影（またはスカラー成分）${\displaystyle \mathbf {a} }$ユークリッドベクトルの方向${\displaystyle \mathbf {b} }$は $${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ どこ${\displaystyle \theta }$角度は${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$。

内積の幾何学的定義に関して言えば、これは次のように書き換えることができる。 $${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$ どこ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$は、方向の単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {b} }$。

ドット積は、幾何学的には^{[ 5 ]によって特徴付けられる。}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$ このように定義されたドット積は、各変数のスケーリングに関して同次であり、つまり任意のスカラーに対して${\displaystyle \alpha }$、 $${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$ また、分配法則も満たしている。つまり、 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

これらの性質は、ドット積が双線形形式であると言って要約できます。さらに、この双線形形式は正定値であり、つまり、${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$は決して負にならない。 は、 の場合のみゼロになる。${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$ゼロベクトル。

もし${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$は標準基底ベクトルです${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$そうすれば、次のように書ける $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$ ベクトル${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$これらは正規直交基底であり、単位長を持ち、互いに直角であることを意味します。これらのベクトルは単位長を持つため、 $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$ そして、それらは互いに直角を形成しているので、${\displaystyle i\neq j}$、 $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$ したがって、一般的に言えば、次のことが言える。 $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$ どこ${\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタです。

また、幾何学的定義により、任意のベクトルに対して${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$そしてベクトル${\displaystyle \mathbf {a} }$我々は、 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$ どこ${\displaystyle a_{i}}$ベクトルの成分です${\displaystyle \mathbf {a} }$の方向に${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$等式の最後のステップは図から確認できます。

ここで、内積の幾何バージョンの分配法則を適用すると、 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$ これはまさに内積の代数的定義です。したがって、幾何内積は代数内積と等しくなります。

2つのベクトルが与えられた場合${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$そして${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$角度で区切られた${\displaystyle \theta }$（上の画像を参照）それらは3辺目を持つ三角形を形成する${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$。 させて${\displaystyle \color {red}a}$、${\displaystyle \color {blue}b}$そして${\displaystyle \color {orange}c}$長さを表す${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$、${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$、 そして${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$それぞれ。${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$それ自身を含むと次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$ これは余弦定理です。

複素数成分を持つベクトルの場合、与えられた内積の定義を用いると、全く異なる性質が生じる。例えば、ベクトルとそれ自身との内積は、そのベクトルが零ベクトルでなくてもゼロになる可能性がある（例えば、ベクトルの場合）。${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$これは、長さや角度といった概念にも影響を及ぼすだろう。正定値ノルムなどの特性は、代替定義^{[ 12 ] [ 2 ]によって、ドット積の対称性と双線形性を放棄する代償を払って救済することができる。}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$ どこ${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$は、​${\displaystyle b_{i}}$ベクトルが列ベクトルで表される場合、内積は共役転置を含む行列積として表すことができ、上付き文字Hで示される。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

実数成分を持つベクトルの場合、この定義は実数の場合と同じです。任意のベクトルとそれ自身との内積は非負の実数であり、ゼロベクトルを除いてゼロではありません。ただし、複素内積は双線形ではなく半双線形です。これは、共役線形であって線形ではないためです。${\displaystyle \mathbf {a} }$ドット積は対称ではない。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$ 2つの複素ベクトル間の角度は次のように表される。 $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

複素内積は、エルミート形式や一般内積空間の概念につながり、これらは数学や物理学で広く用いられている。

複素ベクトルの自己ドット積${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$行ベクトルの共役転置を含む、ノルムの二乗としても知られています。${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$ユークリッドノルムに次ぐもので、複素スカラーの絶対値の二乗のベクトル一般化です（参照：二乗ユークリッド距離）。

内積はドット積をスカラー体上の抽象ベクトル空間に一般化したもので、スカラー体は実数体である。${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数体${\displaystyle \mathbb {C} }$通常は山括弧を使用して次のように表されます。${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$。

複素数体上の2つのベクトルの内積は、一般に複素数であり、双線形ではなく半双線形です。内積空間はノルム付きベクトル空間であり、ベクトルとそれ自身との内積は実数かつ正定値です。

ドット積は、有限個のエントリを持つベクトルに対して定義されます。したがって、これらのベクトルは離散関数とみなすことができます。長さ-${\displaystyle n}$ベクター${\displaystyle u}$は、定義域を持つ関数である。${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$、 そして${\displaystyle u_{i}}$は、${\displaystyle i}$関数/ベクトルによって${\displaystyle u}$。

この概念は二乗可積分関数にも一般化できる。ベクトルの内積が対応する成分の和を用いるのと同様に、関数の内積はある測度空間上の積分として定義される。${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{X}uv\,{\text{d}}\mu .}$$

例えば、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$コンパクト部分集合上の連続関数である${\displaystyle K}$の${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$標準ルベーグ測度を用いると、上記の定義は次のようになる。 $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{K}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} .}$$

さらに、複雑な連続関数に一般化する。${\displaystyle \psi }$そして${\displaystyle \chi }$上記の複素内積との類推により、以下が得られる。 $${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{K}\psi (z){\overline {\chi (z)}}\,{\text{d}}z.}$$

内積には重み関数（つまり、内積の各項に値を割り当てる関数）を持つことができます。具体的には、関数の内積は${\displaystyle u(x)}$そして${\displaystyle v(x)}$重み関数に関して${\displaystyle r(x)>0}$は $${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

行列の二重ドット積はフロベニウス内積であり、これはベクトルのドット積に類似しています。これは、2つの行列の対応する成分の積の和として定義されます。${\displaystyle \mathbf {A} }$そして${\displaystyle \mathbf {B} }$同じサイズのもの: $${\displaystyle \mathbf {A}$$ :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).} また、実数行列の場合、 $${\displaystyle \mathbf {A}$$ :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}

行列をダイアディックとして記述すると、異なる二重ドット積を定義できます（ダイアディック§ ダイアディックとダイアディックの積を参照）。ただし、これは内積ではありません。

次数テンソル間の（単一）ドット積${\displaystyle n}$そして次数 のテンソル${\displaystyle m}$は次数 のテンソルです${\displaystyle n+m-2}$（より一般的には、各ドットは次数を2減らします。）詳細はテンソル縮約を参照してください。

ベクトルの浮動小数点内積を計算する単純なアルゴリズムでは、致命的な打ち消しが発生する可能性がある。これを回避するため、カハン和アルゴリズムなどの手法が用いられる。

ドット積関数は以下に含まれる：

• BLASレベル1実数SDOT、DDOT複素数CDOTU、、、ZDOTU = X^T * YCDOTCZDOTC = X^H * Y
• Fortranとして、dot_product(A,B)またはsum(conjg(A) * B)
• Juliaまたは標準ライブラリ LinearAlgebra として A' * Bdot(A, B)
• R（プログラミング言語）ではsum(A * B)、ベクトルの場合、またはより一般的には行列の場合、A %*% B
• Matlabとして、またはまたはまたは A' * B  conj(transpose(A)) * B  sum(conj(A) .* B)  dot(A, B)
• Python (パッケージNumPy ) として、または np.dot(A, B)  np.inner(A, B)
• GNU Octaveとして、また Matlab と同様のコード sum(conj(X) .* Y, dim)
• Intel oneAPI 数学カーネルライブラリ 実数 p?dot dot = sub(x)'*sub(y); 複素数 p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)