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数理論理学では、理論が（同型を除いて）ちょうど1つのモデルを持つ場合、その理論は圏論的である。 [ a ]このような理論は、そのモデルを定義し、モデルの構造を一意に特徴付けるものと見なすことができる。
一階述語論理では、上向きレーヴェンハイム・スコレムの定理により、有限モデルを持つ理論のみが圏論的である。高階述語論理には、無限モデルを持つ圏論的理論が含まれる。例えば、二階述語論理のペアノ公理は圏論的であり、自然数の集合を定義域とする一意のモデルを持つ。
モデル理論では、圏論的理論の概念は基数に関してより洗練される。理論がκ-圏論的（またはκに関して圏論的）であるとは、同型を除いて基数κのモデルがちょうど1つ存在することを意味する。モーリーの圏論定理は、可算言語における一階述語理論が何らかの非可算基数に関して圏論的であるならば、すべての非可算基数に関して圏論的であることを示す定理である。
サハロン・シェラ（1974 ）はモーリーの定理を非可算言語に拡張した。言語の基数がκで、ある理論がκ以上の非可算基数で範疇的である場合、その理論はκより大きいすべての基数で範疇的である。
オズワルド・ヴェブレンは1904年に、理論のすべてのモデルが同型である場合、その理論は範疇的であると定義した。
上向きレーヴェンハイム・スコレムの定理によれば、一階理論が無限の濃度を持つモデルを持つ場合そうすれば、任意の基数を持つモデルが手に入る。したがって、それはカテゴリー的ではない。するとすぐに、 κ-カテゴリー性というより微妙な概念に導かれる。これは、与えられた理論Tの濃度κのモデルが同型を除いて正確に1つだけ存在する基数κはどれか、という問いである。スペクトルの言葉で言えば、を、基数κのTの非同型モデルの数とすると、Tはκ-カテゴリカルであるのは、。
完全性定理によれば、Tが完全でない場合、任意のκに対してκ-圏論的であることはできない。したがって、圏論性は、 Tが無矛盾かつ完全である場合にのみ興味深いものとなる。
可算言語上の一貫性と完全性を備えた理論Tの特殊な場合、下方および上方レーヴェンハイム・スコレムの定理と完全性定理により、すべての無限κに対して。
1954年、イェジー・ウォシュは、Tが可算言語上の無矛盾かつ完全な理論であり、少なくとも1つの無限モデルを持つ場合、Tがκでκ-圏論的になる方法は3つしか見つからないことに気づいた。
この観察結果は、1960年代にかけて多くの研究を促した。マイケル・モーリーのカテゴリー性定理（1965年）は、以下の可能性しか存在しないことを裏付けている。
モーリーのカテゴリー性定理（モーリー 1965）— Tが可算言語上の無矛盾かつ完全な理論であり、少なくとも 1 つの無限モデルを持つ場合、Tはある非可算κでκカテゴリーであるのは、それがすべての非可算κでκカテゴリーである場合に限る。
この理論はその後、1970年代以降にサハロン・シェラによって拡張・洗練され、安定性理論やシェラのより一般的な分類理論へと発展した。
不可算基数に関して範疇的な理論の自然な例は多くありません。既知の例としては以下のようなものがあります。
ωに関しては範疇的であるが、非可算基数に関しては範疇的ではない理論の例もある。最も単純な例は、同値類がちょうど 2 つあり、どちらも無限である同値関係の理論である。別の例としては、端点のない稠密な線形順序の理論がある。カントールは、そのような可算線形順序はすべて有理数と同型であることを証明した（カントールの同型定理を参照）。
分類理論を研究する数学者は、一階理論を分割線に基づいて分類します。分割線とは、ある一階理論は持つが、他の理論は持たない性質のことで、分割線の性質が異なる理論は、構造的な振る舞いも異なります。分割線は通常、「完全な一階理論のモデルがどれほど複雑になり得るか」という直感的な感覚を正確に把握するために設計されます。多くの場合、分割線の性質は、その性質を持つ理論を「野生的」と定義し、検討対象の分割線の性質を一切持たない理論を「穏やか」と定義します。
完全な理論についてはシェラのカテゴリー理論で使用されている主な区分線には、安定性、超安定性、次元順序特性、および省略型順序特性が含まれます。[ 1 ]
完全な理論は基数において安定しているサイズの各パラメータセットについて最大で完全な型。安定性は、パラメータセットに対する部分情報の拡張の可能性の数を制限する。
理論が超安定であるとは、それが十分に大きなすべての基数において安定であることを意味する。同様に、可算基数の場合、それはすべての非可算基数において安定である。超安定性は、完全理論のモデルの構造理論における基本的な仮説である。
次元秩序特性（DOP）とは、超安定理論における構成の一つであり、モデルの二次元配置において独立した次元を変化させることで、多くの非同型モデルを構築できるという性質を持つ。DOPの存在は、その理論が複雑なモデル群を持つことを示している。
省略型順序特性（OTOP）は、超安定理論におけるもう一つの構成であり、モデルにおいてどの型を省略するかを制御することで、順序のような情報を符号化することを可能にする。DOPと同様に、OTOPの存在は、大きな基数を持つ多くの非同型モデルを生み出す。
完全な一階理論は、超安定であり、DOP ではなく、OTOP でもない場合に分類可能と呼ばれます。シェラの主構造理論は、分類可能なモデルをより単純な部分に分解することができます。対照的に、不安定性、非超安定性、DOP、または OTOP を持つ理論は、十分に大きな基数を持つ非同型モデルを多数持ち、ほとんどすべてが記述するにはあまりにも複雑です。 [ 1 ]
その他の区分基準としては、ツリー特性、独立性特性、厳密順序特性（SOP）などがある。
すべてのカテゴリー理論は完全である。[ 2 ]しかし、その逆は成り立たない。[ 3 ]
無限基数κに関して圏論的な理論Tは、ほぼ完全である。より正確には、Łoś–Vaught テストによれば、充足可能な理論が有限モデルを持たず、かつその言語の基数以上の無限基数κに関して圏論的であれば、その理論は完全である。その理由は、レーヴェンハイム–スコレムの定理により、すべての無限モデルは基数κの何らかのモデルと一階同値であり、理論がκに関して圏論的であるため、すべての無限モデルは同値であるからである。したがって、すべてのモデルが同値であるため、理論は完全である。理論が有限モデルを持たないという仮定は必要である。[ 4 ]
