事前確率

不確実な量の事前確率分布は、単に事前分布と呼ばれることが多く、何らかの証拠が考慮される前のその量の想定される確率分布です。たとえば、事前分布は、将来の選挙で特定の政治家に投票する有権者の相対的な割合を表す確率分布である可能性があります。未知の量は、モデルのパラメータまたは観測可能な変数ではなく潜在変数である可能性があります。

ベイズ統計学では、ベイズの法則は、新しい情報で事前分布を更新して事後確率分布を得る方法を規定します。事後確率分布とは、新しいデータが与えられた場合の不確実な量の条件付き分布です。歴史的に、事前分布の選択は、同じファミリーの扱いやすい事後分布になるように、与えられた尤度関数の共役族に制限されることがよくありました。しかし、マルコフ連鎖モンテカルロ法が広く利用できるようになったため、これはあまり問題ではなくなりました。

事前分布を構築する方法は多数ある。^[1]場合によっては、事前分布は過去の情報、例えば以前の実験から決定される。事前分布は、経験豊富な専門家の純粋に主観的な評価から引き出されることもある。 ^{[2] [3] [4]}情報が利用できない場合は、無差別原理によって正当化される無情報事前分布が採用されることがある。^{[5] [6]現代のアプリケーションでは、事前分布は、}正則化や特徴選択などの機械的特性に基づいて選択されることもよくある。^{[7] [8] [9]}

モデルパラメータの事前分布は、多くの場合、それ自身のパラメータに依存します。これらのハイパーパラメータに関する不確実性は、ハイパー事前確率分布として表現できます。たとえば、ベータ分布を使用してベルヌーイ分布のパラメータpの分布をモデル化する場合、次のようになります。

• pは基礎となるシステムのパラメータ（ベルヌーイ分布）であり、
• αとβ は事前分布 (ベータ分布) のパラメータであり、したがってハイパーパラメータです。

原理的には、事前分布は多くの条件付き分布レベル、いわゆる階層的事前分布に分解することができる。^[10]

有益な事前分布は、変数に関する特定の明確な情報を表します。例としては、明日の正午の気温の事前分布があります。妥当なアプローチは、事前分布を、期待値が今日の正午の気温に等しく、分散が気温の日々の変動に等しい正規分布、または年間のその日の温度の分布にすることです。

この例には、多くの事前確率と共通する特性があります。つまり、ある問題 (今日の気温) の事後確率が別の問題 (明日の気温) の事前確率になります。すでに考慮されている既存の証拠は事前確率の一部であり、証拠が蓄積されるにつれて、事後確率は元の仮定ではなく証拠によって主に決定されます (ただし、元の仮定が証拠が示唆している可能性を認めている場合)。「事前確率」と「事後確率」という用語は、通常、特定のデータまたは観察に関連しています。

強い事前分布とは、新しい情報を考慮した後、現在の仮定、理論、概念、またはアイデアの基礎となる、先行する仮定、理論、概念、またはアイデアです。^[要出典]強い事前分布は、事前分布に含まれる情報が分析対象のデータに含まれる情報よりも優位になる、有益な事前分布の一種です。ベイズ分析では、事前分布に含まれる情報とデータから抽出された情報を組み合わせて事後分布を生成しますが、「強い事前分布」の場合、事後分布は事前分布からほとんど変化しません。

弱情報事前分布は、変数についての部分的な情報を表し、結果を過度に制限したり極端な推定を防いだりすることなく、既存の知識と一致するソリューションに分析を導きます。たとえば、明日のセントルイスの正午の気温の事前分布を設定する場合、平均華氏 50 度、標準偏差 40 度の正規分布を使用します。これにより、気温は範囲 (10 度、90 度) に非常に緩く制限され、-30 度を下回ったり 130 度を超えたりする可能性がわずかにあります。弱情報事前分布の目的は、正則化、つまり推論を妥当な範囲に保つことです。

情報のない事前分布、平坦な事前分布、または拡散した事前分布は、変数に関する漠然とした、または一般的な情報を表します。^[5]「情報のない事前分布」という用語は、いくぶん誤った呼び方です。このような事前分布は、あまり情報のない事前分布、または客観的な事前分布、つまり主観的に引き出されない事前分布とも呼ばれます。

