レイヴンのパラドックス

カラスのパラドックスは、ヘンペルのパラドックス、ヘンペルのワタリガラス、または稀に屋内鳥類学のパラドックスとも呼ばれ、^{[1] [2] 、ある陳述の真実性の}証拠となるものは何かという疑問から生じるパラドックスである。黒でもワタリガラスでもない物体を観察すると、直感的にはこれらの観察結果に関連性がなくても、すべてのワタリガラスが黒い可能性が正式に高まる可能性がある。

この問題は、帰納的論理と直観の間の矛盾を説明するために、1940年代に論理学者カール・グスタフ・ヘンペルによって提唱されました。^[3]

ヘンペルはこのパラドックスを仮説に基づいて説明している: ^{[4] [5]}

(1)すべてのカラスは黒い。これは含意の形で次のように表現できます。「何かがカラスであれば、それは黒い」。

対偶により、この文は次の文と同等になります。

（２）もし何かが黒くなければ、それはカラスではない。

(2) が真であるすべての状況では、(1) も真です。同様に、(2) が偽であるすべての状況 (つまり、黒くはないがカラスである何かが存在する世界が想像される場合) では、(1) も偽です。

「すべてのカラスは黒い」などの一般的なステートメントがある場合、その一般的なクラスの特定の観察可能なインスタンスを参照する同じステートメントの形式は、通常、その一般的なステートメントの証拠を構成すると見なされます。たとえば、

（３）私のペットのカラスは黒いです。

これは、すべてのカラスが黒いという仮説を裏付ける証拠です。

同じプロセスを文（2）に適用すると、パラドックスが発生します。青リンゴを見ると、次のことがわかります。

（４）この青リンゴは黒くないし、カラスでもありません。

同じ論理で、この文は (2)黒くないものはカラスではないことの証拠になります。しかし、(上記のように) この文は論理的には (1)すべてのカラスは黒いことと同等なので、青リンゴを見ることはすべてのカラスが黒いという考えを支持する証拠になります。この結論は、リンゴを見ることでカラスに関する情報が得られたことを意味するため、逆説的に思えます。

ニコドの基準によれば、カラスの観察のみが、すべてのカラスが黒いかどうかという見解に影響を与えるべきである。黒いカラスの観察が増えればその見解が支持され、白いカラスや有色のカラスの観察はそれに反し、カラスでないカラスの観察はいかなる影響も与えないはずである。^[6]

ヘンペルの同値条件は、命題Xが別の命題Yを支持する証拠を提供する場合、XはYと論理的に同値である任意の命題を支持する証拠も提供するというものである。^[7]

このパラドックスは、ニコの基準とヘンペルの同値条件が相互に矛盾していることを示している。このパラドックスを解決するには、少なくとも以下の1つを拒否する必要がある: ^[8]

1. 影響のない否定的な例 (!PC)
2. 同値条件（EC）、または、
3. 正例による検証 (NC)。

満足のいく解決策は、なぜ素朴にパラドックスがあるように見えるのかについても説明する必要があります。パラドックス的な結論を受け入れる解決策は、直感的には偽であるとわかっているものの (PC) と混同されやすい命題を提示することでこれを実現できます。一方、(EC) または (NC) を拒否する解決策は、直感的には真であるとわかっているものの (EC) または (NC) と混同されやすい命題を提示する必要があります。

このパラドックスの結論は直感に反しているように思われるが、いくつかのアプローチでは、（有色の）非ワタリガラスの観察が、実際には（ワタリガラスの普遍的な黒さに関する）仮説を裏付ける有効な証拠となり得ると認めている。

ヘンペル自身もこの逆説的な結論を受け入れ、結果が逆説的に見える理由は、我々が事前情報を持っているからであり、その事前情報がなければ、黒くない非ワタリガラスを観察することは、すべてのワタリガラスが黒いという証拠を実際に提供することになる、と主張した。

彼はこれを「すべてのナトリウム塩は黄色く燃える」という一般化の例で説明し、誰かが純粋な氷を黄色に変色しない無色の炎の中に持ったときに起こる観察について考えるように求めています。^{[4] ：19–20}

この結果は、「黄色く燃えないものはナトリウム塩ではない」という主張を裏付けるものであり、したがって、等価条件のおかげで、元の定式化を裏付けるものとなる。なぜこれが逆説的であると感じられるのか。その理由は、以前の状況を、化学組成がまだ不明な物体を炎の中に入れたが黄色に変わらず、その後の分析でナトリウム塩が含まれていないことが判明した実験の場合と比較すると明らかになる。この結果は、仮説に基づいて予想されたものであることに疑いの余地なく同意するはずである...したがって、ここで得られたデータは、仮説を裏付ける証拠を構成する...

