ガワーズ基準

数学において加法組合せ論の分野におけるガワーズノルムまたは一様性ノルムは、有限群または群のようなオブジェクト上の関数のノルムのクラスであり、存在する構造の量、または逆にランダム性の量を定量化する。^[1]これらは群内の等差数列の研究に使用される。これらは、セメレディの定理に関する研究でこれを導入したティモシー・ガワーズにちなんで名付けられている。^[2]

を有限アーベル群上の複素数値関数とし、複素共役を とします。ガワーズノルムは ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle J}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}(G)}^{2^{d}}=\sum _{x,h_{1},\ldots ,h_{d}\in G}\prod _{\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}}f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}}\right)\ .}$

ガワーズノルムは、線分 上の複素数値関数fに対しても定義されます。ここで、 Nは正の整数です。この文脈では、一様性ノルムは として与えられます。ここで、は大きな整数、は [ N ]の指示関数を表し、 の場合は に等しく、他のすべての の場合は に等しくなります。この定義はである限り、に依存しません。 ${\displaystyle [N]={0,1,2,...,N-1}}$${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}=\Vert {\tilde {f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{[N]}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}}$${\displaystyle {\tilde {N}}}$${\displaystyle 1_{[N]}}$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in [N]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tilde {N}}}$${\displaystyle {\tilde {N}}>2^{d}N}$

これらのノルムの逆の予想は、有界関数 f が大きな Gowers dノルムを持つ場合、 f は次数d − 1の多項式位相または多項式動作を持つ他のオブジェクト (例: ( d − 1) ステップのnilsequence ) と相関するという主張です。正確な記述は、検討中の Gowers ノルムによって異なります。

有限体上のベクトル空間の逆予想は、任意の に対して定数が存在し、 上の任意の有限次元ベクトル空間Vと上の任意の複素数値関数に対して、 となるような 1 で有界な多項式列が存在することを主張する。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[V]}\geq \delta }$${\displaystyle P\colon V\to \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{|V|}}\sum _{x\in V}f(x)e\left(-P(x)\right)\right|\geq c,}$

ここで、この予想はベルゲルソン、タオ、ジーグラーによって正しいことが証明された。^{[3] [4] [5]}${\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}$

ガワーズノルムの逆予想は、任意の に対して、( d − 1) ステップのニル多様体と定数の有限集合が見つかるということを主張しており、したがって以下が成り立ちます。が正の整数で、絶対値が 1 で、 によって制限される場合、およびの絶対値が 1 で制限され、リプシッツ定数が によって制限されるニル多様体とニル列が存在し、次のようになります。 ${\displaystyle U^{d}[N]}$${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\delta }}$${\displaystyle c,C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f\colon [N]\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}\geq \delta }$${\displaystyle G/\Gamma \in {\mathcal {M}}_{\delta }}$ ${\displaystyle F(g^{n}x)}$${\displaystyle g\in G,\ x\in G/\Gamma }$${\displaystyle F\colon G/\Gamma \to \mathbb {C} }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n){\overline {F(g^{n}x}})\right|\geq c.}$

この予想はグリーン、タオ、ジーグラーによって正しいことが証明されました。^{[6] [7]}上記の記述における零列の出現は必須であることを強調しておく必要があります。多項式位相のみを考慮すると、この記述はもはや正しくありません。

• タオ、テレンス（2012）。高次フーリエ解析。数学大学院研究。第142巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8986-2. MR  2931680. Zbl  1277.11010.