距離化可能な位相ベクトル空間

もし${\displaystyle d}$集合上の擬距離である${\displaystyle X}$そして、開いたボールのコレクション： $${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$として${\displaystyle z}$範囲は${\displaystyle X}$そして${\displaystyle r>0}$正の実数の範囲をカバーし、位相の基礎を形成する。${\displaystyle X}$それは${\displaystyle d}$-トポロジーまたは擬距離トポロジー${\displaystyle X}$誘発される${\displaystyle d.}$

慣例: もし${\displaystyle (X,d)}$は擬距離空間であり、${\displaystyle X}$が位相空間として扱われる場合、特に明記されていない限り、${\displaystyle X}$によって誘導されるトポロジーを備えている${\displaystyle d.}$

擬似距離化可能な空間

位相空間${\displaystyle (X,\tau )}$擬距離（または距離、超擬距離）が存在する場合、擬距離化可能（または距離化可能、超擬距離化可能）と呼ばれる。${\displaystyle d}$の上${\displaystyle X}$そのため$\displaystyle \tau }$は、によって誘導されるトポロジーに等しい。${\displaystyle d.}$^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle X}$が加法群である場合、擬距離は${\displaystyle d}$の上${\displaystyle X}$以下のいずれかの条件を満たす場合、それは並進不変、または単に不変である。

1. 翻訳不変性：${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{すべての}}x,y,z\in Xについて}$;
2. $\displaystyle d(x,y)=d(xy,0){\text{すべての}}x,y\in Xについて}$

もし${\displaystyle X}$は位相群であり、その値またはGセミノルムは${\displaystyle X}$（Gはグループを表す）は実数値写像である${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$以下の特性を持つ：^{[ 2 ]}

1. 非負：${\displaystyle p\geq 0.}$
2. サブアディティブ：$すべての x,y ∈ X に対して、p(x+y) ≤ p(x) + p(y) が成り立つ。$;
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. 対称:${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}$

ここで、Gセミノルムが以下の追加条件を満たす場合、それをGノルムと呼ぶ。

5. 合計/正定値: もし${\displaystyle p(x)=0}$それから${\displaystyle x=0.}$

させて${\displaystyle X}$非自明な（つまり${\displaystyle X\neq \{0\}}$) 実数または複素数ベクトル空間とし、${\displaystyle d}$は、並進不変な自明な計量である。${\displaystyle X}$定義される${\displaystyle d(x,x)=0}$そして${\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}$そのため${\displaystyle x\neq y.}$ トポロジー${\displaystyle \tau }$それ${\displaystyle d}$誘発する${\displaystyle X}$は離散トポロジーであり、${\displaystyle (X,\tau )}$加法の下で可換位相群になるが、ベクトル位相は形成しない${\displaystyle X}$なぜなら${\displaystyle (X,\tau )}$は切断されているが、すべてのベクトルトポロジーは接続されている。問題は、スカラー乗算が連続ではないことである。${\displaystyle (X,\tau ).}$

この例は、並進不変な（擬似）距離だけではベクトル位相を保証するには不十分であることを示しており、パラノルムとFセミノルムを定義することにつながります。

もし${\displaystyle p}$ベクトル空間上のパラノルムである${\displaystyle X}$それから地図${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$は、上の並進不変擬距離である。${\displaystyle X}$ベクトルトポロジーを定義する${\displaystyle X.}$^{[ 8 ]}

もし${\displaystyle p}$ベクトル空間上のパラノルムである${\displaystyle X}$それから：

• セット${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X.}$^{[ 8 ]}
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}$と${\displaystyle p(n)=0.}$^{[ 8 ]}
• 超常現象の場合${\displaystyle p}$満たす${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}$およびスカラー${\displaystyle s,}$それから${\displaystyle p}$絶対的な同質性（つまり等式が成り立つ）^{[ 8 ]}であり、したがって${\displaystyle p}$は半規範です。

• もし${\displaystyle d}$ベクトル空間上の並進不変擬距離${\displaystyle X}$ベクトルトポロジーを誘導する${\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X}$（つまり）${\displaystyle (X,\tau )}$TVSの場合、地図${\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}$連続パラノルムを定義する${\displaystyle (X,\tau )}$さらに、このパラノルムのトポロジーは${\displaystyle p}$定義する${\displaystyle X}$は${\displaystyle \tau .}$^{[ 8 ]}
• もし${\displaystyle p}$はパラノーマルです${\displaystyle X}$地図も同様です${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$^{[ 8 ]}
• パラノルム（または全パラノルム）の正のスカラー倍数は、再びそのようなパラノルム（または全パラノルム）となる。
• すべてのセミノルムはパラノルムである。^{[ 8 ]}
• パラノルム（または全パラノルム）をベクトル部分空間に制限したものがパラノルム（または全パラノルム）である。^{[ 9 ]}
• 2 つのパラノルムの合計はパラノルムである。^{[ 8 ]}
• もし${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$パラノーマルは${\displaystyle X}$ならば${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}$さらに、${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$そして${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$これにより、パラノーマルのセットは${\displaystyle X}$条件付き完備束に。^{[ 8 ]}
• 以下の実数値写像はそれぞれパラノルムである。${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$:
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• 実数値写像${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$そして${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$パラノーマルではない${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$^{[ 8 ]}
• もし${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$はベクトル空間上のハメル基底である。${\displaystyle X}$すると、実数値マップが${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$（スカラーのほ​​とんどすべてが有限個である）${\displaystyle s_{i}}$0)から${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$はパラノーマルです${\displaystyle X,}$これは以下を満たす${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$およびスカラー${\displaystyle s.}$^{[ 8 ]}
• 機能${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$はパラノーマルです${\displaystyle \mathbb {R} }$それはバランスが取れていないが、それでも通常の基準と同等である${\displaystyle R.}$関数に注意してください${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$劣加法性である。^{[ 10 ]}
• させて${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$を複素ベクトル空間とし、${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$示す${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ベクトル空間として考えられます${\displaystyle \mathbb {R} .}$超常現象${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$また、パラノーマルでもある${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$^{[ 9 ]}

