直感的な統計

直観統計、またはフォーク統計は、生物がデータを使用して世界についての一般化と予測を行う認知現象です。これは少量のサンプルデータまたはトレーニングインスタンスである可能性があり、それが今度は集団レベルの特性、将来のデータ、またはその両方についての帰納的推論に貢献します。推論には、将来の予測を通知および動機付ける確率データに照らして仮説または信念を修正することが含まれる場合があります。認知動物が統計的推論を直感的に生成するという非公式な傾向は、確率論の特定の公理で形式化されると、学問分野としての 統計を構成します。

この能力は広範囲の情報領域に対応できるため、その主題も同様に広く、他の認知現象とかなり重複しています。実際、「直観的な統計学者としての認知」は、認知のコンピュータメタファーによく似たメタファーであると主張する人もいます。^{[1]理論構築[2] [3]}とカテゴリ構造化^{[4] [5]}の背後にあるさまざまな統計的および確率的メカニズムに訴える人もいます。この領域の研究では、通常、数、相対頻度、リスク、および生物 (例:人間、または非ヒト霊長類) が持つ可能性のある推論能力の体系的な特徴に関する一般化に焦点を当てています。 ^{[1] [6]}

直観的推論には、カテゴリ化や概念構造化など、入ってくる感覚データから仮説を生成することが含まれる場合があります。データは通常確率的であり、学習、知覚、言語、思考においては、不確実性は例外ではなく規則です。^{[7] [8]}最近、研究者は確率論、心の哲学、コンピュータサイエンス、心理学のアイデアを利用して、認知を確率的表現の予測的生成システムとしてモデル化し、情報構造がさまざまなコンテキストと組み合わせで複数の推論をサポートできるようにしています。^[8]このアプローチは、既存の概念から確率的に表現を構築し、世界のあり得る状態を予測するため、確率的思考言語と呼ばれています。 ^[5]

統計学者と確率論者は、特に帰納的推論に関連するさまざまなツール、仮定、および問題について長い間議論してきました。^[1] デイヴィッド・ヒュームは、帰納の問題を検討したことで有名で、人々が過去の経験を超えた結論になぜ、そしてどのように到達できるのかという論理的根拠を、時空間的にも認識論的にも疑問視しました。^[9]最近では、理論家は、形式的な内容に依存しない手順を使用してデータから仮説に到達する手法を強調することで、または対照的に、帰納的推論のための非形式的で内容に依存するツールを検討することで、この問題を検討しています。^{[10] [11]形式的な手順の探求は、}フィッシャー頻度主義統計、ベイズ推論、およびネイマン-ピアソン統計を含む、異なる仮定を持つ統計的推論と確率論のさまざまな発展につながっています。^[1]

ゲルト・ギゲレンツァーとデイヴィッド・マレーは、20世紀の心理学は、統一された一連の考え方として確率推論を採用し、確率論者間の論争を無視したと主張している。彼らは、この受け入れから、人間が「合理的に考えるべきだ」という規範的だが誤った見解が生まれると主張している。しかし、彼らはまた、統計学者による直観的な認知の比喩は有望であり、内容や文脈に依存しないツールキットではなく、異なる問題領域に特化した異なる形式的ツールやヒューリスティックを検討すべきだと主張している。たとえば、信号検出理論家や物体検出モデルは、ネイマン・ピアソンのアプローチをよく使用するが、フィッシャーの頻度主義統計は因果推論に役立つかもしれない。^[1]

頻度主義的推論は、確率的結論を導くために、発生の相対的な割合または頻度に焦点を当てる。これは、密接に関連した概念である頻度主義的確率によって定義される。これは、「確率」は、大量のデータがある場合に長期的なサンプルが近づく相対的な頻度として理解されるため、既存のデータがない場合には無意味であるという見解を伴う。^[12] レダ・コスミデスとジョン・トゥービーは、以前の結果の頻度を参照せずに確率を導き出すことは不可能であり、これはおそらく進化論的起源を持つと主張している。彼らは、生物は、確率をイベントの固有の特性として「見る」のではなく、以前のイベントの頻度から直感的に理解して統計的推論を行うように進化したため、単一イベントの確率は観察できないと主張している。^[13]