一見矛盾しているように見える確認のケースでは、与えられた証拠 E のみと仮説 H との関係を実際に判断しているわけではないことがよくあります... 私たちは暗黙のうちに、E と私たちがたまたま利用できる追加情報と組み合わせた証拠の集合と H の比較を導入します。私たちの例では、この情報には、(1) 実験で使用した物質は氷であること、および (2) 氷にはナトリウム塩が含まれていないことという知識が含まれます。この追加情報が既知であると仮定すると、もちろん、実験の結果は検討中の仮説に何の力も加えることができません。しかし、この追加知識への暗黙の参照を注意深く避ければ... 矛盾は消えます。

最もよく提案されている解決策の 1 つは、青リンゴの観察はすべてのカラスが黒いという証拠を提供するという結論を受け入れつつ、カラスの数と黒くない物体の数の大きな相違のため、提供される確認の量は非常に少ないと主張することです。この解決策によると、青リンゴの観察によって提供される証拠の量は実際にはゼロではなく非常に少ないのに、直感的にゼロであると推定するため、結論は矛盾しているように見えます。

1960年にIJグッドが提示したこの議論^[9]はおそらく最もよく知られており、それ以来この議論のバリエーションは人気を博してきました^[10]が、この議論は1958年に提示され^[11]、議論の初期の形は1940年に早くも登場していました^[12]。

グッドの議論は、物体の集合の中のカラスはすべて黒いという仮説を支持するために、黒いカラスまたは白い靴の観察によって提供される証拠の重みを計算することです。証拠の重みはベイズ係数の対数であり、この場合、ベイズ係数は単に、観察が行われたときに仮説のオッズが変化する係数です。議論は次のようになります。

...いつでも見られる可能性がある物体があり、その物体はカラスで、黒いもので、物体はそれぞれ見られる確率を持っていると仮定します。黒くないカラスがいるという仮説を とし、仮説は最初は等確率であると仮定します。すると、黒いカラスを偶然見た場合、 に有利なベイズ係数は次のようになります。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle r}$${\displaystyle b}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle H_{1},H_{2},...,H_{r}}$${\displaystyle H_{0}}$

$${\displaystyle {\tfrac {r}{N}}{\Big ></\text{平均}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$$

つまり、存在するカラスの数が多ければ約2です。しかし、白い靴を見るかどうかの要因は

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\tfrac {Nb}{N}}{\Big ></\text{average}}\left({\tfrac {Nb-1}{N}},{\tfrac {Nb-2}{N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {Nbr}{N}})\right)\\\ =\ {\frac {Nb}{\max \left(Nb-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\ ,\ {\tfrac {1}{2}}(Nb-1)\right)}}\end{array}}}$$

そして、が に比べて大きい場合 、これは を約だけ超える。したがって、白い靴の目撃によって提供される証拠の重みは正であるが、カラスの数が黒以外の物体の数に比べて少ないことがわかっている場合は小さい。^[13]${\displaystyle r/(2N-2b)}$${\displaystyle Nb}$${\displaystyle r}$

この解決法とその変種の提唱者の多くはベイズ確率の支持者であり、現在では一般的にベイズ解決法と呼ばれていますが、千原^{[14]が指摘するように、「}ベイズ解決法などというものは存在しません。ベイズ主義者がベイズ技法を使用して提唱したさまざまな「解決法」があります。」ベイズ技法を使用した注目すべきアプローチ（そのうちのいくつかは!PCを受け入れ、代わりにNCを拒否します）には、Earman、^[15]、 Eells、^[16]、 Gibson、^[17]、 Hosiasson-Lindenbaum、^[12]、 HowsonとUrbach、^[18] 、 Mackie、^[19]、およびHintikka ^[20]が含まれます。Hintikkaは、彼のアプローチは「同じパラドックスのいわゆる「ベイズ解決法」よりもベイズ的である」と主張しています。カルナップの帰納的推論理論を利用するベイジアンアプローチには、ハンバーグ^[21]、マーハー^[8]、フィテルソン＆ホーソーン^[10]などがある。ヴラナス^[22]は混乱を避けるために「標準ベイジアンソリューション」という用語を導入した。

マハー^[8]は逆説的な結論を受け入れ、それを洗練させている。

カラスでない鳥（どんな色でも）は、すべてのカラスが黒であることを証明します。

• （i）この物体がカラスではないという情報は、この物体が一般化に対する反例である可能性を排除し、
• （ii）観測されていない物体がカラスである確率を減らし、それによってそれらが一般化に対する反例である確率を減らす。

(ii) に到達するために、彼はカルナップの帰納的確率理論を援用します。これは (ベイズの観点から) 帰納を自然に実装する事前確率の割り当て方法です。カルナップの理論によると、証拠が観察された 後にオブジェクト が述語 を持つ事後確率 は次のようになります。${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}}$$

