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帰納的推論とは、議論の結論が演繹的な確実性ではなく、せいぜいある程度の確率で裏付けられる、さまざまな推論方法を指します。前提が正しければ結論が確実である演繹的推論（数学的帰納法など）とは異なり、帰納的推論は、与えられた前提に基づいてせいぜい蓋然性のある結論を生み出します。[ 1 ]
帰納的推論の種類には、一般化、予測、統計的三段論法、類推による議論、因果推論などがある。また、それらの結果の捉え方にも違いがある。
一般化（より正確には帰納的一般化）は、標本に関する前提から母集団に関する結論へと進む。[ 2 ]この標本から得られた観察結果は、より広い母集団に投影される。[ 2 ]
例えば、壺の中に黒または白のボールが20個入っているとします。それぞれの数を推定するために、 4個のボールをサンプルとして取り出し、そのうち3個が黒、1個が白であるとします。帰納的な一般化としては、壺の中には黒のボールが15個、白のボールが5個入っていると推測できます。しかし、これは壺の中の各色のボールの実際の数（母集団）に関する17通りの可能性のうちの1つにすぎません。黒のボールが19個で白のボールが1個だけだったり、黒のボールが3個で白のボールが17個だったり、あるいはその間の任意の組み合わせだったりする可能性もあります。それぞれの可能な分布が実際の黒と白のボールの数である確率は、ベイズ推論などの手法を用いて推定できます。ベイズ推論では、分布に関する事前仮定を観測されたサンプルで更新します。また、最尤推定法（MLE）では、観測されたサンプルに基づいて最も可能性の高い分布を特定します。
前提が結論をどの程度裏付けているかは、標本群の人数、母集団の人数、標本が母集団をどの程度代表しているか（静的な母集団の場合、無作為標本を抽出することで代表できる）によって決まります。標本が母集団をどの程度代表しているかは、個々の観察に用いられる手順の信頼性に依存しますが、これは必ずしも静的な母集団から無作為な要素を抽出するほど単純ではなく、それ自体も必ずしも単純ではありません。標本サイズが母集団に対して大きいほど、また標本が母集団をより正確に代表しているほど、一般化の妥当性は高まります。性急な一般化と偏った標本は、一般化の誤謬です。
統計的一般化とは、統計的に代表性のある標本を用いて母集団に関する結論を推論する帰納的推論の一種である。例えば、次のようになる。
この尺度は、選択プロセスが真にランダムであり、考慮される特性を持つサンプル項目の数が多い場合、明確に定義された誤差範囲内で非常に信頼性が高い。容易に定量化できる。上記の議論を次の議論と比較してみよう。「私の読書会の10人のうち6人はリバタリアンだ。したがって、約60%の人がリバタリアンだ。」この議論は、サンプルがランダムではなく、サンプルサイズが非常に小さいため、説得力に欠ける。
逸話的一般化とは、統計的ではないサンプルを用いて母集団に関する結論を推論する帰納的議論の一種である。[ 5 ]言い換えれば、その一般化は逸話的な証拠に基づいている。例えば、
この推論は、統計的一般化よりも信頼性が低く（したがって、早まった一般化の誤謬を犯しやすい）、その理由は、第一に、サンプル事象が非ランダムであること、第二に、数学的表現に還元できないことである。統計的に言えば、将来発生するパフォーマンスに影響を与える状況を知り、測定し、計算する方法は単純に存在しない。哲学的レベルでは、この議論は、将来の事象の作用が過去を反映するという前提に基づいている。言い換えれば、経験的データ自体から導き出すことのできない、証明されていない原理である自然の均一性を当然のこととしている。この均一性を暗黙のうちに前提とする議論は、最初に哲学的精査の対象とした哲学者ヒュームにちなんで、ヒューム的と呼ばれることがある。 [ 6 ]
帰納的予測は、他の事例のサンプルから、将来、現在、または過去の事例について結論を導き出す。帰納的一般化と同様に、帰納的予測は、ある現象の特定の事例からなるデータセットに依存する。しかし、一般的な記述で結論付けるのではなく、帰納的予測は、単一の事例が他の事例と共有する（または共有しない）属性を持つ（または持たない）確率についての具体的な記述で結論付ける。[ 7 ]
統計的三段論法は、集団に関する一般化から個人に関する結論へと進む。
例えば：
これは統計的三段論法です。[ 8 ]ボブが大学に通うかどうかは確実ではありませんが、この結果の正確な確率は（それ以上の情報がない場合）完全に保証されています。統計的三段論法では、「偶然」と「逆偶然」という 2 つの単純な誤謬が発生する可能性があります。
類推推論のプロセスは、2 つ以上のものの共通の特性に注目し、この基礎からそれらがさらに何らかの特性を共有していると推論することを含む: [ 9 ]