ベイズ推論は、一般的に仮説の主観的確率を重視し、ベイズの定理を使用して事後確率として計算されます。ベイズ推論には事前確率と呼ばれる「出発点」が必要ですが、これは、確率を事前仮定としてとらえるのとは対照的に、事前確率を開発するには頻度データが必要であると主張する一部の頻度主義者にとって議論の的となっています。^{[1] [12]}

ベイズモデルは心理学者、特に学習理論家の間で非常に人気がある。なぜなら、人々が新しい観察から学習し期待を発展させながら、以前の観察に適切な重みを与えるという反復的な予測プロセスを模倣しているように見えるからである。^{[14]認知科学者で哲学者の} アンディ・クラークは最近、脳を受動的でも反応的でもない、根本的に行動指向的で予測的な建設的なベイズエンジンとして理解することを支持する詳細な議論を書いた。 ^[15]ベイズ推論の支持者が引用するより古典的な証拠には、保守主義、つまり人々が以前の観察によって示唆された結論に向かって以前の信念を修正するが、完全には修正しない現象が含まれる。^[6]この行動パターンは、ベイズモデルがデータに条件付けられている場合の事後確率分布のパターンに似ているが、批評家はこの証拠は誇張されており、数学的厳密さに欠けていると主張した。^[16]

アリソン・ゴプニックは最近、ベイジアンネットワーク、つまり条件付き依存関係の有向グラフ表現の使用を提唱してこの問題に取り組みました。ベイジアンネットワークでは、エッジの重みは新しいデータに照らして更新される条件付き依存関係の強さであり、ノードは観測変数です。グラフィカル表現自体は世界についてのモデルまたは仮説を構成し、新しいデータが与えられると変化する可能性があります。^[2]

エラー管理理論（EMT）は、ネイマン・ピアソン統計を認知心理学と進化心理学に応用したものである。タイプI（偽陽性）とタイプII（偽陰性）のエラーの適応コストと適応利益は、生物が自然選択によりその方向に偏向すると予想される適応的合理的推論に関連していると主張する。EMTはもともとマーティ・ハゼルトンとデビッド・バスによって開発され、初期の研究は男性の性的過剰認識バイアスと女性の性的過小認識バイアスにおけるEMTの役割の可能性に焦点を当てていた。^[17]

これは進化論における「煙探知機原理」と呼ばれる概念と密接に関係している。これは、免疫、感情、行動の防御が鈍感であったり弱く表現されるのではなく、過敏で過剰反応する傾向によって定義される。ランドルフ・ネッセは、これは信号検出における典型的な報酬構造の結果であると主張している。偽陽性のコストが比較的低く、偽陰性のコストが高いという不変の構造を持つシステムでは、自然淘汰された防御は潜在的な脅威の手がかりに反応して過活動になる傾向があると予想される。^{[18]この一般的な考え方は}、人間が不確実な手がかりやエージェントのような手がかりに基づいて非エージェントにエージェンシーを適用する傾向があるという仮説に適用されている。 ^[19]特に、潜在的な捕食者の脅威は通常、安易な偽陽性と致命的な偽陰性を伴うため、潜在的な獲物が少しでも疑われるとデフォルトでエージェンシーを想定するのは適応的であると主張する人もいる。^[20]

ヒューリスティックとは、判断や決断を下すための効率的なルール、または計算上の近道である。統計学者による直観的な認知の比喩^{[1]は、多くの心理学者の焦点を感情的または動機づけの原理から計算的または推論的原理へとシフトさせることになった。 [21]}これらの原理を調査する実証的研究から、例えば人間の認知には推論における組み込みの体系的な誤り、つまり認知バイアスがあると結論付ける人もいる。その結果、認知心理学者は、直観的な判断、一般化、数値的または確率的な計算には体系的な偏りがあるという見解を広く採用している。その結果、一般的には判断の誤りが生じ、これには（これらに限定されないが）反復的な論理的誤謬（例：連言の誤謬）、数学的処理能力の欠如、感情に動機づけられた推論の近道が含まれる。^{[22] [23] [24] [25]}社会心理学者や認知心理学者は、人間が複雑なタスクでは強力なコンピュータよりも優れたパフォーマンスを発揮できる一方で、単純で日常的な判断においては大きな欠陥があり、間違いを犯しやすいことは「逆説的」であると考えている。^[26]

