記号（数学）

数学では、実数の符号は正、負、または0 のいずれかの特性を持ちます。ローカルな慣習に応じて、ゼロは独自の符号を持つ、符号を持たない、または正と負の両方の符号を持つと見なされます。状況によっては、正のゼロと負のゼロを区別することが理にかなっています。

数学と物理学において、「符号の変更」という語句は、オブジェクトをその加法逆数（-1との乗算、否定）と交換することと関連付けられており、この演算は実数に限定されません。これは、正、負、またはゼロのいずれかだけであると規定されていないベクトル、行列、複素数などのオブジェクトにも適用されます。

「符号」という単語は、奇数と偶数（順列の符号）、方向や回転の方向（時計回り/反時計回り） 、片側限界、および以下の § その他の意味で説明するその他の概念など、数学的または科学的オブジェクトのバイナリ側面を示すためにもよく使用されます。

整数、有理数、複素数、四元数、八元数など、さまざまな記数法の数は、数の特定の特性を固定する複数の属性を持つ場合があります。順序付き環の構造を持つ記数法には、任意の数に加えても後者が変化しない一意の数が含まれます。この一意の数は、システムの加法単位元として知られています。たとえば、整数は順序付き環の構造を持ちます。この数は一般に0と表されます。この環の全順序のため、ゼロより大きい数があり、これらは正の数と呼ばれます。環が順序付けされるために必要なもう 1 つの特性は、各正の数に対して、元の正の数との合計が0になる、 0未満の一意の対応する数が存在することです。これらの0未満の数は負の数と呼ばれます。このような各ペアの数は、それぞれの加法逆数です。数のこの属性は排他的にゼロ(0)、正(+)、負(-)のいずれかであり、符号と呼ばれ、それぞれ実数0、1、-1にエンコードされることが多い (符号関数の定義方法と同様)。 ^[1]有理数と実数も順序付き環 (実際には順序付き体) であるため、符号属性はこれらの数体系にも適用されます。

2 つの数値の間にマイナス記号を使用すると、減算の二項演算を表します。マイナス記号が単一の数値の前に書かれた場合は、被演算子の加法逆数(否定と呼ばれることもある)を生成する単項演算を表します。抽象的には、2 つの数値の差は、被減数の加法逆数と減数の加法逆数の和です。0は自身の加法逆数 ( −0 = 0 ) ですが、正の数の加法逆数は負であり、負の数の加法逆数は正です。この演算を 2 回適用すると、−(−3) = 3と書きます。代数では、プラス記号は主に加算の二項演算を表すために使用され、式の正性を強調するために使われることはまれです。

一般的な数値表記法（算術などで使用される）では、数値の前にプラス記号またはマイナス記号を付けることで、数値の符号が明示されることがよくあります。たとえば、+3は「正の 3」を表し、-3 は「負の 3」（代数的には3の逆数）を表します。特定のコンテキストがない場合（または明示的な符号が指定されていない場合）、数値はデフォルトで正と解釈されます。この表記法は、マイナス記号「-」が負の数と、プラス記号「+」が正の数と強く関連付けられることを確立します。

ゼロは正でも負でもないという慣習の中で、特定の符号値0 を数値0に割り当てることができます。これは、実数に対して定義されている-関数で利用されています。 ^[1]算術では、+0と-0 はどちらも同じ数0 を表します。一般に、値とその符号を混同する危険はありませんが、0に両方の符号を割り当てる慣習では、この区別がすぐにはできません。 ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$

ベルギーやフランスなどの一部のヨーロッパ諸国では​​、ニコラ・ブルバキの慣例に従い、 0は正と負の両方として扱われる。^[2]

コンピュータ内の実数の浮動小数点表現などの一部のコンテキストでは、符号付きゼロがさまざまな離散的な数値表現を参照する、符号付きバージョンを考慮すると便利です(詳細については、符号付き数値表現を参照してください)。

微積分学や数学解析学で片側極限（それぞれ右側極限と左側極限）を表すために使われる0 ⁺と0 ⁻の代わりとして、 +0と−0 の記号が使われることはめったにない。この表記は、関数の実数入力変数が正（それぞれ負）の値に沿って0 に近づくときの関数の挙動を表す。2 つの極限が存在する必要も一致する必要もない。

0 が正でも負でもないと言われる場合、次のフレーズは数値の符号を指すことがあります。

• 数値は0 より大きい場合、正です。
• 数値が 0 より小さい場合、その数値は負になります。
• 数値が 0 以上の場合、その数値は負ではありません。
• 数値が 0 以下の場合、その数値は非正数です。

