アンダーソン・カデックの定理

数学の位相幾何学と関数解析の分野では、アンダーソン・カデックの定理[ ^{1 ]は}、任意の2つの無限次元の可分バナッハ空間、またはより一般的にはフレシェ空間は、位相空間として同相であることを述べている。この定理は、ミハイル・カデック（1966年）とリチャード・デイビス・アンダーソンによって証明された。

すべての無限次元分離フレシェ空間は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$実数直線の可算個のコピーのデカルト積${\displaystyle \mathbb {R} .}$

カデックノルム：ノルム${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ノルム線形空間上${\displaystyle X}$と呼ばれる全部分集合に関するカデックノルム${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$双対空間の${\displaystyle X^{*}}$各シーケンスについて${\displaystyle x_{n}\in X}$以下の条件が満たされています。

• もし${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{*}\left(x_{n}\right)=x^{*}(x_{0})}$のために${\displaystyle x^{*}\in A}$そして${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}\right\|=\left\|x_{0}\right\|,}$それから${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x_{0}\right\|=0.}$

アイデルハイトの定理:フレシェ空間${\displaystyle E}$バナッハ空間と同型であるか、または商空間が同型である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

カデックのノルム変換定理：すべての可分バナッハ空間${\displaystyle X}$可算総集合に関してカデックノルムを許容する${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$の${\displaystyle X^{*}.}$新しい規範は元の規範と同等である${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$の${\displaystyle X.}$セット${\displaystyle A}$は、単位球の任意の弱星密な可算部分集合とみなすことができる。${\displaystyle X^{*}}$

以下の議論では${\displaystyle E}$は無限次元の分離可能なフレシェ空間を表し、${\displaystyle \simeq }$位相的同値性（同相写像の存在）の関係。

アンダーソン・カデックの定理の証明の出発点は、任意の無限次元可分バナッハ空間が同相であるというカデックの証明である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

アイデルハイトの定理によれば、バナッハ空間と同型でないフレシェ空間を考慮すれば十分である。その場合、それらは商空間を持ち、それは${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$バートル・グレイブス・マイケルの結果は、 $${\displaystyle E\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$$ フレシェの空間の一部${\displaystyle Y.}$

一方で、${\displaystyle E}$可算無限個の可分バナッハ空間の積の閉部分空間である。${\textstyle X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{i}}$分離可能なバナッハ空間の。Bartle-Graves-Michael の結果は、${\displaystyle X}$同相写像を与える $${\displaystyle X\simeq E\times Z}$$ フレシェの空間の一部${\displaystyle Z.}$カデックの結果から、無限次元の可分バナッハ空間の可算積${\displaystyle X}$は同相である${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

アンダーソン・カデックの定理の証明は、一連の同値関係から成ります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }&\simeq (E\times Z)^{\mathbb {N} }\\&\simeq E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\end{aligned}}}$$

• 計量可能な位相ベクトル空間– 位相が計量によって定義できる位相ベクトル空間 

• ベッサガ、C. Pełczyński, A. (1975)、Infinite-Dimensional Topology の選択されたトピック、Monografie Matematyczne、ワルシャワ: Panstwowe wyd。ナウコウェ。
• Toruńczyk, H. (1981), 「ヒルベルト空間トポロジーの特徴付け」、Fundamenta Mathematicae、第111巻、 247–262 頁 。