この研究の多くは、ハーバート・サイモンの限定合理性と満足度に関する研究を拡張したものとして、エイモス・トヴェルスキーとダニエル・カーネマンによって行われた。^[27]トヴェルスキーとカーネマンは、不確実性の下では人々は判断において常に偏りがあると主張している。なぜなら、速度と精度のトレードオフにおいて、統計的原理からの遅い計算よりも、誤差の大きい高速で直感的なヒューリスティックに頼ることが多いからだ。 [ ^28]これらの誤りは、判断と統計的予測における受け入れられた規範的ルールとの間の体系的な相違を伴うため、「認知的錯覚」と呼ばれている。^[29]

ギゲレンツァーはこの見解を批判し、統計的予測と確率の統一された「規範理論」が存在するという誤った仮定に基づいていると主張している。彼の主張は、認知心理学者は確率論におけるアイデアと仮定の多様性、そして場合によってはそれらの相互の非互換性を無視しているというものである。^{[30] [13]}その結果、ギゲレンツァーは、多くの認知錯覚は確率論自体に違反しているのではなく、信頼度を伴う主観的確率と長期的な結果の頻度との間の実験者の混乱を伴うと主張している。^[21]コスミデスとトゥービーも同様に、異なる確率的仮定は異なるタイプの状況で多かれ少なかれ規範的かつ合理的になる可能性があり、すべての情報領域にわたって推論を行うための汎用的な統計ツールキットは存在しないと主張している。いくつかの実験のレビューでは、ギゲレンツァーを支持する結論として、彼らは^{[21] 、これまでのヒューリスティックとバイアスの実験は}生態学的に妥当な方法で問題を表現していなかったこと、そして問題を単一イベントの確率ではなく頻度で再表現すると認知錯覚を大幅に消滅させることができると結論付けている^{[13] 。}

トヴェルスキーとカーネマンはこの主張に反論し、錯覚を操作して消すことは、それが認知的なものであれ視覚的なものであれ、最初に発見された錯覚を損なうものではないと主張した。また、ギゲレンツァーは、バスケットボールのホットハンドのような錯覚的な相関関係など、頻度データから生じる認知的錯覚を無視していると指摘している。 ^[25]これは、自然周波数に変換されたデータでは修正できない錯覚的な正の自己相関の例であると彼らは指摘している。^[31]

適応主義者にとって、EMTは捕食者の回避、行為者の検出、採餌など、リスクや不確実性が存在するあらゆる情報領域での推論に適用できる。この適応合理性の見解を主張する研究者は、進化論はヒューリスティックとバイアスを、計算効率が高く生態学的に合理的な近道、または適応的エラー管理の例として新たな観点から捉えていると主張している。 ^[32]

人々はしばしばベースレート、つまり現象の確率や率に関する真の保険数理上の事実を無視し、代わりに特定の観察に不適切な量の重みを与えます。^{[33] [34]}ベイズ推論モデルでは、これは事前確率の過小評価に相当し、^[6]認知をモデル化するための規範的なベイズフレームワークの適切性に反する証拠として引用されています。^{[1] [21]}頻度表現はベースレート無視を解決でき、一部の人はこの現象を実験的なアーティファクト、つまり確率や率が直感的に考えるのが難しい数学的抽象として表現された結果であると考えています。 [ ^13]ギゲレンツァーは、個体が自然界での連続的な試行を通じて頻度を学習することを指摘し、これに対する生態学的な理由を推測しています。^[35]トヴェルスキーとカーネマンは、被験者が250回の試行で事前に指定された症状の有無に基づいて病気を予測し、各試行後にフィードバックを行った実験を指摘して、ギゲレンツァーの主張を否定している。^[36]彼らは、実験における被験者の試行頻度の定式化にもかかわらず、ベースレート無視が依然として見られたと指摘している。^[31]

認知錯覚とされるもう 1 つの一般的な例は、トヴェルスキーとカーネマンによる「リンダ問題」として知られる実験で説明されている結合の誤謬です。この実験では、参加者にリンダという人物の短い説明が提示されます。リンダは 31 歳で独身、知的で、率直で、大学で哲学を専攻し、差別と社会正義に関心があり、反核抗議に参加しています。リンダが (1) 銀行員である可能性が高いか、(2) 銀行員でフェミニストである可能性が高いかと尋ねられた参加者の 85% が、選択肢 1 が選択肢 2 よりも可能性が低いはずがないにもかかわらず、選択肢 2 と回答しました。彼らは、これは統計的に構造化された推論ではなく、代表性ヒューリスティック、つまり概念のインスタンス間の特性の類似性に基づいて確率的な推論を導き出す傾向の産物であると結論付けました。^[24]