類推的推論は、常識、科学、哲学、法律、人文科学において非常に頻繁に用いられますが、補助的な方法としてのみ受け入れられる場合もあります。洗練されたアプローチは、事例に基づく推論です。[ 10 ]
これは類推的帰納法であり、ある点で似ているものは、他の点でも似ている可能性が高いという考え方です。この帰納法は、哲学者ジョン・スチュアート・ミルが『論理体系』の中で詳しく論じており、ミルは「（無関係であることが知られていない）あらゆる類似性は、そうでなければ存在するであろう以上の、結論を支持する何らかの蓋然性を与えることは疑いようがない」と述べています。[ 11 ]ミルの方法論を参照してください。
類推的帰納法は、事象を支配するあらかじめ確立された均一性を前提としているため、帰納的一般化の下位分類であると主張する思想家もいる。類推的帰納法では、2つの石に共通する特徴の関連性を補助的に検証する必要がある。前述の例で、両方の石が初期のスペイン人探検家の記録に記載されているという前提を追加したとしても、この共通属性は石とは無関係であり、両者の類似性の可能性には寄与しない。
類推の落とし穴の一つは、特徴を都合よく選りすぐってしまう可能性があることだ。対象物が驚くほど似ているように見えても、並置された二つのものは、類推では特定されていない、全く異なる特徴をそれぞれ持っている場合がある。したがって、関連する比較をすべて行わないと、類推は誤解を招く可能性がある。
因果推論とは、ある結果が生じる状況に基づいて、可能性のある、あるいは蓋然性の高い因果関係について結論を導き出すことである。二つの事象の相関関係に関する前提は、両者の間に因果関係が存在することを示唆する可能性があるが、因果関係の正確な形態を確立するには、追加の要因を確認する必要がある。
帰納的一般化に到達するために使用される主な方法は、列挙的帰納と消去的帰納の2 つです。[ 12 ] [ 13 ]
列挙的帰納法は、それを支持する事例の数に基づいて一般化を構築する帰納法である。支持する事例が多いほど、結論は強くなる。[ 12 ] [ 13 ]
列挙的帰納法の最も基本的な形式は、特定の事例からすべての事例へと推論するものであり、したがって無制限の一般化である。[ 14 ] 100羽の白鳥を観察し、100羽すべてが白かった場合、すべての白鳥は白いという形式の、蓋然性の高い普遍的カテゴリー命題を推論するかもしれない。この推論形式の前提は、たとえ真であっても、結論の真偽を必然的に示すものではないため、これは帰納的推論の一形式である。結論は真である可能性があり、おそらく真であると考えられるかもしれないが、偽である可能性もある。列挙的帰納法は科学的方法の伝統的なモデルにおいて極めて重要な役割を果たしているため、列挙的帰納法の正当化と形式に関する問題は科学哲学において中心的な課題となっている。
これは列挙的帰納法であり、単純帰納法または単純予測的帰納法とも呼ばれます。これは帰納的一般化のサブカテゴリです。日常的な実践では、これはおそらく最も一般的な帰納法の形式です。前述の議論では、結論は魅力的ですが、証拠をはるかに超えた予測をしています。第一に、これまで観察された生命形態が将来の事例がどうなるかを教えてくれると仮定しています。これは均一性への訴えです。第二に、結論「すべて」は大胆な主張です。反例が1つあるだけで議論は失敗します。そして最後に、確率のレベルを数学的な形式で定量化することは問題があります。[ 15 ]地球上の既知の生命のサンプルを、すべての（可能性のある）生命と比較して、どのような基準で測定するのでしょうか。中間圏や小惑星に漂う微生物など、新しい生物を発見し、それが細胞性であると仮定します。この裏付けとなる証拠の追加によって、主題命題の確率評価を引き上げなければならないのでしょうか。この問いに「はい」と答えるのが妥当だと考えられており、多くの人にとってこの「はい」は妥当であるだけでなく、議論の余地もない。では、この新しいデータは確率の評価をどの程度変えるべきなのだろうか？ここでコンセンサスは崩れ去り、数値的な定量化の有無にかかわらず、そもそも確率について首尾一貫して語ることができるのかという疑問が生じる。
This is enumerative induction in its weak form. It truncates "all" to a mere single instance and, by making a far weaker claim, considerably strengthens the probability of its conclusion. Otherwise, it has the same shortcomings as the strong form: its sample population is non-random, and quantification methods are elusive.