ここで、 は述語 を持つ初期確率、は（利用可能な証拠 に基づいて）検査されたオブジェクトの数、 は述語 を持つことが判明した検査されたオブジェクトの数、 は一般化に対する抵抗を測定する定数です。 ${\displaystyle P(Fa)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n_{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda}$

が 0 に近い場合、述語 を持つことが判明したオブジェクトを 1 回観測した後、 は 1 に非常に近くなります。一方、が よりもはるかに大きい場合、述語 を持つ観測オブジェクトの割合に関係なく、 はに非常に近くなります。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle P(Fa)}$${\displaystyle F}$

このカルナップ流のアプローチを用いて、マーハーは、私たちが直感的に（そして正しく）誤りだと分かっているものの、逆説的な結論と混同しやすい命題を特定しています。問題の命題は、カラス以外の鳥を観察するとカラスの色についてわかるというものです。これは直感的には誤りであり、カルナップの帰納法の理論によれば誤りですが、カラス以外の鳥を観察すると（同じ理論によれば）、カラスの総数の推定値が減り、その結果、すべてのカラスは黒いという規則に対する反例の推定数が減ります。

したがって、ベイジアン-カルナピアンの観点からは、カラスでない鳥の観察はカラスの色について何も教えてくれませんが、カラスの普及状況については教えてくれ、黒くない可能性のあるカラスの数の推定値を減らすことで「すべてのカラスは黒い」という説を裏付けます。

パラドックス全般、特にベイジアン アプローチに関する議論の多くは、背景知識の関連性に集中しています。驚くべきことに、Maher ^{[8] は}、背景知識の可能な構成の大規模なクラスについて、黒くない非ワタリガラスの観察は、黒いワタリガラスの観察とまったく同じ量の確認を提供することを示しています。彼が検討する背景知識の構成は、サンプル命題、つまり、それぞれが単一の述語を単一の個体に帰属させ、2 つの原子命題が同じ個体に関係しない、原子命題の連言である命題によって提供されるものです。したがって、「A は黒いワタリガラスで、B は白い靴です」という形式の命題は、「黒いワタリガラス」と「白い靴」を述語と見なすことによってサンプル命題と見なすことができます。

マーハーの証明は、黒くない非ワタリガラスの観察は黒いワタリガラスの観察よりもはるかに証拠が少ないというベイズ的議論の結果と矛盾しているように見える。その理由は、グッドらが使用する背景知識がサンプル命題の形で表現できないためである。特に、標準的なベイズ的アプローチの変形では、ワタリガラスの総数、黒くない物体および/または物体の総数が既知の量であると仮定することが多い（グッドが上記の議論で行ったように）。マーハーは、「黒くない物体がワタリガラスより多いと考える理由は、それがこれまで観察してきたものについて真実であったためである。この種の証拠はサンプル命題で表すことができる。しかし…背景証拠として任意のサンプル命題が与えられれば、黒くない非ワタリガラスは黒いワタリガラスと同じくらい強く A を裏付ける…したがって、私の分析は、このパラドックスに対する応答（つまり、標準的なベイズ的応答）は正しくないことを示唆している」とコメントしている。

フィテルソンとホーソーン^[10]は、黒くない非カラスの観察が黒いカラスの観察よりも証拠が少ない条件を調べた。彼らは、がランダムに選択されたオブジェクトであり、がオブジェクトが黒であるという命題であり、がオブジェクトがカラスであるという命題である場合、条件は次のようになることを示した。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle バ}$${\displaystyle ラ}$

$${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P(Ra|H)}}}$$

黒くない非カラスの観察は、黒いカラスの観察よりも証拠が少なくなるという証拠として十分です。ここで、命題上の線はその命題の論理的否定を示します。

この条件では、提供された証拠の差がどの程度大きいかはわかりませんが、同じ論文の後の計算では、黒いカラスによって提供される証拠の重みは、黒くない非カラスによって提供される証拠の重みを約 だけ上回っていることが示されています。これは、すべてのカラスが黒いわけではないという仮説を前提として、色のわからないカラスが黒いことが発見されたときに提供される追加情報の量 (対数の底が 2 の場合のビット単位) に等しくなります。 ${\displaystyle -\log P(Ba|Ra{\overline {H}})}$

フィテルソンとホーソーン^[10]は次のように説明している。

通常の状況では、は 0.9 または 0.95 付近になる可能性があり、したがって1.11 または 1.05 付近になる可能性もあります。したがって、黒いカラスの 1 羽のインスタンスは、黒くない非カラス 1 羽のインスタンスに比べて、それほど多くの支持をもたらさないように見えるかもしれません。ただし、妥当な条件下では、一連のインスタンス(つまり、n 羽の黒いカラスと n 羽の黒くない非カラスの比較) によって、 程度の尤度比の比が得られることが示され、 が大きい場合は大幅に増大します。${\displaystyle p=P(Ba|Ra{\overline {H}})}$${\displaystyle 1/p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (1/p)^{n}}$${\displaystyle n}$