ギゲレンツァーは、連想の誤謬は単一事象の確率に基づいており、頻度主義的アプローチでは解消されると主張した。彼と他の研究者は、連想の誤謬から生じる結論は、確固とした統計的エラーや認知的錯覚ではなく、曖昧な言語から生じることを実証した。^[37]リンダ問題の別のバージョンでは、参加者はリンダの説明に当てはまる人が100人いると伝えられ、そのうち何人が（1）銀行員で、何人が（2）銀行員でフェミニストであるかを尋ねられる。実験的に、このバージョンのタスクは連想の誤謬を排除または軽減するように見える。^{[21] [37]}

概念の構造化と一般化を脳の構造とプロセスの観点からどのように理解できるかについては、いくつかの疑問が残されている。この問題は、思考の性質に関する理論家の間での隣接する議論、特にコネクショニストモデルと思考の言語モデルの間での議論に影響されている。概念の一般化と分類は、言語学習や分類などの領域で、さまざまなコネクショニストモデル、またはニューラルネットワークでモデル化されてきた。 ^{[38] [39]}過去の事例でトレーニングした後、将来の事例を一般化することが期待される場合、純粋なコネクショニストモデルの限界を強調する人もいる。たとえば、ゲイリー・マーカスは、既存のコネクショニストモデルで一般化を行うにはトレーニングデータが完全に網羅的でなければならないと主張し、その結果、新しい観察をうまく処理できないと主張している。彼はさらに、シンボル表現と操作からなる思考の言語と、脳内のニューラルネットワークで使用される可能性のある分散処理を保持するコネクショニストモデルとの間の統合主義的観点を提唱している。^[40]

実際には、人間は少量のデータから概念的、言語的、確率的な一般化を日常的に行っています。^{[4] [41] [8] [42]}統計的推論のさまざまなツールが心を理解する上で有用であるかどうかについては議論がありますが、人間の心はどういうわけか非常に適切な予測機械であり、この現象の根底にある行動指向のプロセスは、それが何を伴うにせよ、認知の中核にあるということは一般に認められています。^{[15] [43]}確率的推論と一般化は概念やカテゴリー、言語学習において中心的な役割を果たしており、^[44]乳児研究は人間の直感的な統計ツールキットの発達軌跡を理解するためによく使用されています。

ジャン・ピアジェなどの発達心理学者は伝統的に、子どもは確率的推論や仮説検定といった一般的な認知能力を、それぞれ具体的操作段階（7～11歳）と形式的操作段階（12歳～成人）に達するまで発達させないと主張してきた。^{[45] [46]}

これは、人間が乳児期に一般化能力を持っていることを示唆する経験的証拠が増えていることと対照的である。例えば、赤と白のピンポン玉の比率の予想結果を用いた注視時間実験では、8ヶ月の乳児はサンプルが由来する集団の特性について推論しているようであり、集団レベルのデータを与えられた場合はその逆の傾向があることがわかった。^[47]他の実験でも同様に、6ヶ月と11ヶ月の乳児で確率的推論の能力があることが裏付けられているが、^[48] 4.5ヶ月の乳児ではそうではない。^[49]

これらの実験における色付きボールのパラダイムは、乳児の推論の可能性を量と割合に基づいて区別しなかったが、これはフォローアップ研究で取り上げられ、12か月の乳児は割合を理解しているようで、より起こりそうな結果を好むという動機から、利用可能な選択肢の割合の初期証拠に基づいて確率的判断を下した。^[50]観察時間タスクの有効性を批判する人々は、乳児が単一サンプル確率タスクで好みの物体を探すことを許可し、乳児は初期サンプルサイズが小さいか大きいかに関係なく、単一イベントの確率を推論できるという考えを支持した。^[51]これらの研究結果に関与した研究者は、人間は言語発達段階および正式な教育を受ける前に、統計的に構造化された推論システムを備えていると主張した。^{[47] [50]}

しかし、一般化が乳児でどのように、なぜ観察されるのかは明らかではありません。一般化は、入ってくるデータ、または頻度表現の類似点と相違点の検出と記憶から直接生じる可能性があります。逆に、一般化は、主観的な確率や信念を更新するためにデータに繰り返し条件付けされた知識ベースから始まる、汎用ベイズ推論のようなものによって生成される可能性があります。^{[52] [53]}これは、学習に関与する可能性のある統計ツールキットに関する質問と、それが乳児と子供の学習に具体的にどのように適用されるかについての質問を結び付けます。