Eliminative induction, also called variative induction, is an inductive method first put forth by Francis Bacon;[16] in it a generalization is constructed based on the variety of instances that support it. Unlike enumerative induction, eliminative induction reasons based on the various kinds of instances that support a conclusion, rather than the number of instances that support it. As the variety of instances increases, the more possible conclusions based on those instances can be identified as incompatible and eliminated. This, in turn, increases the strength of any conclusion that remains consistent with the various instances. In this context, confidence is the function of how many instances have been identified as incompatible and eliminated. This confidence is expressed as the Baconian probability in (read as "i out of n") where n reasons for finding a claim incompatible has been identified and i of these have been eliminated by evidence or argument.[16]
There are three ways of attacking an argument; these ways - known as defeaters in defeasible reasoning literature - are: rebutting, undermining, and undercutting. Rebutting defeats by offering a counterexample, undermining defeats by questioning the validity of the evidence, and undercutting defeats by pointing out conditions where a conclusion is not true when the inference is. By identifying defeaters and proving them wrong, is how this approach builds confidence.[16]
This type of induction may use different methodologies such as quasi-experimentation, which tests and, where possible, eliminates rival hypotheses.[17] Different evidential tests may also be employed to eliminate possibilities that are entertained.[18]
Eliminative induction is crucial to the scientific method and is used to eliminate hypotheses that are inconsistent with observations and experiments.[12][13] It focuses on possible causes instead of observed actual instances of causal connections.[19]
排除的帰納法は、考えられるすべての対立仮説を特定してから排除する必要があるという点でも批判されている。サーモンは、既存の代替案が排除された後でも新たな説明が現れる可能性があるため、この要件は科学的実践ではめったに達成できないと指摘しており、この方法が提供する確実性は限られている。[ 20 ]トレッティも同様に、排除的戦略は決定不足というより広範な問題に直面しており、複数の異なる仮説が同じ証拠と両立する可能性があるため、可能性の空間がすでに明確に定義されていない限り排除は不完全になると主張している。[ 21 ]
個別的なものから普遍的なものへの移行について、紀元前300年代のアリストテレスはギリシャ語のepagogéという言葉を用い、キケロはそれをラテン語のinductioと訳した。[ 22 ]
アリストテレスの『分析論後書』は、自然哲学と社会科学における帰納的証明の方法を扱っている。『分析論後書』の第1巻では、証明の本質と科学、およびその要素について説明している。定義、区分、第一原理の直観的推論、個別的証明と普遍的証明、肯定的証明と否定的証明、科学と意見の違いなどが含まれる。
古代ピュロン派は、帰納法の問題を指摘した最初の西洋哲学者であった。彼らによれば、帰納法は普遍的な命題を真として受け入れることを正当化できない。[ 22 ]
古代ギリシャ医学の経験学派は、推論方法としてエピロギズムを採用した。「エピロギズム」とは、理論に基づかない方法で、大きな一般化を行わずに事実の蓄積を通して歴史を考察し、因果関係の主張を行うことの結果を考慮するものである。[ 23 ]エピロギズムは、完全に目に見える明白な事柄の領域内で行われる推論であり、観察不可能なものを持ち出そうとはしない。
古代ギリシャ医学の教義学派は、推論方法として類推論を採用した。 [ 24 ]この方法は、観察されたものから観察できない力へと推論するために類推を用いた。
1620年、近世初期の哲学者フランシス・ベーコンは、単なる経験と列挙的帰納法のみの価値を否定した。彼の帰納法では、自然界の構造と因果関係を明らかにするための、細分化された多様な観察を列挙的帰納法と組み合わせることで、現在の経験の範囲を超えた知識が得られるとされた。したがって、帰納法は構成要素として列挙的帰納法を必要としたのである。