著者らは、その分析は黒くない非ワタリガラスが提供する証拠は極めて少ないという仮定と完全に一致していると指摘しているが、それを証明しようとはしていない。著者らは単に、黒いカラスが提供する証拠の量と黒くない非ワタリガラスが提供する証拠の量の差を計算しているだけである。

このパラドックスを解決するためのアプローチの中には、帰納的ステップに焦点を当てているものがあります。これらのアプローチでは、特定の事例 (たとえば、1 羽の黒いカラス) の観察が、一般的な仮説 (たとえば、カラスは常に黒い) に対する信頼性を必然的に高める証拠であるかどうかが争点となっています。

グッド^[23]は、黒いカラスの観察によってすべてのカラスが黒いという確率 が減少する背景知識の例を示している。

我々が 2 つの世界のうちのどちらかにいると仮定し、検討中の仮説 H は、我々の世界にいるすべてのワタリガラスが黒いというものである。我々は、一方の世界には 100 羽の黒いワタリガラスがいて、黒くないワタリガラスはおらず、他の鳥が 100 万羽いることを事前に知っている。もう一方の世界には、1,000 羽の黒いワタリガラス、1 羽の白いワタリガラス、および他の鳥が 100 万羽いることを事前に知っている。我々の世界にいるすべての鳥から、等確率で 1 羽の鳥がランダムに選択される。それは黒いワタリガラスであることが判明する。これは、我々が第 2 の世界にいて、そこではすべてのワタリガラスが黒くないという強い証拠である。

グッドは、白い靴は「レッドヘリング」であると結論付けています。黒いカラスでさえ、すべてのカラスは黒いという仮説に反する証拠となることがあるため、白い靴の観察がその仮説を裏付けることは驚くべきことではなく、注目に値しません。グッドによると、ニコドの基準は誤りであり、したがって逆説的な結論は導き出されません。

ヘンペルはこれをパラドックスの解決策として拒否し、「c はカラスで黒い」という命題は「それ自体で、他のいかなる情報も参照せずに」考慮されなければならないと主張し、「白い靴の場合のようなパラドックスの出現は、部分的にはこの格言を守らなかったことに起因していることが、私のマインド誌の記事のセクション 5.2(b) で強調されている」と指摘した。^[24]

そこで生じる疑問は、このパラドックスは、（ヘンペルが示唆するように）背景情報が全くない状況で理解されるべきなのか、それともカラスや黒い物体に関して私たちが実際に持っている背景情報の状況で理解されるべきなのか、あるいは背景情報のあらゆる可能な構成に関して理解されるべきなのか、ということです。

グッドは、背景知識の構成によっては、ニコドの基準が誤りであることを示した（ただし、「帰納的に支持する」を「確率を高める」と同等とみなす場合。下記参照）。グッドの例とは非常に異なる実際の知識の構成に関しては、ニコドの基準が依然として正しい可能性があり、逆説的な結論に達する可能性が残っている。一方、ヘンペルは、背景知識自体が誤解を招くものであり、完全な無知の条件に関して帰納法を検討すべきだと主張している。

マーハーは、提案した解決策の中で、「すべてのカラスは黒い」という命題は、カラスが存在しない可能性が高いときに高い確率で存在するという事実を暗に利用した。グッドは、ニコドの基準は背景情報がない場合でも成り立つと理解されるべきだというヘンペルの主張に答えるために、この事実を以前にも利用していた。^[25]

... 形式論理、英語の構文、主観的確率を扱える神経回路が組み込まれた、無限に知能の高い新生児を想像してみてください。ワタリガラスを詳細に定義した後、ワタリガラスが存在する可能性は極めて低く、したがってすべてのワタリガラスが黒である可能性は極めて高い、つまりそれは真実である、と主張するかもしれません。「一方で」と彼は続けて主張します。「ワタリガラスが存在する場合、さまざまな色をしている可能性は十分にあります。したがって、黒いワタリガラスが存在することさえ発見したとしても、当初考えていたよりも可能性は低いと考えるでしょう。」${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

グッドによれば、これは完全な無知の状態に合理的に期待できる最も近いものであり、ニコドの条件は依然として誤りであるように思われる。マーハーは、カルナップの帰納法の理論を用いて、カラスが1羽いる場合は、おそらく多数いるという概念を形式化することで、グッドの議論をより正確にした。^[26]

マーハーの議論は、ちょうど 2 つの物体からなる宇宙を想定しており、それぞれの物体がカラスである可能性は非常に低く (1000 分の 1 の確率)、黒い可能性もかなり低い (10 分の 1 の確率)。カーナップの帰納法の公式を使用して、マーハーは、2 つの物体のうち 1 つが黒いカラスであることが判明すると、すべてのカラスが黒い確率が 0.9985 から 0.8995 に減少することを発見した。