0 が正と負の両方であると言われる場合は、 ^{[引用が必要]}修飾語句を使用して数値の符号を参照します。

• 数値が 0 より大きい場合、その数値は厳密に正です。
• 数値が 0 より小さい場合、その数値は厳密に負です。
• 数値が 0 以上であれば、その数値は正です。
• 数値が 0 以下の場合、その数値は負になります。

たとえば、実数の絶対値は常に「非負」ですが、最初の解釈では必ずしも「正」ではありません。一方、2 番目の解釈では、必ずしも「厳密に正」である必要はありませんが、「正」と呼ばれます。

同じ用語は、実数値やその他の符号付き値を生成する関数にも使用されることがあります。たとえば、関数の値が定義域のすべての引数に対して正である場合、その関数は正関数と呼ばれ、すべての値が非負である場合、非負関数と呼ば れます。

複素数は順序付けが不可能であるため、順序付けされた環の構造を保持できず、したがって、正の複素数と負の複素数に分割できません。ただし、複素数は実数と同じ属性を持ち、絶対値または絶対値と呼ばれます。絶対値は常に非負の実数であり、ゼロ以外の任意の数には正の実数、つまりその絶対値が存在します。

たとえば、絶対値-3と絶対値3はどちらも3です。これは記号で表すと| −3 | = 3および| 3 | = 3となります。

一般に、任意の実数値は、その大きさと符号によって指定できます。標準エンコーディングを使用すると、任意の実数値は、標準エンコーディングでの大きさと符号の積で表されます。この関係を一般化して、複素数の 符号を定義できます。

実数と複素数はどちらも体を形成し、正の実数を含むため、ゼロでないすべての数の大きさの逆数も含みます。つまり、ゼロでない任意の数は、その大きさの逆数を掛け合わせることができます。つまり、その大きさで割ることができます。ゼロでない任意の実数をその大きさで割った商は、その符号とまったく同じになります。類推により、複素数 zの符号は、 zとその大きさ| z | の商として定義できます。複素数の符号は、その引数と虚数単位の積の指数です。は、ある意味でその複素引数を表します。これは、 を除いて実数の符号と比較されます。複素符号関数の定義については、以下の § 複素符号関数を参照してください。 ${\displaystyle e^{i\pi}=-1.}$

数値を扱う場合、その符号を数値として利用できると便利なことがよくあります。これは、任意の数値の符号を抽出し、それを定義済みの値にマッピングしてから、さらに計算できるようにする関数によって実現されます。たとえば、正の値のみに対して複雑なアルゴリズムを作成し、符号については後でのみ処理すると便利な場合があります。

符号関数またはsignum関数は、実数の集合を3つの実数の集合にマッピングすることによって、実数の符号を抽出します。これは次のように定義できます。^[1] したがって、 xが正の場合、 sgn( x )は1になり、xが負の場合、 sgn( x )は-1になります。 xの値がゼロ以外の場合、この関数は、 | x |がxの絶対値である 式によって定義することもできます 。 ${\displaystyle \{-1,\;0,\;1\}.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn} :{}&\mathbb {R} \to \{-1,0,1\}\\&x\mapsto \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\~~\,0&{\text{if }}x=0,\\~~\,1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}},}$$

実数は1次元の方向を持ちますが、複素数は2次元の方向を持ちます。複素数の符号関数は引数z = x + iyの大きさを必要とし、これは次のように計算できます。 $${\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

上記と同様に、複素符号関数は、非ゼロ複素数の集合をユニモジュラー複素数の集合にマッピングし、 0を0にマッピングすることで、複素数の複素符号を抽出します。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}\cup \{0\}.}$

zをその大きさとその引数の1つφでz = | z |⋅ e ^iφと表すと、[ ^3] $${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{cases}0&{\text{for }}z=0\\{\dfrac {z}{|z|}}=e^{i\varphi }&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

この定義は、正規化されたベクトル、つまり方向が変わらず長さが 1 に固定されたベクトルとして認識されることもあります。元の値が極形式の R,θ であった場合、sign(R, θ) は 1 θ です。sign() または signum() を任意の次元数に拡張することは明らかですが、これはすでにベクトルの正規化として定義されています。

ある属性についてちょうど 2 つの可能性が同等に存在する状況では、慣例により、これらにはそれぞれplusとminus というラベルが付けられることが多いです。状況によっては、この割り当ての選択 (つまり、どの範囲の値が正で、どの範囲の値が負か) が自然ですが、他の状況では選択は任意であり、明示的な符号の慣例が必要になります。唯一の要件は、慣例を一貫して使用することです。

