アルキメデスの性質

抽象代数学および解析学において、アルキメデスの性質（アルキメデスのせいせいするせいぶつのせい、英: Archimedesous property）は、古代ギリシャの数学者シラクサのアルキメデスにちなんで名付けられ、順序付き群やノルム群、体などの代数構造が持つ性質である。この性質は、一般的に解釈されるように、2 つの正の数とが与えられたとき、となる整数が存在することを述べている。また、自然数の集合がより上に有界でないことも意味する。^{[1]大まかに言えば、}無限に大きい元や無限に小さい元を持たないという性質である。アルキメデスの公理にこの名前をつけたのはオットー・シュトルツで、これはアルキメデスの『球面と円筒について』の公理 V に登場していることからである。^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nx>y}$

この概念は古代ギリシャの大きさの理論から生まれたもので、ダヴィド・ヒルベルトの幾何学の公理や、順序群、順序体、局所体の理論など、現代数学においても依然として重要な役割を果たしています。

2 つの非ゼロ要素が、どちらも他方に対して無限小ではないという意味で比較可能な代数構造は、アルキメデス的であると言われています。一方が他方に対して無限小である非ゼロ要素のペアを持つ構造は、非アルキメデス的であると言われています。たとえば、アルキメデス的である線形順序群は、アルキメデス群です。

これは、わずかに異なる定式化によって、さまざまなコンテキストで明確にすることができます。たとえば、順序体のコンテキストでは、この特性を定式化するアルキメデスの公理があり、実数の体はアルキメデス的ですが、実係数の有理関数の体はそうではありません。

この概念は、古代ギリシャの幾何学者で物理学者のシラクサのアルキメデスにちなんで、オットー・シュトルツ（1880年代）によって命名されました。

アルキメデスの性質はユークリッドの『原論』第 5 巻の定義 4 に次のように記されています。

大きさは互いに比率を持ち、掛け合わせると互いを超えることができると言われています。

アルキメデスがこれをクニドスのエウドクソスに帰したことから、 「エウドクソスの定理」またはエウドクソスの公理としても知られています。^[3]

アルキメデスは、無限小をヒューリスティックな議論に使用したが、それが完成した数学的証明であることを否定した。

xとy を線型順序群Gの正の要素とします。任意の自然数に対して倍数が 未満である場合、 はに関して無限小(または同等に、に関して無限大)です。つまり、次の不等式が成り立ちます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle nx}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ 項}}}}y.\,}$$

この定義は、絶対値を取ることでグループ全体に拡張できます。

が に関して無限小となるようなペアが存在しないとき、その群はアルキメデス的である。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

さらに、 が単位 (1) を持つ代数構造(たとえば環)である場合、同様の定義が に適用されます。 がに関して無限小である場合、 は無限小元です。同様に、がに関して無限である場合、 は無限元です。 代数構造がアルキメデス的であるのは、無限元も無限小元も持たない場合です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle K}$

順序付けられたフィールドには、いくつかの追加プロパティがあります。

• 有理数は任意の順序体に埋め込まれます。つまり、任意の順序体は特性0 を持ちます。
• が無限小であればは無限大であり、その逆も同様です。したがって、体がアルキメデス体であることを確認するには、無限小要素が存在しないことを確認するか、無限要素が存在しないことを確認するだけで十分です。${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/x}$
• が無限小で が有理数である場合、も無限小です。結果として、一般要素 が与えられた場合、3 つの数、、および はすべて無限小であるか、すべて非無限小であるかのいずれかになります。${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle rx}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 2c}$

この設定では、順序付き体K は、アルキメデスの公理と呼ばれる次の命題が成り立つときに、まさにアルキメデス的である。

「を の任意の要素とします。するととなる自然数 が存在します。」${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>x}$

あるいは、次のような特徴付けも使用できます。 $${\displaystyle \forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.}$$

「アルキメデス的」という修飾語は、階数 1 の体と階数 1 の体上のノルム空間の理論でも次のように定式化されます。を絶対値関数、つまり実数を体元 0 に関連付け、正の実数を各非ゼロに関連付け、およびを満たす関数を備えた 体とします。 このとき、任意の非ゼロに対して、次の 自然数が存在する場合、 はアルキメデス的であると言えます。${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle |xy|=|x||y|}$${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle n}$$${\displaystyle |\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{項}}}|>1.}$$

同様に、ノルム空間がアルキメデス的であるとは、それぞれが非ゼロベクトル に等しい項の和が、十分に大きい に対して 1 より大きいノルムを持つ場合です。絶対値を持つ体またはノルム空間は、それぞれアルキメデス的であるか、超計量三角不等式と 呼ばれるより強い条件を満たします。超計量三角不等式を満たす体またはノルム空間は、非アルキメデス的 と呼ばれます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle |x+y|\leq \max(|x|,|y|),}$$

非アルキメデス的ノルム線型空間の概念はAFモナによって導入された。^[4]