非情報事前分布は、「変数は正である」または「変数はある限界より小さい」などの「客観的な」情報を表現できます。非情報事前分布を決定するための最も単純で古い規則は、すべての可能性に等しい確率を割り当てる無差別原理です。パラメータ推定の問題では、非情報事前分布を使用すると、尤度関数が非情報事前分布よりも多くの情報をもたらすことが多いため、通常、従来の統計分析とあまり変わらない結果が得られます。

事前確率、つまりある意味では不確実性の状態の性質によって論理的に必要とされる確率分布を見つけようとする試みがいくつかなされてきた。これは哲学的な論争の対象であり、ベイズ主義者は大まかに 2 つの学派に分かれている。「客観的ベイズ主義者」は、そのような事前確率が多くの有用な状況で存在すると考えており、「主観的ベイズ主義者」は、事前確率は実際には厳密に正当化できない主観的な意見の判断を表すことが多いと考えている (Williamson 2010)。客観的ベイズ主義に対するおそらく最も強力な議論は、主に対称性の結果と最大エントロピーの原理に基づいた、 エドウィン T. ジェインズによるものである。

Jaynes (2003) による事前事前分布の例として、ボールが 3 つのカップ A、B、C のいずれかの下に隠されていることはわかっているが、その位置について他の情報は入手できない状況を考えてみましょう。この場合、p ( A ) = p ( B ) = p ( C ) = 1/3という一様事前分布が直感的に唯一の合理的な選択のように思えます。より正式には、カップのラベル (「A」、「B」、「C」) を入れ替えても問題は同じであることがわかります。したがって、ラベルの入れ替えによってボールがどのカップの下に隠されているかの予測が変わるような事前分布を選択するのは奇妙です。一様事前分布は、この不変性を維持する唯一の事前分布です。この不変性原理を受け入れると、一様事前分布がこの知識の状態を表す論理的に正しい事前分布であることがわかります。この事前確率は、特定の知識状態を表す正しい選択という意味では「客観的」であるが、観察者に依存しない世界の特徴という意味では客観的ではない。現実には、ボールは特定のカップの下に存在し、この状況で確率について話すことは、システムについての知識が限られている観察者が存在する場合にのみ意味がある。^[11]

より議論の多い例として、ジェインズは、パラメータの変化に対する事前分布の不変性に基づき、確率についての完全な不確実性を表す事前分布はハルデン事前分布 p ⁻¹ (1 −  p ) ⁻¹であるべきであると示唆する議論を発表しました。^[12] ジェインズが挙げる例は、研究室で化学物質を見つけ、繰り返し実験すると水に溶けるかどうかを尋ねるというものです。ハルデン事前分布^[13]は、とに圧倒的に最大の重みを与え、サンプルが毎回溶けるか、まったく溶けないかが等しい確率で示しています。しかし、ある実験では化学物質のサンプルが溶け、別の実験では溶けないことが観察された場合、この事前分布は区間 [0, 1] の一様分布に更新されます。これは、上記の事前分布を使用して、溶解する 1 つの観測と溶解しない 1 つの観測からなるデータセットにベイズの定理を適用することで得られます。ハルデン事前分布は不適切な事前分布です（つまり、質量が無限大です）。 ハロルド・ジェフリーズは、例えばベルヌーイ確率変数の ジェフリーズ事前分布p ^−1/2 (1 −  p ) ^{−1/2のような非情報事前分布を設計するための体系的な方法を考案しました。}${\displaystyle p=0}$${\displaystyle p=1}$

パラメータ空間X がベイズ知識の状態を不変にする自然な群構造を持つ場合、ハール測度に比例する事前分布を構築できます。 ^[12]これは、上記の例の3つのカップに対する一様事前分布を正当化するために使用された不変性原理の一般化と見ることができます。たとえば、物理学では、座標系の原点の選択に関係なく、実験で同じ結果が得られると予想できます。これにより、X上の移動群の群構造が誘導され、事前確率が定数不適切な事前分布として決定されます。同様に、一部の測定値は、任意のスケールの選択に対して自然に不変です（たとえば、センチメートルを使用するかインチを使用するかに関係なく、物理的な結果は同じである必要があります）。このような場合、スケール群は自然な群構造であり、対応するX上の事前分布は1/ xに比例します。左不変ハール測度を使用するか右不変ハール測度を使用するかが重要な場合があります。たとえば、アフィン群上の左不変ハール測度と右不変ハール測度は等しくありません。 Berger (1985, p. 413) は、右不変ハール測度が正しい選択であると主張している。