マーハーは、逆説的な結論が真実であるだけでなく、背景知識（宇宙の物体の数は 2 であり、カラスは黒いものよりも出現する可能性が低いという知識を除く）がなければニコドの基準は誤りであると結論付けています。

クワイン^[27]は、このパラドックスの解決法は、彼が自然種と呼ぶ特定の述語が帰納法に関して特別な地位を持っていることを認識することにあると主張した。これは、ネルソン・グッドマンの述語グルーの例で説明できる。ある物体が（例えば）2024年より前は青で、それ以降は緑である場合、その物体はグルーである。明らかに、2024年より前は青だった物体がそれ以降も青のままであると予想されるが、2024年より前にグルーであると判明した物体が2024年以降も青であるとは予想されない。なぜなら、2024年以降は緑になるからである。クワインの説明によれば、「青」は自然種であり、帰納法に使用できる特権的な述語であるが、「グルー」は自然種ではなく、これを使って帰納法を行うとエラーが生じる。

これはパラドックスの解決を示唆しています。ニコドの基準は「青」や「黒」などの自然種には当てはまりますが、「グルー」や「非カラス」などの人工的に作られた述語には当てはまりません。この解決によると、ニコドの基準は実際には自然種にのみ適用されるのに、暗黙的にすべての述語に適用されると解釈するため、パラドックスが発生します。

特定の述語を他の述語よりも優先する別のアプローチは、ヒンティッカによって採用されました。^{[20]ヒンティッカは、カラスと黒いものの}相対的頻度に関する知識を利用しない、パラドックスに対するベイジアンアプローチを見つけようとしました。相対的頻度に関する議論は、タイプAのオブジェクトの観察からなる証拠がタイプA以外のオブジェクトについて学習する目的で無関係であると認識されていることを常に説明できるわけではないと彼は主張しています。

彼の議論は、「カラス」や「黒」以外の述語を使ってパラドックスを言い換えることで説明できる。例えば、「男性は全員背が高い」は「背の低い人は全員女性」と同じであり、ランダムに選ばれた人が背の低い女性だと観察すれば、男性は全員背が高いという証拠になるはずだ。背の低い人よりも男性の数が劇的に少ないことを示す背景知識が不足しているにもかかわらず、私たちは依然としてこの結論を拒否する傾向がある。ヒンティッカの例は次の通り。「『物質的物体は無限に分割できない』のような一般化は、自分の談話世界における物質的実体と非物質的実体の相対的頻度についてどう考えているかに関係なく、非物質的実体に関する質問にはまったく影響されないようだ。」^[20]

彼の解決策は、述語の集合に順序を導入することです。論理体系にこの順序が備わっていると、「すべてのカラスは黒い」などの一般化の範囲を制限して、カラスにのみ適用し、黒くないものには適用しないようにすることができます。なぜなら、この順序はカラスを黒くないものより優先させるからです。彼は次のように言います。

「すべてのカラスは黒い」という一般化の範囲がカラスに限定されると仮定することが正当化されるならば、これは、事実の状況に関して私たちが頼りにできる外部情報があるということを意味する。この情報は、状況に対する私たちの自発的な見方を色づけるが、帰納的状況の通常の扱いには組み込まれていないという事実から、パラドックスが生じる。^[20]

このパラドックスを解決するためのアプローチの中には、ヘンペルの同値条件を否定するものがあります。つまり、黒くない物体はすべてカラスではないという主張を裏付ける証拠が、必ずしも「すべてのカラスは黒い」などの論理的に同値な主張を裏付けるとは考えないかもしれません。

シェフラーとグッドマン^{[28]は、科学的仮説は決して実際には確認されず、単に偽であると証明されるだけであるという}カール・ポパーの見解 を取り入れたパラドックスへのアプローチをとった。

このアプローチは、黒いカラスの観察が「すべてのカラスは黒い」ことを証明するものではなく、「どのカラスも黒くない」という反対の仮説を偽であると指摘することから始まります。一方、黒くない非カラスは、「すべてのカラスは黒い」と「どのカラスも黒くない」の両方と一致します。著者は次のように述べています。

... すべてのカラスは黒いという主張は、黒いカラスの証拠によって単に満たされるのではなく、そのような証拠によって支持されます。なぜなら、黒いカラスは、すべてのカラスは黒くないという反対の主張を否定する、つまりその否定を満たすからです。言い換えれば、黒いカラスは、すべてのカラスは黒くないという仮説を満たすのではなく、満たします。したがって、すべてのカラスは黒いことを選択的に確認します。

黒いカラスは「すべてのカラスは黒い」とは選択的に確認しますが、「黒くないものはすべてカラスではない」とは確認しないため、選択的確認は同値条件に違反します。

シェフラーとグッドマンの選択的確認の概念は、「...を支持する証拠を提供する」という解釈の一例であり、「...の確率を高める」とは一致しません。これは、論理的に同等の命題は常に同じ確率を持つ必要があるため、同等条件を拒否するすべての解決の一般的な特徴である必要があります。