有理数体には、 のときの自明な関数 、より一般的な、および- 進絶対値関数など、いくつかの絶対値関数のいずれかを割り当てることができます。オストロフスキーの定理により、有理数上のすべての非自明な絶対値は、通常の絶対値または何らかの- 進絶対値のいずれかに等しくなります。有理数体は、非自明な絶対値に関して完全ではありません。自明な絶対値に関して、有理数体は離散位相空間であるため完全です。通常の絶対値に関する完備化 (順序から) は、実数体です。この構成により、実数体は、順序付き体としてもノルム体としてもアルキメデス的です。^[5] 一方、他の非自明な絶対値に関する完備化は、 p 進数の体を与えます。ここで、 は素数です (以下を参照)。 -進絶対値は超距離特性を満たすので、-進数体はノルム体として非アルキメデス的である（順序付き体にすることはできない）。 ${\displaystyle |x|=1}$${\displaystyle x\neq 0}$${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

実数の公理理論では、非ゼロの無限小の実数が存在しないことは、次のように最小上界特性によって暗示されます。をすべての正の無限小からなる集合で表します。この集合は、上側が で有界です。ここで、空でない矛盾について を仮定します。すると、 の最小上界も正であるため、 となります。cはの上限であり、よりも確実に大きいため、は正の無限小ではありません。つまり、 となる自然数が存在するということです。一方、は正の無限小です。最小上界の定義により、と の間には無限小が存在するはずであり、 の場合、は無限小ではないからです。しかしであるため、は無限小ではなく、これは矛盾です。つまり、 は結局空であり、正の無限小の実数は存在しない ということです。${\displaystyle Z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle c/2<c<2c}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 2c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 2c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n<2c}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1/k<c/2\leq x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/(4n)<c/2}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle Z}$

実数のアルキメデスの性質は、構成的解析においても成り立ちますが、その文脈では最小上限の性質が成り立たない場合もあります。

アルキメデス的でない順序体の例として、実係数を持つ有理関数の体を取ります。(有理関数とは、ある多項式を別の多項式で割って表現できる関数のことです。以下では、分母の先頭の係数が正になるように行われているものとします。) これを順序体にするには、加算および乗算の演算と互換性のある順序付けを割り当てる必要があります。ここで、 の場合に限り となるため、どの有理関数が正であると見なされるかを指定するだけで済みます。分子の先頭の係数が正である場合、関数 を正と呼びます。(この順序付けが適切に定義され、加算および乗算と互換性があることを確認する必要があります。) この定義により、有理関数 は正ですが、有理関数 よりも小さくなります。実際、 が任意の自然数である場合、 は正ですが、 がどれだけ大きくてもよりも小さくなります。したがって、 はこの体では無限小です。 ${\displaystyle f>g}$${\displaystyle fg>0}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n(1/x)=n/x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/x}$

この例は他の係数にも一般化できます。実数係数の代わりに有理数係数を持つ有理関数を取ると、可算な非アルキメデス順序体が生成されます。係数を別の変数、たとえば の有理関数にすると、異なる順序タイプの例が生成されます。 ${\displaystyle y}$

p進計量を備えた有理数体と 完備化であるp進数体は、絶対値を持つ体としてのアルキメデスの性質を持たない。すべてのアルキメデス値体は、通常の絶対値の累乗を持つ複素数の部分体と等長的に同型である。^[6]

あらゆる線型順序体は、有理数（の同型コピー）を順序付き部分体、すなわちの乗法単位によって生成される部分体として含み、その部分体は整数を順序付き部分群として含み、その部分群は自然数を順序付きモノイドとして含む。有理数の埋め込みにより、 における有理数、整数、自然数について述べることができる。以下は、これらの部分構造によるアルキメデス体の同等の特徴付けである。^[7]${\displaystyle K}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

1. 自然数はにおいて共終的です。つまり、 のすべての元は何らかの自然数より小さくなります。(無限の元が存在する場合はこの限りではありません。) したがって、アルキメデス体とは、自然数が限りなく増加する体です。${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$
2. ゼロは、集合における最小値です。( に正の無限小が含まれていれば、それは集合 の下限となり、ゼロは最大の下限ではなくなります。)${\displaystyle K}$${\displaystyle \{1/2,1/3,1/4,\dots \}}$${\displaystyle K}$
3. 正の有理数と負の有理数の間の の元の集合は非開集合です。これは、集合がすべての無限小から成り、非ゼロの無限小が存在しない場合にその集合になるからです。そうでない場合は、最小の非ゼロの無限小も最大の非ゼロの無限小も存在せず、開集合になります。どちらの場合も、無限小の集合は閉じていることに注目してください。後者の場合、(i) すべての無限小はすべての正の有理数よりも小さく、(ii) 最大の無限小も最小の正の有理数も存在せず、(iii) 間には何も存在しません。したがって、非アルキメデスの順序体はすべて不完全かつ不連続です。${\displaystyle K}$${\displaystyle \{0\}}$
4. より大きい整数の集合には、最小の要素があります。(負の無限量であれば、すべての整数はそれよりも大きくなります。)${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
5. の空でない開区間には必ず有理数が含まれます。( が正の無限小数の場合、開区間には無限個の無限小数が含まれますが、有理数は 1 つも含まれません。)${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,2x)}$
6. 有理数は、sup と inf の両方に関して稠密です。(つまり、 のすべての要素は、何らかの有理数集合の sup であり、また何らかの他の有理数集合の inf です。) したがって、アルキメデス体とは、有理数要素を稠密に埋め込む任意の順序付き体という意味で、有理数の任意の稠密な順序付き拡張です。${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

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