Edwin T. Jaynesが提唱する別のアイデアは、最大エントロピーの原理(MAXENT)を使用することです。その動機は、確率分布のシャノン エントロピーが、分布に含まれる情報量を測定することです。エントロピーが大きいほど、分布によって提供される情報は少なくなります。したがって、X上の適切な確率分布セットでエントロピーを最大化することにより、セットを定義する制約と一致する情報量が最も少ないという意味で、最も情報量の少ない分布が見つかります。たとえば、離散空間の最大エントロピー事前分布は、確率が 1 に正規化されていることだけが与えられた場合、各状態に等しい確率を割り当てる事前分布です。また、連続の場合、密度が平均 0 で正規化され、分散が 1 である場合の最大エントロピー事前分布は、標準正規分布です。最小クロスエントロピーの原理は、最大エントロピーの意味で適切な制約を持つ任意の事前分布を「更新」する場合に MAXENT を一般化します。

関連する考え方である参照事前分布は、José-Miguel Bernardoによって導入されました。ここでの考え方は、事前分布に対する事後分布の期待されるKullback-Leibler ダイバージェンスを最大化することです。これにより、事前密度がp ( x )のときにXに関する期待事後情報が最大化されます。したがって、ある意味では、p ( x ) は X に関する「最も情報量の少ない」事前分布です。参照事前分布は漸近極限で定義されます。つまり、データ ポイントの数が無限大になるにつれて、このようにして得られる事前分布の極限を考慮します。この場合、事前分布と事後分布間の KL ダイバージェンスは次のように表されます。 $${\displaystyle KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log {\frac {p(x\mid t)}{p(x)}}\,dx\,dt}$$

ここで、は何らかのパラメータ に対する十分な統計量です。内部積分は事後分布と事前分布の間のKLダイバージェンスであり、結果は のすべての値に対する加重平均です。対数を2つの部分に分割し、2番目の部分の積分の順序を逆にし、が に依存しないことに注意すると、次のようになります。${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p(x\mid t)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \log \,[p(x)]}$$${\displaystyle t}$$${\displaystyle KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log[p(x\mid t)]\,dx\,dt\,-\,\int \log[p(x)]\,\int p(t)p(x\mid t)\,dt\,dx}$$

2番目の部分の内側の積分は結合密度の積分です。これは周辺分布なので、 ${\displaystyle t}$${\displaystyle p(x,t)}$${\displaystyle p(x)}$$${\displaystyle KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log[p(x\mid t)]\,dx\,dt\,-\,\int p(x)\log[p(x)]\,dx}$$

ここで、エントロピーの概念を使います。これは確率分布の場合、確率質量または密度関数の対数の負の期待値です。 これを最後の式に使うと、次の式が得られます。 ${\textstyle H(x)=-\int p(x)\log[p(x)]\,dx.}$$${\displaystyle KL=-\int p(t)H(x\mid t)\,dt+\,H(x)}$$

言葉で言えば、KL は、 を条件とする のエントロピーの上の負の期待値と の周辺（つまり無条件​​）エントロピーを加えたものです。サンプル サイズが無限大に近づく極限の場合、Bernstein-von Mises の定理によれば、 の与えられた観測値を条件とするの分布は、の「真の」値における Fisher 情報量の逆数に等しい分散を持つ正規分布となります。正規密度関数のエントロピーは の対数の半分に等しく、 は分布の分散です。したがってこの場合、は任意に大きなサンプル サイズ（Fisher 情報量はこれに比例）で、 は「真の」値です。これは に依存しないため、積分から取り出すことができ、この積分は確率空間上にあるため、 は 1 に等しくなります。したがって、KL の漸近形は と書くことができます 。 ここで は（漸近的に大きい）サンプル サイズに比例します。 の値はわかりません。実際、この考え方自体が、パラメータの「真の」値を事前分布と事後分布に置き換えるベイズ推定の哲学に反しています。そこで、を に置き換えて を に置き換え、 を で乗じて を積分することで得られる正規エントロピーの期待値を取ります。これにより、対数を結合して次の式を得ることができます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2\pi ev}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle H=\log {\sqrt {\frac {2\pi e}{NI(x^{*})}}}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle x*}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle KL=-\log \left(1{\sqrt {kI(x^{*})}}\right)-\,\int p(x)\log[p(x)]\,dx}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle x*}$${\displaystyle x*}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle KL=-\int p(x)\log \left[{\frac {p(x)}{\sqrt {kI(x)}}}\right]\,dx}$$