多くの文脈において、角度、特に有向角や回転角の尺度に符号を付けることがよくあります。このような状況では、符号は角度が時計回りか反時計回りかを示します。さまざまな慣例が使用されることもありますが、数学では反時計回りの角度を正、時計回りの角度を負とするのが一般的です。^[4]

回転軸が方向付けられていると仮定すると、3 次元での回転角度に符号を関連付けることもできます。具体的には、方向付けられた軸の周りの右回転は通常は正としてカウントされ、左回転は負としてカウントされます。

与えられた角度の負の角度は等しい弧を持ちますが、軸は反対になります。^[5]

量xが時間とともに変化するとき、xの値の変化は通常、次の式で定義されます。 $${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.}$$

この規則を使用すると、 xの増加は正の変化としてカウントされ、 xの減少は負の変化としてカウントされます。微積分では、この同じ規則が導関数の定義に使用されます。 その結果、任意の増加関数は正の導関数を持ち、任意の減少関数は負の導関数を持ちます。

解析幾何学や物理学で1 次元の変位や運動を研究する場合、2 つの可能な方向を正と負としてラベル付けするのが一般的です。数直線は通常、右に正の数、左に負の数で描かれるため、右への運動には正の符号が付けられ、左への運動には負の符号が付けられるのが一般的な慣例です。

デカルト平面では、右方向と上方向が通常正であると考えられており、右方向が正のx方向、上方向が正のy方向です。変位ベクトルをベクトル成分に分けると、水平部分は右方向の動きに対して正、左方向の動きに対して負になり、垂直部分は上方向の動きに対して正、下方向の動きに対して負になります。

同様に、負の速度（変位の変化率）は反対方向の速度、つまり前進ではなく後退を意味します。特殊なケースは半径方向の速度です。

3D 空間では、符号に関連する概念は、一般に 2 つの通常の方向と方向付け可能性に見られます。

コンピューティングでは、コンピュータが数値の符号を追跡しているかどうかに応じて、整数値は符号付きまたは符号なしになります。整数変数を非負の値のみに制限することで、数値を格納するためにさらに 1ビットを使用できます。コンピュータ内での整数演算の実行方法のため、符号付き数値表現では通常、符号を 1 つの独立したビットとして格納せず、代わりに2 の補数などを使用します。

対照的に、実数は浮動小数点値として保存され、操作されます。浮動小数点値は、仮数、指数、符号の 3 つの個別の値を使用して表されます。この個別の符号ビットにより、正のゼロと負のゼロの両方を表すことができます。ほとんどのプログラミング言語では、通常、正のゼロと負のゼロを同等の値として扱いますが、その違いを検出できる手段も用意されています。

実数の符号に加えて、符号という言葉は数学やその他の科学の分野でもさまざまな関連する意味で使用されます。

• 符号までわかっているという語は、ある量qについて、ある特定のQに対してq = Qまたはq = − Q のいずれかがわかっていることを意味します。これは、 q = ± Qと表現されることが多いです。実数の場合、これは量の絶対値| q |のみがわかっていることを意味します。複素数とベクトルの場合、符号までわかっている量は、大きさがわかっている量よりも強い条件です。つまり、Qと− Q以外にも、 | q | = | Q |となるqの値が多数存在します。
• 順列の符号は、順列が偶数の場合は正、順列が奇数の場合は負と定義されます。
• グラフ理論では、符号付きグラフは各辺に正または負の符号が付けられたグラフです。
• 数学的解析において、符号付き測度は、集合の測度が正または負の値を持つ可能性がある 測度の概念の一般化です。
  • 符号付き距離の概念は、側、内側、または外側を伝えるために使用されます。
  • 符号付き面積と符号付き体積の考え方は、特定の面積または体積を負として数える方が都合が良い場合に時々使用されます。これは、行列式の理論で特に当てはまります。（抽象的な）有向ベクトル空間では、ベクトル空間の各順序付き基底は、正または負の方向のいずれかに分類できます。
• 符号付き数字表現では、数値の各桁に正または負の符号が付きます。
• 物理学では、あらゆる電荷には正または負の符号が伴います。慣例により、正電荷は陽子と同じ符号の電荷であり、負電荷は電子と同じ符号の電荷です。

• パーセント記号
• プラスマイナス記号
• ポジティブな要素
• 署名
• 数学における対称性