数学 と論理学 において、公理系 （または公理体系）は、 理論計算機科学 でも用いられる標準的な演繹論理構造の一種です。これは、他の命題を論理的に推論する ために用いられる、公理と呼ばれる一連の形式的な命題から構成されます。数学では、これらの公理の論理的帰結は、 補題 または定理 と呼ばれることがあります。数学理論 とは、公理系とその派生定理すべてを指すために用いられる表現です。
公理系における証明とは、公理の結果として新たな命題を確立する一連の演繹的ステップのことである。公理系自体は、意図的に構文構造として構築されている。書籍や技術論文で一般的に用いられるように、公理を自然言語 で表現する場合、名詞は プレースホルダー語 として用いられる。公理的アプローチを用いることは、名詞が現実世界の意味的価値を持つ非形式的推論から形式的証明 へと移行することを意味する。完全に形式的な状況では、証明において述語論理 などの論理体系を用いる必要がある。形式的公理的推論の現代的な応用は、意味論的考察を排除する点と、使用する論理体系を明確に規定する点の両方において、従来の方法とは異なる。
数学における公理的方法 命題群を特定の公理群に還元することは、数学研究の 根底にある。この依存関係は、公理的方法の主要な成果のいくつかが生まれた20世紀前半の数学において非常に顕著で、かつ議論の的となった。 1933年のアンドレイ・コルモゴロフ の確率公理は その顕著な例である。[ 1 ] 主義として議論されている。 [ 2 ]
20世紀半ばの状況 1950年代の数学における3つの顕著な特徴は以下のとおりである。
公理系についての議論 数学 において、公理化とは 、知識体系を取り上げ、そこから逆算して公理を導き出す過程のことである。これは、一連の基本的な用語を関連付ける命題体系（すなわち公理）を定式化するプロセスであり、これらの命題から 一貫性のある 命題 群を演繹的に 導き出すことができる。その後、あらゆる命題の証明 は、原則としてこれらの公理に遡って検証できるはずである。公理化には通常、選択が伴うが、いったん理論が公理化されると、そこから導かれる数学的結果に影響を与えることなく、公理の集合を変更できる場合がある。
物件 公理系の重要な特性は、一貫性、相対的一貫性、完全性、独立性の 4 つです。公理系は、矛盾 がない場合に一貫性 [ 72 ] 爆発原理 )。相対的一貫性は、公理系の一貫性を証明できない場合に重要になります。ただし、場合によっては、別の公理系 B が一貫性があれば、公理系 A が一貫性があることを示すことができます。[ 72 ]
公理系において、公理は、その系内の他の公理から証明も反証もできない場合に独立であると呼ばれる。その系は、その基礎となる各公理が独立である場合に独立であると呼ばれる。 [ 72 ]
公理系は、すべての命題について、その命題自体またはその否定が系の公理から導出可能、つまりすべての命題が公理を用いて真偽を証明できる場合に完全であると呼ばれる。 [ 72 ] [ 73 ] あることに注意が必要である。
公理とモデル 公理系のためのモデルは形式的な構造であり、システム 内 で定義された関係と整合する形で、システム内で未定義の用語に意味を割り当てる。公理系にモデルが存在する場合、その公理は満たさ れていると言われる。[ 74 ] 一貫性を証明する。 [ 75 ]
モデルは、システムにおける公理の独立性を示すためにも使用できます。サブシステム（特定の公理なし）のモデルを構築することで、省略された公理の正しさがサブシステムから必ずしも導かれない場合、その公理が独立していることがわかります。[ 74 ]
2 つのモデルは、それらの要素間に、それらの関係性を維持する形で 1 対 1 の対応が見つかる場合、同型 であると言われます。 [ 76 ] カテゴリ的またはカテゴリ的と呼ばれます。ただし、この用語は カテゴリ理論 のトピックと混同してはいけません。カテゴリ性 (カテゴリ性) の性質はシステムの完全性を保証しますが、その逆は真ではありません。2 つのモデルはシステムのセマンティクス では表現できない特性で異なる可能性があるため、完全性はシステムのカテゴリ性 (カテゴリ性) を保証しません。
不完全性 形式体系が完全 でない場合、すべての証明がそれが属する体系の公理に遡って辿れるとは限りません。例えば、数論的な命題が算術の言語（すなわちペアノ公理の言語）で表現できる場合、位相幾何学 や複素解析 に訴える証明が与えられるかもしれません。ペアノ公理のみから導き出される別の証明が見つかるかどうかは、すぐには明らかではないかもしれません。
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さらに読む 「公理的方法」、数学百科事典 エリック・W・ワイススタイン著、「公理系」 、 MathWorld（Wolfram Webリソース）より。Mathworld.wolfram.comおよびAnswers.com