経験論者のデイヴィッド・ヒュームは1740年に、列挙的帰納法には論理的根拠はおろか、合理的根拠もないと主張した。むしろ、帰納法は理性ではなく本能の産物であり、精神の習慣であり、日常生活を送る上での必要条件であるとした。太陽の動きなどの観察結果は、自然の均一性の原理と結び付けて確実な結論を導き出すことができるが、帰納法の問題は、自然の均一性が論理的に妥当な原理ではないため、演繹的に合理的であると擁護できないこと、また、自然の均一性が過去を正確に記述してきたため、おそらく未来も正確に記述するだろうという事実に訴えることで帰納的に合理的であると擁護することもできないという事実から生じた。なぜなら、それは帰納的議論であり、帰納法を正当化する必要があるため循環論法となるからである。
ヒュームが、自然の均一性を支持する演繹的議論の無効性と帰納的議論の循環性の間のジレンマについて最初に書いて以来、演繹と帰納という 2 つの推論モード間のこの想定される二分法は、アブダクション、またはアブダクション推論として知られる 3 番目の推論モードの発見によって異議を唱えられてきました。これは、1886 年にチャールズ・サンダース・パースによって最初に定式化され、推進され、彼はそれを「仮説による推論」と呼んでいました。[ 25 ]最良の説明への推論は、しばしば、しかし議論の余地はあるものの、アブダクションと同義として扱われます。これは、1965 年にギルバート・ハーマンによって最初に特定され、彼はそれを「アブダクション推論」と呼んでいましたが、彼のアブダクションの定義は、パースの定義とわずかに異なります。[ 26 ]いずれにせよ、アブダクションが実際には他の 2 つとは合理的に独立した 3 番目の推論方法であるならば、自然の均一性はアブダクションによって合理的に正当化できるか、ヒュームのジレンマはむしろトリレンマである。ヒュームはまた、観察不可能なものについての確実性に到達するために列挙的帰納法と理性を適用すること、特に、関係の側面を変更すると特定の結果が防止または発生するという事実から因果関係を推論することに懐疑的であった。
ヒュームの著作のドイツ語訳によって「独断的な眠り」から目覚めたカントは、形而上学の可能性を説明しようとした。1781年、カントの『純粋理性批判』は、経験主義とは異なる知識への道として合理主義を導入した。カントは命題を2種類に分類した。分析命題は、その用語と意味の配置によって真であり、したがって分析命題はトートロジー、つまり必然的に真である単なる論理的真理である。一方、総合命題は、事実の状態、偶然性を指す意味を持つ。デカルトやライプニッツのような合理主義哲学者と、ロックやヒュームのような経験主義哲学者の両方に対して、カントの『純粋理性批判』は、知識を得るためには、精神（概念）の貢献と感覚（直観）の貢献の両方が必要であるという一貫した議論である。カントにとって、真の知識とは、私たちが知覚できるもの（現象）に限定されるものであり、単なる思考の対象（「物自体」）は、知覚することが不可能であるため、原理的に認識不可能である。
カントは、心が感覚データを整理するための独自のカテゴリーを持ち、空間と時間における対象（現象）の経験を可能にする必要があると推論し、自然の均一性がアプリオリな真理であると結論付けた。 [ 20 ]偶然ではなく必然的に真である総合命題のクラスは、総合アプリオリであった。こうしてカントは形而上学とニュートンの万有引力の法則の両方を救った。私たちの知識を超えるものは「私たちにとって無である」という議論に基づいて、[ 27 ]彼は科学的実在論を捨てた。知識は知覚と私たちの思考能力の協力によって生じるというカントの立場（超越論的観念論）は、ドイツ観念論運動を生み出した。ヘーゲルの絶対観念論はその後、ヨーロッパ大陸とイギリスで隆盛した。
アンリ・ド・サン＝シモンによって発展し、1830年代に彼の元教え子であるオーギュスト・コントによって広められた実証主義は、近代後期 最初の科学哲学であった。フランス革命後、社会の崩壊を恐れたコントは形而上学に反対した。人間の知識は宗教から形而上学、そして科学へと発展し、数学から天文学、物理学、化学、生物学、社会学へと（この順序で）流れ、ますます複雑な領域を記述してきたとコントは述べた。社会の知識はすべて科学的になり、神学や形而上学の問題は答えられないものとなった。コントは、利用可能な経験に基づいているため、列挙的帰納法は信頼できると考えた。彼は、人間社会を改善するための正しい方法として、形而上学的な真理ではなく、科学を用いることを主張した。
コントによれば、科学的方法は予測を立て、それを確認して、神学や形而上学では反駁できない法則（実証的な記述）を述べる。自然の均一性を示すことで列挙的帰納を正当化する経験について、[ 20 ]イギリスの哲学者ジョン・スチュアート・ミルはコントの実証主義を歓迎したが、科学法則は取り消しや修正の可能性があると考え、コントの『人類の宗教』にも賛同しなかった。コントは科学法則をすべての知識の反駁できない基礎として扱うことに自信を持っており、著名な科学者を称える教会は、コントが作った言葉である利他主義に人々の意識を集中させ、コントが主導する科学である社会学を通じて人類の社会福祉のために科学を応用すべきだと信じていた。
1830年代から1840年代にかけて、コントとミルが科学哲学の指導者であった頃、ウィリアム・ヒューウェルは列挙的帰納法がそれほど説得力のあるものではないと考え、帰納主義が支配的であったにもかかわらず、「超帰納法」を提唱した。[ 21 ]ヒューウェルは、「帰納法という用語の特異な意味」を認識すべきだと主張した。「事実の上に何らかの概念が重ね合わされている」、つまり「あらゆる帰納的推論において新しい概念が発明されている」ということである。概念の創造は容易に見落とされ、ヒューウェル以前にはほとんど認識されていなかった。[ 21 ]ヒューウェルは次のように説明した。
「我々は事実の上に新たな概念を重ね合わせることで事実を結びつけるが、この概念は一度導入され適用されると、事実と不可分に結びつき、必然的に事実に内在するものと見なされる。いったん概念によって現象が心の中で結び合わされると、人々はもはや、それらがこのように結び付けられる前の、分離した一貫性のない状態に容易に戻すことはできない。」[ 21 ]