F-セミノルム空間（またはF-ノルム空間）^{[ 12 ]}は、ペアである。${\displaystyle (X,p)}$ベクトル空間から構成される${\displaystyle X}$そしてFセミノルム（またはFノルム）${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X.}$

もし${\displaystyle (X,p)}$そして${\displaystyle (Z,q)}$F-セミノルム空間である場合、マップ${\displaystyle f:X\to Z}$等長埋め込み^{[ 12 ]}と呼ばれるのは、${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}$

ある F 半ノルム空間から別のF半ノルム空間への等長埋め込みはすべて位相埋め込みであるが、その逆は一般には成り立たない。^{[ 12 ]}

• F-セミノルム（またはF-ノルム、セミノルム）の正のスカラー倍はすべて、再びF-セミノルム（またはF-ノルム、セミノルム）となる。
• 有限個のFセミノルム（またはFノルム）の和は、Fセミノルム（またはFノルム）である。
• もし${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$Fセミノルムは${\displaystyle X}$ならば、それらの点ごとの上限も同様である${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$空でない有限のFセミノルム族の上限についても同様である。${\displaystyle X.}$^{[ 12 ]}
• F-セミノルム（またはF-ノルム）をベクトル部分空間に制限したものがF-セミノルム（またはF-ノルム）である。^{[ 9 ]}
• 非負の実数値関数${\displaystyle X}$は、凸型のFセミノルムである場合に限りセミノルムであり、同等に、凸型のバランスのとれたGセミノルムである場合に限りセミノルムである。^{[ 10 ]} 特に、すべてのセミノルムはFセミノルムである。
• いかなる場合でも${\displaystyle 0<p<1,}$地図${\displaystyle f}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$定義される $${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$これはノルムではないFノルム です。
• もし${\displaystyle L:X\to Y}$は線形マップであり、${\displaystyle q}$はFセミノルムである${\displaystyle Y,}$それから${\displaystyle q\circ L}$はFセミノルムである${\displaystyle X.}$^{[ 12 ]}
• させて${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$を複素ベクトル空間とし、${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$示す${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ベクトル空間として考えられます${\displaystyle \mathbb {R} .}$任意のFセミノルム${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$また、Fセミノルムでもある。${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$^{[ 9 ]}

すべてのF-セミノルムはパラノルムであり、すべてのパラノルムは何らかのF-セミノルムと等価である。^{[ 7 ]}ベクトル空間上の すべてのF-セミノルム${\displaystyle X}$は値です${\displaystyle X.}$特に、${\displaystyle p(x)=0,}$そして${\displaystyle p(x)=p(-x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$

仮に${\displaystyle {\mathcal {L}}}$はベクトル空間上のFセミノルムの空でない集合である。${\displaystyle X}$任意の有限部分集合に対して${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$そしてどんな${\displaystyle r>0,}$させて $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

セット${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}$フィルターベースを形成する${\displaystyle X}$また、原点におけるベクトルトポロジーの近傍基底も形成する。${\displaystyle X}$で示される${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}$^{[ 12 ]} それぞれ${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$バランスの取れた魅力的なサブセットです${\displaystyle X.}$^{[ 12 ]これらの集合は[ 12 ]} を満たす。$${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$は最も粗いベクトルトポロジーです${\displaystyle X}$それぞれを作る${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$連続的。^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$ハウスドルフであるのは、すべての非ゼロに対して${\displaystyle x\in X,}$いくつか存在する${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$そのため${\displaystyle p(x)>0.}$^{[ 12 ]}
• もし${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、上の連続Fセミノルムの集合である。${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$それから${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$^{[ 12 ]}
• もし${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、空でない有限部分集合のすべての点ごとの上限の集合である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$の${\displaystyle {\mathcal {L}}}$それから${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はFセミノルムの有向族であり、${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$^{[ 12 ]}

と仮定する${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$は、半ノルムの増加列である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle p}$フレシェの組み合わせになる${\displaystyle p_{\bullet }.}$ それから${\displaystyle p}$はFセミノルムである${\displaystyle X}$これは、族と同じ局所凸トポロジーを誘導する${\displaystyle p_{\bullet }}$半規範の。^{[ 13 ]}