黒いカラスの観察が「すべてのカラスは黒い」という命題の確率を、「すべての黒くないものはカラスではない」という確率にまったく同じ変化をもたらさずに増加させることは不可能である。観察が前者を帰納的に支持し、後者を帰納的に支持しない場合、「帰納的に支持する」は命題の確率の変化以外の何かを指すはずである。抜け穴として考えられるのは、「すべて」を「ほぼすべて」と解釈することである。「ほぼすべてのカラスは黒い」は「ほぼすべての黒くないものはカラスではない」と同じではなく、これらの命題は非常に異なる確率を持つ可能性がある。^[29]

これは、確率論と帰納的推論の関係というより広範な問題を提起する。カール・ポパーは、確率論だけでは帰納を説明できないと主張した。彼の議論では、仮説 を、証拠 によって演繹的に導かれる部分と、別の部分に分割する。これは 2 つの方法で行うことができる。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

まず、分割について考えてみましょう。^[30]

$${\displaystyle H=A\ and\ B\ \ \ \ \ \ E=B\ and\ C}$$

ここで、、およびは確率的に独立しています。以下同様です。H と E のこのような分割が可能になるために必要な条件は、つまり がによって確率的にサポートされることです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$${\displaystyle P(H|E)>P(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

ポパーの観察によれば、から支持される の部分はから演繹的に導かれるが、から演繹的に導かれない の部分はから全く支持されない、つまり となる。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P(A|E)=P(A)}$

第二に、分割：^[31]

$${\displaystyle H=(H\ or\ E)\ and\ (H\ or\ {\overline {E}})}$$

はに分離します。ポパーが言うように、これは「から [演繹的に] 続く の(または の内容の)論理的に最も強い部分」であり、 は「を超えるものすべてを含む」と彼は言います。彼は続けます: ${\displaystyle H}$${\displaystyle (H\ or\ E)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

この場合、 は、が存在する場合にを得るために単独で必要となる因子 を支持するでしょうか? 答えは「いいえ」です。決して支持しません。実際、または のいずれか (これらは興味のない可能性です) でない限り、は反支持します。... ${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$${\displaystyle P(H|E)=1}$${\displaystyle P(E)=1}$

この結果は、確率計算の帰納的解釈を完全に打ち砕くものです。すべての確率的裏付けは純粋に演繹的です。つまり、仮説のうち証拠によって演繹的に導かれない部分は、常に証拠によって強く反証されます...確率的裏付けというものは存在します。帰納的裏付けというものさえ存在するかもしれません (私たちはそうは思いませんが)。しかし、確率計算は、確率的裏付けが帰納的裏付けではあり得ないことを明らかにしています。

仮説検定の正統派ネイマン・ピアソン理論は、仮説にどのような確率を割り当てるかではなく、仮説を受け入れるか拒否するかを決定する方法を検討します。この観点からすると、「すべてのカラスは黒い」という仮説は、観察を重ねるにつれて確率が 1 に近づくにつれて徐々に受け入れられるのではなく、すでに収集されたデータを評価した結果として、1 回のアクションで受け入れられます。ネイマンとピアソンは次のように述べています。

それぞれの仮説が真か偽かを知ることを期待せずに、私たちはそれらに関する私たちの行動を規制する規則を探し、それに従うことで、長い目で見れば、あまり頻繁に間違えないことを保証することができます。^[32]

このアプローチによれば、仮説の確率に何らかの値を割り当てる必要はありませんが、受け入れるか拒否するかを決定する際に、仮説が与えられた場合、または競合する仮説が与えられた場合のデータの確率を必ず考慮する必要があります。仮説を受け入れるか拒否するかには、誤りのリスクが伴います。

これは、仮説に事前確率を割り当て、観測データに照らして修正して仮説の最終的な確率を得ることを必要とするベイズ的アプローチとは対照的です。ベイズ的フレームワークでは、仮説は受け入れられたり拒否されたりせず、代わりに確率が割り当てられるため、エラーのリスクはありません。

正統的な観点からこのパラドックスの分析が行われ、他の洞察の中でも特に等価条件の否定につながりました。

すべての P は Q であるという仮説を受け入れながら、逆説、つまりすべての非 Q は非 P であるという仮説を棄却することはできないことは明らかである。しかし、ネイマン-ピアソンの検定理論では、「すべての P は Q である」という検定は必ずしも「すべての非 Q は非 P である」という検定ではない、またはその逆であることは容易にわかる。「すべての P は Q である」という検定は、すべての P は Q である、という形式の何らかの代替統計仮説を参照する必要があるが、「すべての非 Q は非 P である」という検定は、すべての非 Q は非 P である、という形式の何らかの統計代替仮説を参照する必要がある。しかし、これら 2 つの可能な代替案のセットは異なる... したがって、その逆説の検定がなくても、の検定を行うことができる。^[33]${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle H}$