これらの「超誘導」説明は欠陥があるかもしれないが、ホイウェルが「コンシリエンス」と呼んだもの、つまり複数の領域で帰納的一般化を同時に予測する能力を示す場合にその正確さが示唆される。ホイウェルによれば、この能力によって説明の真実性が確立されるという。科学を帰納的方法とみなす一般的な見方に合わせるためか、ホイウェルは「帰納の方法」に数章を割き、帰納には規則がなく訓練できないにもかかわらず、「帰納の論理」という表現を使うこともあった。[ 21 ]
1870年代、プラグマティズムの創始者であるC・S・パースは、演繹的推論の基礎を数学的証明として明確にする広範な研究を行った（ゴットロープ・フレーゲも独立して同様の研究を行った）。パースは帰納法を認めたが、常に第三のタイプの推論を主張し、それをアブダクション、レトロダクション、仮説、推定などと様々に呼んだ。[ 28 ]後世の哲学者たちは、パースのアブダクションなどを最良の説明への推論（IBE）と呼んだ。[ 29 ]
ヒュームの帰納法の問題を強調した後、ジョン・メイナード・ケインズは論理的確率をその答え、あるいは彼が到達できる限りの解決策として提示した。 [ 30 ]バートランド・ラッセルは、ケインズの『確率論』が帰納法の最良の考察であるとし、ジャン・ニコの『帰納法の論理的問題』と、 1925年10月号の『マインド』誌に掲載されたRBブレイスウェイトによるケインズの著作の書評と併せて読めば、「帰納法について知られていることのほとんど」を網羅できると信じていたが、「この主題は専門的で難しく、かなりの数学を伴う」とも述べている。[ 31 ] 20年後、ラッセルはケインズに倣い、列挙的帰納法を「独立した論理原理」とみなした。[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]ラッセルは次のように述べている。
ヒュームの懐疑主義は、帰納法の原理を否定することに基づいている。因果関係に適用される帰納法の原理は、AがBを伴うか、 Bに続いて起こることが非常に頻繁に観察されている場合、次にAが観察されるときには、Bを伴うか、Bに続いて起こる可能性が高いというものである。この原理が妥当であるためには、十分な数の事例によって確率が確実性に限りなく近いものでなければならない。この原理、あるいはこの原理から導き出せる他の原理が真であるならば、ヒュームが否定する因果的推論は、確実性を与えるという意味ではなく、実際的な目的のために十分な確率を与えるという意味で妥当である。この原理が真でないならば、個々の観察から一般的な科学法則に到達しようとする試みはすべて誤りであり、経験主義者にとってヒュームの懐疑主義は避けられないものとなる。もちろん、この原理自体は、循環論法なしには、観察された均一性から推論することはできない。なぜなら、そのような推論を正当化するためには、この原理が必要だからである。したがって、この原理は、または推論されなければならない。経験に基づかない独立した原理から。この点において、ヒュームは純粋経験主義が科学の十分な基礎ではないことを証明した。しかし、この一つの原理が認められれば、他のすべては、私たちの知識はすべて経験に基づいているという理論に従って進めることができる。これは純粋経験主義からの重大な逸脱であり、経験主義者でない人々は、なぜ一つの逸脱が許されるのに、他の逸脱は禁じられるのかと問うかもしれないことは認めざるを得ない。しかし、これらはヒュームの議論によって直接提起された問題ではない。これらの議論が証明しているのは――そして私はその証明に反論の余地はないと思うが――帰納法は独立した論理原理であり、経験からも他の論理原理からも推論することはできず、この原理がなければ科学は不可能であるということである。」[ 34 ]
1965年の論文で、ギルバート・ハーマンは、列挙的帰納法は自律的な現象ではなく、単に最良の説明への推論（IBE）の隠れた結果であると説明した。[ 29 ] IBEは、 C・S・パースのアブダクションと同義である。[ 29 ]科学的実在論を支持する多くの科学哲学者は、IBEは科学者が自然についてほぼ真の科学理論を構築する方法であると主張してきた。[ 35 ]
Inductive reasoning is a form of argument that—in contrast to deductive reasoning—allows for the possibility that a conclusion can be false, even if all of the premises are true.[36] This difference between deductive and inductive reasoning is reflected in the terminology used to describe deductive and inductive arguments. In deductive reasoning, an argument is "valid" when, assuming the argument's premises are true, the conclusion must be true. If the argument is valid and the premises are true, then the argument is "sound". In contrast, in inductive reasoning, an argument's premises can never guarantee that the conclusion must be true. Instead, an argument is "strong" when, assuming the argument's premises are true, the conclusion is probably true. If the argument is strong and the premises are thought to be true, then the argument is said to be "cogent".[37] Less formally, the conclusion of an inductive argument may be called "probable", "plausible", "likely", "reasonable", or "justified", but never "certain" or "necessary". Logic affords no bridge from the probable to the certain.