これは準 KL ダイバージェンスです (「準」とは、フィッシャー情報量の平方根が不適切分布の核となる可能性があるという意味です)。マイナス記号があるため、開始時の KL ダイバージェンスを最大化するには、これを最小化する必要があります。最後の式の最小値は、対数引数の 2 つの分布が不適切かどうかに関係なく、発散しないときに発生します。これは、事前分布が尤度関数のフィッシャー情報量の平方根に比例するときに発生します。したがって、単一パラメータの場合、ジェフリーズには非常に異なる根拠があるにもかかわらず、参照事前分布とジェフリーズ事前分布は同一です。

参照事前分布は、他のルール (例: Jeffreys のルール) によって問題のある動作を伴う事前分布が生じる可能性があるため、多変量問題では多くの場合、客観的事前分布として選択されます。^{[説明が必要Jeffreys 事前分布は KL ダイバージェンスと関係がありますか? ]}

客観的事前分布は、情報理論やコーディング理論（例えば、最小記述長を参照）や頻度主義統計（いわゆる確率マッチング事前分布）などの他の原理から導き出されることもあります。^{[14]このような方法は、}ソロモンオフの帰納的推論の理論で使用されています。客観的事前分布の構築は、サンプルサイズが限られており、膨大な量の事前知識が利用できるバイオインフォマティクス、特に癌システム生物学の推論で最近導入されました。これらの方法では、KLダイバージェンスなどの情報理論に基づく基準、またはバイナリ教師あり学習問題^[15]および混合モデル問題に対する対数尤度関数のいずれかが使用されます。^[16]

情報のない事前分布に関連する哲学的問題は、適切な測定基準または測定スケールの選択に関連しています。未知のランナーのランニング速度の事前分布が必要だとします。そのランナーの速度の事前分布として、たとえば正規分布を指定できますが、代わりに、100 メートルを走りきるのにかかる時間の事前分布として、最初の事前分布の逆数に比例する正規分布を指定することもできます。これらは非常に異なる事前分布ですが、どちらが望ましいかは明らかではありません。ジェインズの変換群の方法は、状況によってはこの質問に答えることができます。^[17]

同様に、0から1の間の未知の割合を推定するように求められた場合、すべての割合は等しく起こり得ると言い、一様事前分布を使用するかもしれません。あるいは、割合のすべての桁が等しく起こり得ると言うこともできます。対数事前分布は、比率の対数に関する一様事前分布です。Jeffreys事前pに対するJeffreys事前分布はp^−1/2(1 − p)^−1/2であり、Jaynesの推奨とは異なります。

アルゴリズム的確率の概念に基づく事前確率は、非常に一般的な設定での帰納法の基礎として 帰納的推論で使用されます。

無情報事前分布に関連する実際上の問題には、事後分布が適切でなければならないという要件が含まれる。連続的で無制限の変数に対する通常の無情報事前分布は不適切である。事後分布が適切であれば、これは問題にならない。もう 1 つの重要な問題は、無情報事前分布を日常的に使用する、つまり多くの異なるデータ セットで使用する場合、無情報事前分布は優れた頻度主義特性を持つ必要があるということである。通常、ベイズ主義者はこのような問題を気にしないが、この状況では重要になる可能性がある。たとえば、事後分布に基づく決定ルールは、採用された損失関数の下で許容されることが望まれる。残念ながら、許容性は、いくつかの結果がわかっているものの (例: Berger および Strawderman 1996)、確認するのが難しい場合が多い。この問題は、階層型ベイズ モデルで特に深刻であり、通常の事前分布 (例: Jeffreys の事前分布) は、階層の上位レベルで使用された場合、非常に許容できない決定ルールを与える可能性がある。

事象は相互に排他的かつ網羅的であるとする。ベイズの定理が と書かれる場合、 すべての事前確率P ( A _i ) とP ( A _j ) に与えられた定数を掛けても同じ結果が得られることは明らかであり、連続ランダム変数についても同じことが言える。分母の合計が収束する場合、事後確率は事前値が 1 にならなくても合計 (または積分) すると 1 になるので、事前値は正しい比率で指定するだけでよい可能性がある。この考えをさらに進めると、多くの場合、事後確率の合理的な答えを得るために事前値の合計または積分が有限である必要すらないかもしれない。この場合、事前値は不適切事前値と呼ばれる。しかし、事前値が不適切であれば事後分布は適切分布である必要はない。^{[18]これは、事象}BがすべてのA _jから独立している場合から明らかである。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$$${\displaystyle P(A_{i}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})}}\,,}$$

