ヌルベクトル

数学では、関連する二次形式qを持つベクトル空間Xが( X , q )と表記される場合、零ベクトルまたは等方性ベクトルは、 q ( x ) = 0となるXの非ゼロ要素xです。

実双線形形式の理論において、定値二次形式と等方二次形式は区別される。両者の区別点は、後者のみに非ゼロの零ベクトルが存在することである。

零ベクトルを持つ二次空間 ( X , q ) は擬ユークリッド空間と呼ばれます。q ( v ) = 0の場合の等方性ベクトル vという用語は二次空間で使用され、^{[ 1 ]}零ベクトルを持たない二次空間に対しては異方性空間と呼ばれます。

擬ユークリッドベクトル空間は、直交部分空間AとBに（一意ではないが）分解することができ、X = A + Bとなる。ここで、qはA上では正定値、 B上では負定値である。Xのヌル錐、または等方錐は、バランスのとれた球の和集合から構成される。 $${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a\in A,b\in B\}.}$$ ヌル円錐は、原点を通る等方性直線の和集合でもある。

ヌルベクトルを持つ合成代数は分割代数である。^{[ 2 ]}

合成代数( A , +, ×, *)では、二次形式は q( x ) = xx * です。xが零ベクトルの場合、 xの乗法逆元は存在せず、 x ≠ 0なので、 A は除法代数ではありません。

ケイリー・ディクソン構成では、複素数体を用いる双複素数、双四元数、双八元数の系列において、分裂代数が生じる。${\displaystyle \mathbb {C} }$これは、 LE Dickson (1919)によるこの倍加構成の基礎となっている。特に、これらの代数には2つの虚数単位があり、それらは可換であるため、それらの積を2乗すると+1になる。

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$それから

${\displaystyle (1+hi)(1+hi)^{*}=(1+hi)(1-hi)=1-(hi)^{2}=0}$つまり、1 + hi はヌルベクトルです。

実部分代数、分割複素数、分割四元数、分割八元数は、0 ∈ Aに出入りする光の軌跡を表すヌル円錐とともに、時空トポロジーを示唆している。

ミンコフスキー空間の光のようなベクトルは零ベクトルである。

4 つの線形独立な2四元数l = 1 + hi、n = 1 + hj、m = 1 + hk、およびm ^∗ = 1 – hkはヌルベクトルであり、{ l、n、m、m ^∗ }は時空を表すために使用される部分空間の基底として機能します。ヌルベクトルは、時空多様体に対するNewman–Penrose 形式主義アプローチでも使用されます。^{[ 3 ]}

リー代数のヴェルマ加群には零ベクトルが存在する。

• Dubrovin, BA ; Fomenko, AT ; Novikov , SP (1984).現代幾何学：方法と応用. Robert G. Burns 訳. Springer. p. 50. ISBN  0-387-90872-2。
• ショー、ロナルド（1982）。線形代数と群表現。第 1巻。アカデミック・プレス。151ページ 。ISBN 0-12-639201-3。
• ネヴィル、EH（エリック・ハロルド）（1922）。3次元異方性​​ユークリッド空間における解析幾何学への序論。ケンブリッジ大学出版局。p. 204。