以来${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$増加しており、起源のオープンな近傍の基底は、形式のすべての集合から構成されます。${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$として${\displaystyle i}$すべての正の整数と${\displaystyle r>0}$すべての正の実数の範囲をとる。

並進不変擬距離${\displaystyle X}$このFセミノルムによって誘発される${\displaystyle p}$は $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}$$

この距離は、フレシェが1906年の論文で、点ごとの演算を持つ実数列と複素数列の空間について発見したものである。^{[ 14 ]}

それぞれ${\displaystyle p_{i}}$が超常現象なら、${\displaystyle p}$さらに、${\displaystyle p}$同じトポロジーを誘導する${\displaystyle X}$家族として${\displaystyle p_{\bullet }}$パラノーマルについて。^{[ 8 ]} これは、以下のパラノーマルについても同様である。${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}$^{[ 8 ]}
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$^{[ 8 ]}

フレシェの組み合わせは、有界な再計量関数を用いることで一般化できる。

A有界再計量関数^{[ 15 ]}は連続非負非減少写像である${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$範囲が限定されている、劣加法性を持つ（つまり、 ${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$すべての人々のために${\displaystyle s,t\geq 0}$)を満たし、${\displaystyle R(s)=0}$かつその場合に限り${\displaystyle s=0.}$

境界付き再計量関数の例としては、${\displaystyle \arctan t,}$${\displaystyle \tanh t,}$${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$そして${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$^{[ 15 ]} もし${\displaystyle d}$は、上の擬距離（または距離）である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle R}$は有界再計量化関数である。${\displaystyle R\circ d}$は、上の有界擬距離（または有界距離）である。${\displaystyle X}$それは一様に等価である${\displaystyle d.}$^{[ 15 ]}

仮に${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$はベクトル空間上の非負のF-セミノルムの族である。${\displaystyle X,}$${\displaystyle R}$は有界再計量関数であり、${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$は、和が有限である正の実数の数列である。 $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$は、一様に等価な 有界F -セミノルムを定義します。${\displaystyle p_{\bullet }.}$^{[ 16 ]} 任意のネットに対して、${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$で${\displaystyle X,}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$かつその場合に限り${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$すべての人々のために${\displaystyle i.}$^{[ 16 ]}${\displaystyle p}$は、​${\displaystyle p_{\bullet }}$別々のポイント${\displaystyle X.}$^{[ 16 ]}

擬似距離（または距離）${\displaystyle d}$ベクトル空間上のセミノルム（またはノルム）によって誘導される。${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle d}$は並進不変で絶対的に均質であり、これはすべてのスカラーに対して が成り立つことを意味します。${\displaystyle s}$そしてすべて${\displaystyle x,y\in X,}$この場合、関数は次のように定義されます。${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$はセミノルム（またはノルム）であり、擬距離（または距離）は${\displaystyle p}$に等しい${\displaystyle d.}$

もし${\displaystyle (X,\tau )}$は位相ベクトル空間（TVS）である（特に、${\displaystyle \tau }$がベクトル位相であると仮定すると、以下は同等である: ^{[ 11 ]}

1. ${\displaystyle X}$擬似距離化可能（すなわちベクトル位相）${\displaystyle \tau }$擬似距離によって誘導される${\displaystyle X}$)
2. ${\displaystyle X}$原点に数えられる近隣基盤を持つ。
3. トポロジー${\displaystyle X}$は、並進不変な擬距離によって誘導される。${\displaystyle X.}$
4. トポロジー${\displaystyle X}$Fセミノルムによって誘導される。
5. トポロジー${\displaystyle X}$超常現象によって引き起こされる。

もし${\displaystyle (X,\tau )}$TVSの場合、以下は同等です。

1. ${\displaystyle X}$計量可能である。
2. ${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間であり、擬距離化可能である。
3. ${\displaystyle X}$ハウスドルフであり、原点に可算近傍基点を持つ。^{[ 11 ] [ 12 ]}
4. トポロジー${\displaystyle X}$は、並進不変な計量によって誘導される。${\displaystyle X.}$^{[ 11 ]}
5. トポロジー${\displaystyle X}$Fノルムによって誘導される。^{[ 11 ] [ 12 ]}
6. トポロジー${\displaystyle X}$単調なFノルムによって誘導される。^{[ 12 ]}
7. トポロジー${\displaystyle X}$完全なパラノーマルによって引き起こされる。

もし${\displaystyle (X,\tau )}$TVS の場合、以下は同等です: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle X}$局所的に凸であり、擬距離化可能である。
2. ${\displaystyle X}$原点には凸集合からなる可算個の近傍基底が存在する。
3. トポロジー${\displaystyle X}$これは、可算個の（連続）セミノルムの族によって誘導される。
4. トポロジー${\displaystyle X}$可算な増加列の（連続）セミノルムによって誘導される${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$（増加とは、すべての${\displaystyle i,}$${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. トポロジー${\displaystyle X}$は、次の形式の Fセミノルムによって誘導される。$${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$ どこ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$は（連続）半ノルムである${\displaystyle X.}$^{[ 18 ]}