統計学者は、不適切な事前分布を無情報事前分布として使用することがある。^[19] たとえば、ランダム変数の平均と分散の事前分布が必要な場合、p ( m、  v ) ~ 1/ v ( v > 0の場合 ) と仮定することがある。これは、平均の値はどれも「同じ確率」であり、正の分散の値は、その値に反比例して「確率が低くなる」ことを示唆する。多くの著者 (Lindley、1973 年、De Groot、1937 年、Kass および Wasserman、1996 年) ^[要出典]は、これらの事前分布は確率密度ではないため、過度に解釈する危険性について警告している。事前分布が持つ唯一の関連性は、すべての観測値に対して明確に定義されている限り、対応する事後分布にある。(ハルデン事前分布は典型的な反例である。^{[要説明] [要出典]} )

対照的に、尤度関数は積分する必要はなく、一様に 1 である尤度関数はデータがない状態に対応します (データがない場合、すべてのモデルは等しく起こり得ます)。ベイズの定理は事前確率と尤度を掛け合わせたもので、空の積は単に定数尤度 1 です。ただし、事前確率分布から始めなければ、事後確率分布は得られず、したがって積分したり期待値や損失を計算したりすることはできません。詳細については、 尤度関数 § 非積分性を参照してください。

不適切な事前分布の例には次のものがあります。

• 無限区間（つまり、半直線または実数直線全体）上の均一分布。
• Beta(0,0)、α =0、β =0の場合のベータ分布（対数オッズスケール上の均一分布）。
• 正の実数上の対数事前分布（対数スケール上の一様分布）。^[要出典]

一様分布として解釈されるこれらの関数は、データがない場合の 尤度関数として解釈することもできますが、適切な事前分布ではありません。

ベイズ統計では事前確率は不確実なパラメータについての初期の信念を表すのに用いられるが、統計力学では事前確率はシステムの初期状態を記述するのに用いられる。^{[20]古典的なバージョンは、}基本事象の数（例えば、サイコロを投げる回数）と全事象の数の比として定義され、これらは純粋に演繹的に、すなわち実験なしに考察される。サイコロの場合、サイコロを投げずにテーブルの上でそれを見ると、各基本事象は同じ確率を持つと演繹的に推論される。したがって、（完璧な）サイコロを想像上で投げた場合、または単に面の数を数えた場合に出る各結果の確率は 1/6 である。サイコロの各面は等しい確率で現れる。確率は基本事象ごとに定義される尺度である。サイコロを 20 回投げて、上面に 6 の数字が何回（20 回中）出るかを尋ねると、結果は異なる。この場合、時間が関係し、時間やサイコロを投げる回数に応じて異なる種類の確率が発生します。一方、事前確率は時間に依存しません。つまり、テーブルの上のサイコロを触らずに好きなだけ見ることができ、上面に数字 6 が出る確率は 1/6 であると推測できます。

統計力学、例えば有限体積 に含まれる気体の統計力学では、個々の気体要素（原子または分子）の空間座標と運動量座標は、これらの座標が張る位相空間内で有限である。サイコロの場合と同様に、事前確率はここで（連続体の場合）位相空間の体積要素を で割った値に比例し、 はそこに含まれる定在波（つまり状態）の数である。ここで は変数の値域 、 は変数の値域である（ここでは簡単にするために 1 次元で考える）。1 次元（長さ）では、この数、つまり統計的重み、つまり事前重みは である。通常の 3 次元（体積）では、対応する数は と計算できる。^[21]この量が量子（つまり波）力学における状態の数を与えるものとして理解するためには、量子力学ではすべての粒子がシュレーディンガー方程式の解である物質波に関連付けられていることを思い出す必要がある。体積の箱の中の気体のような自由粒子（エネルギー ）の場合、そのような物質波は明示的 に で、 は整数です。間の領域における異なる値の数 、つまり状態の数は、これらの点によって覆われる領域を考慮すると、上記の式になることがわかります。 さらに、 1 つの空間次元では である 不確定性関係を考慮すると、 これらの状態は区別できません（つまり、これらの状態はラベルを持ちません）。 重要な結果は、リウヴィルの定理として知られる結果、つまりこの位相空間体積要素の時間独立性、したがって事前確率の時間独立性です。 この量の時間依存性は、システムのダイナミクスに関する既知の情報を意味し、したがって事前確率ではありません。^[22]したがって、領域を 時間について微分すると、ゼロになります（ハミルトン方程式の助けを借りて）。 時点での体積は、時間ゼロでの体積と同じです。 これは、情報の保存としても説明できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \Delta q\Delta p}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Delta q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L\Delta p/h}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}$${\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}$${\displaystyle V=L^{3}}$$${\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L),}$$${\displaystyle l,m,n}$${\displaystyle (l,m,n)}$${\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}$${\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}$$${\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h,}$$$${\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\;\;\int \Delta q\Delta p=\mathrm {const.} ,}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