ゴプニックは、乳児や子供の学習は、脳内の特殊な情報構造（「理論」）に基づいて作用する、一般化のための汎用メカニズムである帰納的推論の例であるという仮説を主張している。 ^[54]この見解では、乳児や子供は、ある種の科学的方法を定期的に使用し、仮説を立て、遊びを通じて実験を行い、その結果に基づいて世界についてのモデルを更新するため、本質的には原始科学者である。 ^[55]ゴプニックにとって、発達と日常生活における科学的思考と分類のこの使用は、ベイズ推論のモデルとして形式化できる。^[56]この見解の応用は、「サンプリング仮説」、つまり、子供の因果推論と確率推論の個人差は、多様な仮説セットからのランダムサンプリングと、サンプリング行動とコンテキストに基づく柔軟な一般化の産物であるという見解である。^{[57] [58]}これらの見解、特に専門理論からの一般的なベイズ更新を主張する見解は、ピアジェの理論の全面的な反証ではなく、その理論の一般性を維持し、子どもがさまざまなモデルをランダムかつ非体系的に検討した上で、可能性のある結論を選択するものとみなす後継者と考えられている。^[59]

汎用的なメカニズムの見解とは対照的に、一部の研究者は、ドメイン固有の情報構造と同様に特化した推論メカニズムの両方を主張している。^{[60] [61]}たとえば、人間は通常、条件付き確率の計算に優れているわけではありませんが、条件付き確率の計算の使用は、音声を理解可能な音節に解析する上で中心的な役割を果たしており、これは8か月という早い時期に出現する比較的単純で直感的なスキルです。 ^[62]乳児は、物体の時空間状態だけでなく、物体の特性を追跡することも得意であるようで、これらの認知システムは発達的に異なるようです。これは、それぞれが異なるタイプの情報に対応し、概念学習に応用できる、ドメイン固有の推論ツールキットとして解釈されてきました。^{[60] [63]}

乳児は形の類似点と相違点を利用して物体に関する概念を形成しますが、これは複数のパターンを伴う複数の試行に依存し、試行間に何らかの共通の性質を示します。^[64]乳児は特に12ヶ月までにこの能力に熟達するようですが、^[65]異なる概念と性質にはゲシュタルト心理学の異なる関連原理が用いられ、その多くは発達の異なる段階で現れる可能性があります。 ^[66]具体的には、乳児の分類は4.5ヶ月という早い段階で反復的で相互依存的なプロセスを含み、その中で範例（データ）とその類似点と相違点はカテゴリーの境界線を引くために重要です。^[67]これらの抽象的なルールは本質的に統計的です。なぜなら、過去の事例で特定の知覚された性質の共通の共起を伴うことがあり、将来の事例でその構造についての推論を容易にするからです。^{[68] [69]この考え方は}ダグラス・ホフスタッターとエマニュエル・サンダーによって推論されており、彼らは類推は概念特性間の類似点と相違点に依存する推論のプロセスであるため、類推と分類は基本的に、入ってくるデータから概念を整理するために使用される同じプロセスであると主張している。^[4]

乳児や幼児は、形質の量や割合だけでなく、言語や音楽などの抽象的なルールベースのシステムについても有能な一般化者です。^{[70] [71]}これらのルールは、抽象的な情報構造の「代数ルール」と呼ぶことができ、ルールシステム、つまり文法の表現です。^[72]言語については、ベイズ推論と類似性検出による一般化を作成することは、概念形成の特殊なケースとして研究者によって提唱されてきました。^{[73] [74]}乳児は、発達環境で生成された言語音の流れから抽象的かつ構造的なルールを推論し、^[75]それらのルールに基づいてより広い予測を生成することに長けているようです。^[76]

例えば、生後9ヶ月の乳児は、繰り返される音節列に珍しい音素などの意外な特徴が含まれている場合、より迅速かつ劇的に期待を更新することができます。^[77]一般的に、言葉を話せない乳児は、経験を通して訓練された文法と新しい文法を区別することができるようです。^{[78] [79]}生後7ヶ月の乳児の注視時間課題では、乳児は馴染みのある文法構造よりも馴染みのない文法構造に注意を払っているようでした。 ^[72]また、3音節列を使用した別の研究では、乳児は以前に提示された抽象的な音節構造に基づいて同様に一般化された期待を持っているように見え、乳児がより深い抽象構造を推測するために表面的な発生またはデータを使用していることを示唆しています。これは、関係する研究者による「複数の仮説[またはモデル]」の見解を支持するものと考えられました。^{[80] [81]}