以下の命題はすべて互いに意味を成します。「すべての物体は黒色であるか、またはカラスではない」、「すべてのカラスは黒い」、「すべての黒色でない物体はカラスではない」。したがって、定義により、これらは論理的に同等です。ただし、3 つの命題はドメインが異なります。最初の命題は「すべての物体」について述べており、2 番目の命題は「すべてのカラス」について述べています。

最初の命題は、量化のドメインが制限されていない（「すべてのオブジェクト」）唯一の命題であるため、これは一階述語論理で表現できる唯一の命題です。これは論理的に次の命題と同等です。

$${\displaystyle \forall \ x,Rx\ \rightarrow \ Bx}$$

そしてまた

$${\displaystyle \forall \ x,{\overline {Bx}}\ \rightarrow \ {\overline {Rx}}}$$

ここで、 は物質的な条件を示しており、これによれば、「If then 」は「または」を意味すると理解できます。${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

複数の著者は、物質的含意は「ならば」の意味を完全には捉えていないと主張している（物質的含意のパラドックスを参照）。「すべてのオブジェクト について、は黒いか、またはカラスではない」は、カラスがいないときに真である。このため、「すべてのカラスは黒い」はカラスがいないときに真であるとみなされる。さらに、グッドとマーハーがニコッドの基準を批判するために使用した議論（上記の § グッドの赤ちゃんを参照）は、この事実、つまり「すべてのカラスは黒い」はカラスがいない可能性が高いときに高い確率で起こるという事実に依存していた。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

カラスがいないのに、すべてのカラスは黒いと言うのは、空虚な発言です。それは何の意味もありません。「すべてのカラスは白い」という発言は、この発言が何らかの真実性や関連性を持つと考えられるなら、同様に関連性があり、真実です。

このパラドックスに対するアプローチの中には、「ならば」と「すべては」を解釈する別の方法を見つけようとするものもあり、その場合、「すべてのカラスは黒い」と「黒くないものはすべてカラスではない」の間の同等性を排除することになる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

そのようなアプローチの1つは、多値論理を導入することであり、それによれば「If then 」は真理値を持ち、が偽の場合には「不確定」または「不適切」を意味する。 ^[34]このようなシステムでは、対置は自動的には許可されない。「If then 」は「If then 」と同等ではない。したがって、「すべてのカラスは黒い」は「黒くないものはすべてカラスではない」と同等ではない。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {B}}}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

このシステムでは、対置が発生すると、関係する条件文の様相が、直説法（「そのバターが32 °C に加熱されていたら溶けていた」）から反事実法（「そのバターが32 °C に加熱されていたら溶けていただろう」）に変わります。この議論によれば、黄色い牛がワタリガラスについて教えてくれると結論付けるために必要な同等性が失われます。

正しい文法的用法では、対偶の議論は完全に直説法で述べられるべきではありません。例:

このマッチを削れば火がつくという事実から、火がつかないなら削られていないということになります。

ぎこちないですね。こう言うべきです。

このマッチを削れば火がつくという事実から、火がつかなければ傷がつけられなかったということになります。...

矛盾の法則のこの解釈がヘンペルの確認のパラドックスにどのような影響を与えるのか疑問に思う人もいるかもしれない。「もしカラスなら黒い」は「もし黒くなければカラスではない」と同義である。したがって、後者を確認するものは何でも、等価条件により前者を確認するはずである。確かにそうだが、黄色い牛は「すべてのカラスは黒い」の確認には依然として関係ない。なぜなら、科学では確認は予測によって達成され、予測は直説法で適切に述べられるからである。反事実を確認するものは何かと問うことは無意味である。^[34]${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

いくつかの評論家は、「すべてのカラスは黒い」という命題と「すべての黒くないものはカラスではない」という命題は、仮説を検証するための異なる手順を示唆していると指摘している。例えばグッドは次のように書いている。^[9]

命題として、この 2 つのステートメントは論理的に同等です。しかし、実験者に対する心理的影響は異なります。すべてのカラスが黒いかどうかをテストするように求められた場合、実験者はカラスを探して、それが黒いかどうかを判断するでしょう。しかし、すべての黒以外のものがカラスではないかどうかをテストするように求められた場合、実験者は黒以外の物体を探して、それがカラスかどうかを判断するかもしれません。

最近では、「すべてのカラスは黒い」と「すべての黒くないものはカラスではない」は受け入れられた場合に異なる効果を持つ可能性があることが示唆されています。^[35]この議論は、カラスと黒い物体の総数または発生率が不明であるが推定されている状況を考慮しています。「すべてのカラスは黒い」という仮説が受け入れられると、議論によれば、黒い物体の推定数は増加しますが、カラスの推定数は変化しません。