The futility of attaining certainty through some critical mass of probability can be illustrated with a coin-toss exercise. Suppose someone tests whether a coin is either a fair one or two-headed. They flip the coin ten times, and ten times it comes up heads. At this point, there is a strong reason to believe it is two-headed. After all, the chance of ten heads in a row is .000976: less than one in one thousand. Then, after 100 flips, every toss has come up heads. Now there is "virtual" certainty that the coin is two-headed, and one can regard it as "true" that the coin is probably two-headed. Still, one can neither logically nor empirically rule out that the next toss will produce tails. No matter how many times in a row it comes up heads, this remains the case. If one programmed a machine to flip a coin over and over continuously, at some point the result would be a string of 100 heads. In the fullness of time, all combinations will appear.
公平なコインで10回中10回表が出る可能性は極めて低い（そのためコインが偏っているように見える）が、表と裏の連続（例えば、HHTTHTHHHT）が出る確率はどれも同じくらい低いにもかかわらず、10回の試行で必ず発生するという事実に、多くの人が驚くかもしれない。つまり、10回の試行で全ての結果が出る確率は、10回中10回表が出る確率と同じで、0.000976である。表と裏の連続を記録した場合、結果がどうであれ、その連続が発生する確率は0.000976となる。
結論が前提から必然的に導き出される議論は、演繹的である。つまり、前提が真であれば結論も真でなければならない。例えば、10回連続で表が出た場合、そのコインは統計的に見て両面性があると考えられる基準を満たしていると推論できるだろう。そして、次の投擲で裏が出たとしても、この結論は覆されない。
演繹的結論が前提から適切に導き出されるならば、それは妥当である。そうでなければ、それは妥当ではない（議論が妥当でないということは、その結論が偽であるという意味ではない。結論自体は正しいかもしれないが、前提に基づかないだけである）。以下の例を検討すれば、前提と結論の関係は、結論の真偽がすでに前提に暗黙のうちに含まれているということがわかるだろう。独身男性が未婚なのは、私たちがそう言うからであり、私たちがそう定義したからである。ソクラテスが死ぬのは、私たちが彼を死ぬべき存在の集合に含めたからである。妥当な演繹的議論の結論は、その真偽が厳密には論理的関係の問題であるため、すでに前提に含まれている。結論は前提以上のことを述べることはできない。一方、帰納的前提は事実と証拠からその実体を引き出し、結論はそれに応じて事実の主張または予測を行う。その信頼性は証拠に比例して変化する。帰納は世界について何か新しいことを明らかにしようとする。帰納は前提に含まれる以上のことを述べようとする、と言うこともできるだろう。
帰納的推論と演繹的推論の違いをよりよく理解するために、次のような例を考えてみましょう。「これまで調べた長方形はすべて4つの直角を持っているので、次に見る長方形も4つの直角を持っているだろう。」これは論理的な関係を事実として発見可能なものとして扱い、したがって可変的で不確実なものとして扱っていることになります。同様に、演繹的に言えば、「すべてのユニコーンは飛べる。私はチャーリーという名前のユニコーンを飼っている。したがって、チャーリーは飛べる。」と言うことは許容されます。この演繹的推論が妥当なのは、論理的な関係が成り立っているからであり、その事実的な妥当性には関心がないからです。
帰納的推論の結論は本質的に不確実である。それは、前提が与えられた場合に、何らかの証拠理論に従って結論がどの程度「信頼できる」かという点のみを扱う。例としては、多値論理、デンプスター・シェーファー理論、またはベイズの定理などの推論規則を持つ確率論などがある。演繹的推論とは異なり、結論を導き出すために閉じた議論領域で成り立つ普遍性に依存しないため、認識的不確実性の場合にも適用できる（ただし、これには技術的な問題が生じる可能性がある。たとえば、確率の第2公理は閉じた世界の仮定である）。[ 38 ]