アイリーン・ペッパーバーグと彼女の同僚による複数の研究は、ヨウム（Psittacus erithacus）が数字や数字のような概念を認識する能力をある程度持っており、数字の順序性と濃度を理解しているように見えることを示唆した。^{[82] [83] [84]}最近の実験では、ある程度の言語訓練と認識された物体を参照する能力があれば、確率と隠された物体の種類の比率について推論する能力もあることが示された。^[85]

実験により、好まれる食物と好まれない食物の割合について推論する際、オマキザルは順次サンプリングされたデータから推論された割合について推論することができた。^[86] アカゲザルも同様に確率的かつ順次サンプリングされたデータを使用して報酬結果について推論することができ、推論を行う際の意思決定プロセスには頭頂葉皮質の神経活動が関与しているようであった。^[87]バナナペレットとニンジンのさまざまな相対周波数差を用いた7つの一連の実験では、オランウータン、チンパンジー、ゴリラも、バナナペレットが好みの食物として確立された後、バナナペレットに有利な比率に基づいて意思決定を導いているようであった。^[88]

医学における推論、すなわち臨床推論に関する研究は、通常、医師と患者の間の認知プロセスおよび/または意思決定の結果に焦点を当てている。考慮すべき事項には、リスク評価、患者の嗜好、および証拠に基づく医学的知識が含まれる。^[89]認知レベルでは、臨床推論は抽象化、帰納的推論、演繹、および帰納的推論の相互作用に大きく依存している。^{[90]医学における直観的な「理論」または知識は、概念空間内の}プロトタイプとして、または意味ネットワークとして理解することができる。^{[91] [92]}このようなモデルは、少数の手がかりから直観的な一般化を行うための出発点として機能し、医師は医学的判断の「芸術と科学」の間でトレードオフを行う。^[93]このトレードオフは、MYCINと呼ばれる人工知能（AI）プログラムで捉えられ、医学生よりも優れた成績を収めたが、症状認識の豊富な訓練を受けた経験豊富な医師よりも優れていなかった。^{[93] [94] [95] [89]}一部の研究者は、それにもかかわらず、医師は判断において体系的なバイアスや認知的錯覚に陥りやすいと主張している（例えば、早期診断を下すための満足感、事前に診断が疑われる場合の確証バイアス）。^[89]

統計リテラシーとリスク判断は、医師と患者のコミュニケーションにおいて問題となるとされてきた。^[96]たとえば、医師はしばしば、治療を受けない場合のリスクを誇張したり、^{[97]単一の統計を肯定的または否定的に}表現することで患者のリスク認識を変えたり（例：97% の生存率と 3% の死亡率）、確率ステートメントの「参照クラス」を患者に十分に伝えなかったりする。^[98]参照クラスは確率ステートメントの対象である。たとえば、精神科医が「この薬は 30～50% の確率で性的な問題を引き起こす可能性がある」と言った場合、これは患者の 30～50% がいつかは性的な問題を抱えることを意味するのか、すべての患者が性行為の 30～50% で問題を抱えることを意味するのかは不明瞭である。^[99]

基準率無視の研究では、参加者に与えられる問題に、疾患の有病率の基準率が使用されることが多い。これらの実験では、医師と非医師は同様に基準率無視、つまり条件付き確率の計算エラーの影響を受けやすい。以下は、経験豊富な医師に与えられた実証的調査問題の例である。架空の癌の人口における有病率が0.3％で、スクリーニング検査の真陽性率が50％で偽陽性率が3％であるとする。検査結果が陽性の患者がいたとして、患者が癌にかかっている確率はどれくらいか？この質問をすると、平均14年の医療経験を持つ医師の答えは1～99％の範囲で、ほとんどの答えは47％または50％であった。（正解は5％である。）^[98]臨床的な基準率無視と条件付き確率エラーに関するこの観察は、複数の実証的研究で再現されている。^{[96] [100]}しかし、これらの割合を自然周波数として再定式化すると、同様の問題に対する医師の判断力は大幅に向上しました。^[101]