非対称ノルム

数学において、ベクトル空間上の非対称ノルムはノルムの概念の一般化である。

実ベクトル空間上の非対称ノルム${\displaystyle X}$関数です${\displaystyle p:X\to [0,+\infty )}$以下の特性を持つもの：

• 劣加法性、または三角不等式：$すべての x,y ∈ X に対して、p(x+y) ≤ p(x) + p(y) が成り立つ。$
• 非負の同次性：${\displaystyle p(rx)=rp(x){\text{すべての}}x\in Xについて}$そしてすべての非負の実数${\displaystyle r\geq 0.}$
• 正定値性：${\displaystyle p(x)>0{\text{ ただし、x=0 の場合を除く}}$

非対称規範は、等号を満たす必要がないという点で、通常の規範とは異なります。${\displaystyle p(-x)=p(x).}$

正定値性の条件を省略すると、${\displaystyle p}$は非対称半ノルムである。正定値性よりも弱い条件は非退化性である。すなわち、${\displaystyle x\neq 0,}$2つの数字のうち少なくとも1つ${\displaystyle p(x)}$そして${\displaystyle p(-x)}$ゼロではない。

実際の路線で${\displaystyle \mathbb {R} ,}$機能${\displaystyle p}$によって与えられた $${\displaystyle p(x)={\begin{cases}|x|,&x\leq 0;\\2|x|,&x\geq 0;\end{cases}}}$$ は非対称ノルムではあるが、ノルムではない。

実ベクトル空間において${\displaystyle X,}$ミンコフスキー関数${\displaystyle p_{B}}$凸部分集合の${\displaystyle B\subseteq X}$原点を含むものは、次の式で定義される。 $${\displaystyle p_{B}(x)=\inf \left\{r\geq 0:x\in rB\right\}\,}$$のために${\displaystyle x\in X}$この汎関数は、以下の条件を満たす場合に非対称セミノルムとなります。${\displaystyle B}$は吸収集合であり、つまり${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}rB=X,}$そして、${\displaystyle p(x)}$各${\displaystyle x\in X.}$

もし$\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$原点を含む凸集合である場合、非対称セミノルム${\displaystyle p}$定義できる$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$式により $${\displaystyle p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\langle \varphi ,x\rangle .}$$ 例えば、$\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$頂点を持つ正方形です${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$それから${\displaystyle p}$タクシーの標準は${\displaystyle x=\left(x_{0},x_{1}\right)\mapsto \left|x_{0}\right|+\left|x_{1}\right|.}$異なる凸集合は異なるセミノルムを生成し、すべての非対称セミノルムは$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は、その双対単位球と呼ばれる凸集合から得ることができます。したがって、非対称セミノルムは、原点を含む凸集合と1対1に対応します。セミノルム${\displaystyle p}$は

• 正定値であるのは、${\displaystyle B^{*}}$位相的内部に原点を含む、
• 退化するのは以下の場合に限る${\displaystyle B^{*}}$次元が 未満の線形部分空間に含まれる。${\displaystyle n,}$そして
• 対称であるのは、${\displaystyle B^{*}=-B^{*}.}$

より一般的に言えば、${\displaystyle X}$は有限次元の実ベクトル空間であり、${\displaystyle B^{*}\subseteq X^{*}}$は双対空間のコンパクトな凸部分集合である${\displaystyle X^{*}}$原点を含む場合、${\displaystyle p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\varphi (x)}$は非対称セミノルムである${\displaystyle X.}$

• フィンズラー多様体– リーマン多様体の一般化 
• ミンコフスキー関数– 集合から構成される関数 

• Cobzaş, S. (2006). "非対称ノルムを持つ空間上のコンパクト作用素". Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math . 51 (4): 69–87 . arXiv : math/0608031 . Bibcode : 2006math......8031C . ISSN 0252-1938 . MR 2314639 .  
• S. コブザス著『非対称ノルム空間における関数解析』、フロンティア・イン・マセマティクス、バーゼル：ビルクハウザー、2013年；ISBN 978-3-0348-0477-6。