これら2種類の議論のもう1つの重要な違いは、現実のような非公理的または経験的なシステムでは演繹的確実性が不可能であり、そのようなシステムの（確率的）知識を得るための主要な経路は帰納的推論であるということである。[ 39 ]
「Aが真であれば、 B、C、Dも真となる」という前提に基づくと、演繹の例としては「Aは真である。したがって、 B、C、Dも真であると推論できる」が挙げられます。帰納の例としては「B、C、Dは真であると観察された。したがって、Aも真である可能性がある」が挙げられます。Aは、 B、C、Dが真であることの妥当な説明です。
例えば：
ただし、大量絶滅の原因が小惑星衝突であるとする説は必ずしも正しいとは限らないことに注意が必要である。地球規模の気候に影響を与える可能性のある他の出来事も、非鳥類恐竜の絶滅と同時期に発生している。例えば、インドのデカン・トラップ形成時に放出された火山ガス（特に二酸化硫黄）などが挙げられる。
帰納的推論の別の例：
この議論は、新たな生物が発見されるたびに繰り返され、毎回正しい結論に至っただろう。しかし、将来、液体の水を必要としない生物が発見される可能性は依然として存在する。したがって、この議論は次のように述べられるかもしれない。
ジョン・ヴィッカーズは、「誤った」統計的三段論法の典型的な例を提示した。
当時把握されていた白鳥の個体数は、実際にはすべての白鳥を代表するものではなかったため、この結論は成り立たない。より妥当な結論は、適用される慣例に従えば、少なくとも短期的には、イングランドのすべての白鳥は白色であると合理的に期待できる、というものである。
簡潔に言うと、演繹は確実性/必然性に関するものであり、帰納は確率に関するものである。[ 8 ]いずれの主張も、これら2つの基準のいずれかに該当する。推論の分析に対するもう1つのアプローチは様相論理であり、これは、可能とみなされるものの間の確率に関心を持たない方法で、必然と可能性の区別を扱う。
哲学における帰納的推論の定義は、特定の事例からより広範な一般化へと単純に進むというよりも、より複雑なニュアンスを含んでいます。むしろ、帰納的論理的議論の前提は、結論に対するある程度の支持（帰納的確率）を示すものの、結論を必然的に導くものではありません。つまり、前提は真実を示唆するものの、それを保証するものではないのです。このようにして、一般的な命題から個々の事例へと進むことが可能になります（例えば、統計的三段論法など）。
ここで説明する帰納的推論の定義は、実際には演繹的推論の一形態である数学的帰納法とは異なることに注意してください。数学的帰納法は、再帰的に定義された集合の性質の厳密な証明を提供するために使用されます。[ 40 ]数学的帰納法の演繹的な性質は、列挙的帰納法（例えば、網羅的証明）で扱われる有限個のケースとは対照的に、非有限個のケースに基づいていることに由来します。数学的帰納法と網羅的証明はどちらも完全帰納法の例です。完全帰納法は、演繹的推論の隠されたタイプです。
ピュロン派の哲学者セクストゥス・エンピリクスにまで遡る哲学者たちは帰納的推論の不健全性を指摘してきたが、[ 41 ]帰納の問題に対する古典的な哲学的批判はスコットランドの哲学者デイヴィッド・ヒュームによってなされた。[ 42 ]帰納的推論の使用はかなりの成功を収めているが、その適用の正当性は疑問視されてきた。この点を認識し、ヒュームは、私たちの心がしばしば比較的限られた経験から、正しいように見えるが実際には確実とは程遠い結論を導き出すという事実を強調した。演繹では、結論の真偽値は前提の真偽に基づいている。しかし、帰納では、結論の前提への依存は常に不確実である。たとえば、すべてのカラスは黒であると仮定しよう。多数の黒いカラスが存在するという事実は、この仮定を裏付けている。しかし、白いカラスが存在することがわかった時点で、この仮定は無効になる。したがって、「すべてのカラスは黒い」という一般原則は、決して確実な命題とは言えない。ヒュームはさらに、帰納的推論を正当化することは不可能だと主張した。なぜなら、演繹的に正当化することはできないため、帰納的に正当化するしかないからである。この議論は循環論法であるため、ヒュームの二股の法則を用いて、帰納法の使用は論理的に正当化できないと結論づけた。[ 43 ]
ヒュームは、帰納法が信頼できないと証明されたとしても、私たちは依然としてそれに頼らざるを得ないだろうと述べた。そのため、ヒュームは厳しい懐疑主義の立場ではなく、帰納法の必然性を受け入れる常識に基づく実践的懐疑主義を提唱した。 [ 44 ]バートランド・ラッセルは、毎朝欠かさず餌を与えられ、帰納法則に従って、最終的に農夫に喉を切られるまで餌やりが永遠に続くと結論づけた鶏の話で、ヒュームの懐疑主義を例示した。[ 45 ]
1963年、カール・ポパーは「帰納、すなわち多くの観察に基づく推論は神話である。それは心理学的事実でも、日常生活の事実でも、科学的手続きの事実でもない」と書いた。[ 46 ] [ 47 ]ポパーの1972年の著書『客観的知識』は、最初の章が帰納の問題に捧げられており、「私は主要な哲学的問題、すなわち帰納の問題を解決したと思う」という書き出しで始まる。[ 47 ]ポパーの図式では、列挙的帰納は、問題の転換中に推測と反駁のステップによって生み出される「一種の錯覚」である。[ 47 ]想像力の飛躍である暫定的な解決策は即興であり、それを導く帰納的規則を欠いている。[ 47 ]その結果生じる無制限の一般化は演繹的であり、すべての説明的考察の必然的な帰結である。[ 47 ]しかし、ポパーの提案した解決策は一般には受け入れられず、論争は続いた。[ 48 ]