これは、カラスと黒い物体に関する同一の情報を持ち、カラスと黒い物体の数についても同一の推定値を持つ 2 人の状況を考えることで説明できます。具体的には、物体が全部で 100 個あり、関係者が入手できる情報によると、各物体がカラスでない可能性もカラスである可能性も同じであり、黒い可能性も黒でない可能性も同じであると仮定します。

$${\displaystyle P(Ra)={\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}}$$

そして、命題は異なるオブジェクトに対して独立している、などとなります。すると、カラスの推定数は 50 羽、黒いものの推定数は 50 羽、黒いカラスの推定数は 25 羽、黒くないカラスの推定数 (仮説に対する反例) は 25 羽となります。 ${\displaystyle Ra,\ Rb}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

1 人が「すべてのカラスは黒い」という仮説の統計的検定 (たとえば、ネイマン ピアソン検定または累積された証拠の重みとしきい値との比較) を実行し、もう 1 人が「すべての黒以外の物体はカラスではない」という仮説を検定します。簡単にするために、検定に使用される証拠は、ここで扱われる 100 個の物体の集合とは無関係であると仮定します。最初の人が「すべてのカラスは黒い」という仮説を受け入れると、議論によれば、以前は色が疑わしかった約 50 個の物体 (カラス) が現在黒であると考えられ、残りの物体 (カラスではないもの) については何も異なる考えはありません。したがって、彼は黒いカラスの数を 50 羽、黒い非カラスの数を 25 羽、黒以外の非カラスの数を 25 羽と推定する必要があります。これらの変更を指定することにより、この議論は「すべてのカラスは黒い」のドメインをカラスに 明示的に制限します。

一方、2 番目の人が「黒以外の物体はすべてカラスではない」という仮説を受け入れると、それぞれがカラスであるかどうか不明だった約 50 個の黒以外の物体は、カラスではないと考えられるようになります。同時に、残りの約 50 個の物体 (黒い物体) については、何も異なることは考えられません。したがって、彼は黒いカラスの数を 25 羽、黒い非カラスの数を 25 羽、黒以外の非カラスの数を 50 羽と推定することになります。この議論によれば、2 人の人々は異なる仮説を受け入れた後に推定値について意見が一致しないため、「すべてのカラスは黒い」を受け入れることは、「黒以外の物体はすべてカラスではない」を受け入れることと同義ではありません。前者を受け入れることは、より多くのものを黒であると推定することを意味し、後者を受け入れることは、より多くのものをカラスではないと推定することを意味します。それに応じて、前者は証拠として黒いカラスを必要とし、後者は証拠として黒くないものを必要とし、それがカラスではないと判明する、という議論が展開される。^[35]

多くの著者は、「すべては」という形式の命題は、であるオブジェクトが存在することを前提としていると主張している。^[36]この分析は、レイヴンのパラドックスに適用されている。^[37]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

... : 「すべてのカラスは黒い」と: 「すべての黒くないものはカラスではない」は、存在の前提が異なるため、厳密には同等ではありません。さらに、と は同じ規則性 (黒くないカラスの非存在) を記述していますが、論理形式が異なります。2 つの仮説は意味が異なり、記述する規則性をテストするための手順も異なります。${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

修正された論理では、前提演算子「*」を使用して存在の前提を考慮することができます。たとえば、

$${\displaystyle \forall \ x,\ *Rx\rightarrow Bx}$$

この例では、存在すると想定されているのはカラスであり、黒以外の物体ではないことを示すと同時に、「すべてのカラスは黒い」と表すことができます。

...各仮説の論理形式は、推奨される裏付け証拠の種類に関してそれを区別する。各仮説の真である可能性のある置換インスタンスは、異なるタイプのオブジェクトに関係する。2 つの仮説が異なる種類のテスト手順を組み込んでいるという事実は、異なる述語に演算子「*」を接頭辞として付けることによって、形式言語で表現される。したがって、前提演算子は関連性演算子としても機能する。「すべてのカラスは黒い」に組み込まれたテスト手順に関連するオブジェクトにはカラスだけが含まれるため、では「カラスはカラスである」という述語に接頭辞が付けられている。「すべての黒くないものはカラスではない」に組み込まれたテスト手順に関連するオブジェクトには黒くないものだけが含まれるため、では「黒くない」という述語に接頭辞が付けられている。...フレーゲの用語を使用すると、前提が成り立つときはいつでも、2 つの仮説は同じ指示対象(真理値) を持ちますが、意味が異なります。つまり、その真理値を決定する 2 つの異なる方法を表現します。^[37]${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{2}}$

• 連想の誤謬
• ベイズ認識論
• ブラックスワン理論
• パラドックスのリスト

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