一般化平均

数学において、一般化平均（またはオットー・ヘルダーに由来するべき乗平均、ヘルダー平均）^[1]は、数値の集合を集約するための関数のファミリーです。これには、特別なケースとしてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）が含まれます。

pが非ゼロの実数で、が正の実数である場合、これらの正の実数の指数pによる一般化平均またはべき乗平均は^{[2] [3]}${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.}$$

( pノルムを参照)。p = 0 の場合、これを幾何平均 (以下で証明されるように、指数がゼロに近づく平均の限界) と等しく設定します。

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}$$

さらに、正の重みw _iのシーケンスに対して、加重累乗平均を^[2]のように定義し、 p = 0 のとき、それは加重幾何平均に等しくなります。 $${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}}$$

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}$$

加重平均は、すべてのw _i = 1/nの設定に対応します。

pのいくつかの特定の値は、独自の名前を持つ特別なケースを生み出します。^[4]

最小

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

調和平均

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

幾何平均 ${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$

算術平均

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

二乗平均平方根
または二次平均^{[5] [6]}

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$

立方平均

${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$

最大

${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

証明（幾何平均）${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

証明の目的のために、一般性を失うことなく 、 $${\displaystyle w_{i}\in [0,1]}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.}$$

指数関数 の定義を次のように書き直すことができる。${\displaystyle M_{p}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$$

p → 0の極限では、指数関数の偏角にロピタルの法則を適用できる。ただしp ≠ 0であり、 w _iの合計は1に等しい（一般性を失うことなく）と仮定する。^{[7]分子と分母を}pに関して微分すると、 ${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}}$$

指数関数の連続性により、上記の関係に代入して 希望どおりの結果を得ることができます。^[2]$${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

証明と${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

（おそらくラベルを付け直して用語を組み合わせた後）と仮定します。すると ${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}}$$

の式は次のように表される。 ${\displaystyle M_{-\infty }}$$${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.}$$

を正の実数列とすると、以下の性質が成り立つ: ^[1]${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$。
   各一般化平均は常にx値の最小値と最大値の間にあります。
2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$、ここで は順列演算子です。${\displaystyle P}$
   各一般化平均は、その引数の対称関数です。一般化平均の引数を並べ替えても、その値は変わりません。
3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$。
   ほとんどの平均と同様に、一般化平均は引数x ₁、...、x _nの同次関数です。つまり、bが正の実数の場合、数値の指数pを持つ一般化平均は、数値x ₁、...、x _nの一般化平均のb倍に等しくなります。${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$
4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]}$。
   準算術平均と同様に、平均の計算は、同じサイズのサブブロックの計算に分割できます。これにより、必要に応じて、分割統治アルゴリズムを使用して平均を計算できます。

一般に、p < qの場合、 x ₁ = x ₂ = ... = x _{n の} 場合にのみ、 2 つの平均は等しくなります。 $${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

この不等式は、 pとqの実数値、および正と負の無限大値 に対しても当てはまります。

これは、すべての実数pに対して となることから成り立ち、 これはJensen の不等式 を使用して証明できます。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$$

特に、pが{−1, 0, 1}の範囲内にある場合、一般化平均不等式は、算術平均と幾何平均の不等式だけでなく、ピタゴラス平均の不等式も意味します。

加重平均不等式を証明します。証明のために、一般性を失うことなく次のことを仮定します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$$

重み付けされていないべき乗平均の証明は、w _i = 1/ n を代入することで簡単に得られます。

指数pとq のべき乗平均間の平均が成り立つと仮定します。 これを適用すると、次のようになります。 $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}}$$

両辺を−1乗します（正の実数では厳密に減少する関数です）。 $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}}$$

指数が− pと− qである平均値の不等式が得られ、同じ推論を逆に適用して不等式が同等であることを証明できます。これは後の証明のいくつかで使用されます。

任意のq > 0および非負の重みの合計が 1 の 場合、次の不等式が成立します。$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.}$$

証明は、対数が凹であるという事実を利用して、ジェンセンの不等式から導かれます。 $${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

指数関数を両辺に 適用し、厳密に増加する関数として不等式の符号が保存されることを観察すると、次の式が得られます。$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

x _iのq乗をとると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}}$$

したがって、 qが正の不等式についてはこれで完了です。負の場合も、最後のステップで符号が入れ替わる以外は同じです。

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.}$$

もちろん、各辺を負の数-1/ qで累​​乗すると、不等式の方向が入れ替わります。

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}.}$$

任意のp < qに対して次の不等式が成り立つ ことを証明します。pが負でqが正の 場合、不等式は上で証明したものと同等になります。 $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

pとq が正であることの証明は次のとおりです。次の関数を定義します: f  : R ₊ → R ₊ 。f はべき関数なので、2 次導関数を持ちます。 これは、 q > pであるため、 f のドメイン内で厳密に正であり、 fが凸であることがわかります。 ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$$${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$$

これとジェンセンの不等式を使うと、次の式が得られます。 両辺を1/ q乗すると ( 1/ qは正なので増加関数です)、証明すべき不等式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

以前に示した同値性を使用して、負のpとqをそれぞれ−qと−pに置き換えることで不等式​​を証明できます。

べき乗平均はさらに一般化f平均に一般化できます。

$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$$

これは、 f ( x ) = log( x )の極限を使用せずに幾何平均をカバーします。累乗平均はf ( x ) = x ^pに対して得られます。これらの平均の特性はde Carvalho (2016)で研究されています。^[3]

べき乗平均は、 pが小さい場合は小さな信号値にシフトし、 pが大きい場合は大きな信号値を強調する非線形移動平均として機能します。と呼ばれる移動算術平均の効率的な実装を考えると、次のHaskellコードに従って移動べき乗平均を実装できます。 smooth

powerSmooth :: Floating a => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] powerSmooth Smooth p = map ( ** recip p ) . Smooth . map ( ** p )             
            

• pが大きい場合、整流された信号のエンベロープ検出器として機能します。
• pが小さい場合、質量スペクトルのベースライン検出器として機能します。

• Bullen, PS (2003)。「第 3 章 パワー平均」。平均とその不等式ハンドブック。ドルドレヒト、オランダ: Kluwer。pp. 175–265。

• MathWorld での累乗平均
• 一般化平均の例
• PlanetMathにおける一般化平均の証明