ドナルド・A・ギリーズは、帰納的推論に関連する推論規則は科学には圧倒的に欠けていると主張し、ほとんどの科学的推論は「人間の創意工夫と創造性によって考え出された推測を含み、決して機械的な方法や厳密に指定された規則に従って推論されたものではない」と述べている。 [ 49 ]ギリーズはまた、「 AIの機械学習プログラム」という珍しい反例も挙げている。[ 49 ]
帰納的推論は、仮説構築とも呼ばれます。なぜなら、導き出される結論はすべて、現在の知識と予測に基づいているからです。演繹的推論と同様に、バイアスは帰納的推論の適切な適用を歪め、推論者が手がかりに基づいて最も論理的な結論を導き出すことを妨げる可能性があります。これらのバイアスの例としては、利用可能性ヒューリスティック、確証バイアス、予測可能な世界バイアスなどが挙げられます。
利用可能性ヒューリスティックとは、推論者が容易に入手できる情報に主に依存するようになる現象であると考えられています。人々は、身の回りの世界で容易に入手できる情報に頼る傾向があります。例えば、調査において、様々な原因で死亡した人の割合を推定するように求められた場合、ほとんどの回答者は、テロ、殺人、飛行機事故など、メディアで最も頻繁に取り上げられる原因を選択する傾向があり、病気や交通事故など、身の回りの世界でそれほど強調されていないため、個人にとって「アクセスしにくい」原因を選択することはあまりありません。
確証バイアスは、仮説を否定するよりも肯定しようとする自然な傾向に基づいています。研究によると、人々は既知の仮説に矛盾しない解決策を求める傾向があり、仮説を反駁しようとする傾向は低いことが示されています。実験では、被験者は確立された仮説に合致する答えを求める質問をし、結果としてこれらの仮説を裏付けることになります。例えば、サリーは社交的な人物であるという仮説が立てられた場合、被験者はサリーが実際に社交的な人物であることを裏付ける答えが得られるような質問をすることで、その前提を裏付けようとします。
予測可能な世界バイアスは、そもそも存在が証明されていない、あるいは特定の抽象度レベルでは存在しないと証明されていない秩序を知覚しようとする傾向を中心に展開します。例えば、ギャンブルは予測可能な世界バイアスの最も有名な例の1つです。ギャンブラーは、結果に単純で明白なパターンが見られると考え始め、目撃したことに基づいて結果を予測できると信じるようになります。しかし実際には、これらのゲームの結果は予測が難しく、非常に複雑な性質を持っています。一般的に、人々は自分の信念や経験を説明または正当化するために何らかの単純な秩序を求める傾向があり、秩序に対する自分の認識が真実と全く異なる可能性があることに気づくのは難しい場合が多いのです。[ 50 ]
ベイズ推論は、信念の理論ではなく帰納の論理であるため、どの信念が先験的に合理的であるかを決定するのではなく、証拠が提示されたときに、私たちが持っている信念をどのように合理的に変更すべきかを決定します。まず、可能性の網羅的なリスト、それぞれの明確な確率的特徴付け（尤度の観点から）、およびそれらに対する正確な事前確率（たとえば、論理または過去の経験からの帰納に基づく）を検討し、証拠に直面したときに、ベイズ論理を使用して、与えられた仮説に対する信念の強さを正確に調整して候補となる「事後確率」を導き出します。このとき、新しい証拠が私たちの仮定を疑う具体的な理由を与える可能性がある程度は考慮しません。そうでない場合は、おそらく安定した状況に達するまで、必要に応じて可能性とその特徴付けの検討を見直して繰り返すことが推奨されます。[ 51 ]
1960 年頃、レイ・ソロモノフは普遍的帰納的推論の理論を創始しました。これは、例えば与えられた一連の記号に基づいて次の記号を予測するなど、観察に基づく予測の理論です。これは、アルゴリズム情報理論とベイズフレームワークを組み合わせた形式的な帰納的フレームワークです。普遍的帰納的推論は確固たる哲学的基盤に基づいており、「合理的に複雑な環境や現実世界の環境に対処するには不十分なツールであるように思われる」[ 52 ]ため、数学的に形式化されたオッカムの剃刀と考えることができます。この理論の基本的な要素は、アルゴリズム確率とコルモゴロフ複雑性の概念です。
帰納的推論では、通常、可算サイズの仮説クラスが考慮されます。最近の進歩[ 53 ]では、帰納的推論の十分かつ必要条件が確立されました。すなわち、仮説クラスがオンラインで学習可能なクラスの可算和集合である場合に限り、有限の誤差限界が保証されます。注目すべきは、この条件により、仮説クラスが非可算サイズであっても、このフレームワーク内で学習可能であることが保証される点です。
共通の性質を持つことが観察された個人を列挙し、結論では同じ集団のすべての個人がその性質を持っていると主張します。
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