完全な量子理論では、類似の保存則があります。この場合、位相空間領域は、射影演算子 で表される状態空間のサブスペースに置き換えられ、位相空間の確率の代わりに、サブスペースの次元 である確率密度 が与えられます 。この場合の保存則は、 S 行列のユニタリー性によって表現されます。どちらの場合も、考察では閉じた孤立系を前提としています。この閉じた孤立系は、(1) エネルギーが固定され、(2) 平衡状態にある粒子の数が固定されているシステムです。このシステムの膨大な数のレプリカを考慮すると、ミクロカノニカル アンサンブルと呼ばれるものが得られます。このシステムに対して、量子統計では「孤立系の等確率の事前確率の基本公理」が仮定されます。これは、平衡状態の孤立系は、そのアクセス可能な各状態を同じ確率で占めるというものです。したがって、この基本公理により、事前確率をシステムの縮退、つまり同じエネルギーを持つ異なる状態の数と同等にすることができます。 ${\displaystyle P}$$${\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{{\text{Tr}}(P)}},\;\;\;N={\text{Tr}}(P)=\mathrm {const.} ,}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle E}$${\displaystyle N}$

次の例は、(a) 古典的なコンテキストと (b) 量子的なコンテキストにおける事前確率 (または事前重み付け) を示しています。

統計力学（任意の書籍を参照）では、さまざまな統計に対していわゆる分布関数を導出します。 フェルミ-ディラック統計とボーズ-アインシュタイン統計の場合、これらの関数はそれぞれ次のようになります。 これらの関数は、(1) 動的平衡（つまり、安定した均一な条件下）にあるシステム、(2) 総（かつ膨大な）粒子数（この条件によって定数 が決定されます）、(3) 総エネルギー、つまり各粒子のエネルギーに対して導出されます。導出における重要な点は、量子統計における粒子と状態の区別不可能性、つまり粒子と状態にはラベルがないことを考慮に入れることです。フェルミオンの場合、電子と同様にパウリの原理（状態ごとに粒子は 1 つのみ、または粒子は 1 つも許可されない）に従い、次の式が得られます。したがって 、 は、エネルギーおよび温度で電子が実際に占める状態の割合の尺度です。一方、事前確率は、使用可能な波動力学的状態の数の尺度です。したがって は均一な条件下（体積要素から流出する粒子と同じ数の粒子も着実に流入するため、要素内の状況は静的に見える）では一定である、つまり時間に左右されないため、また も前述のように 時間に左右されないため、次式が得られます。 この方程式を偏微分で表すと、ボルツマン輸送方程式が得られます。 どうしてここで座標などが突然現れるのでしょうか。 上記では電場やその他の場については何も触れていません。 したがって、そのような場が存在しない場合は、上記のようなフェルミ・ディラック分布になります。 しかし、そのような場が存在する場合は、 のこの追加の依存性があります。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f_{i}^{FD}={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\epsilon _{0})/kT}+1}},\quad f_{i}^{BE}={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\epsilon _{0})/kT}-1}}.}$$${\displaystyle N=\Sigma _{i}n_{i}}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle E=\Sigma _{i}n_{i}\epsilon _{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \epsilon _{i}}$$${\displaystyle 0\leq f_{i}^{FD}\leq 1,\quad {\text{whereas}}\quad 0\leq f_{i}^{BE}\leq \infty .}$$${\displaystyle f_{i}^{FD}}$${\displaystyle \epsilon _{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle g_{i}}$$${\displaystyle n_{i}=f_{i}g_{i}.}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dt}}=0,\quad f_{i}=f_{i}(t,{\bf {v}}_{i},{\bf {r}}_{i}).}$$${\displaystyle {\bf {r}}}$${\displaystyle f}$

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