点-線-平面の公理

幾何学において、点-線-平面公理は、 2次元（平面幾何学）、3次元（立体幾何学）またはそれ以上の次元におけるユークリッド幾何学の公理セットで使用できる仮定（公理）の集合です。

点-線-平面公理の仮定は以下の通りである: ^[1]

• 唯一の直線の仮定。2 つの異なる点を通過する直線は1 つだけ存在します。
• 数直線の仮定。すべての直線は、実数と1 対 1に対応できる点の集合です。任意の点は 0 (ゼロ) に対応し、他の任意の点は 1 (ワン) に対応します。
• 次元の仮定。平面上の直線が与えられた場合、直線上にない平面上の点が少なくとも 1 つ存在します。空間内の平面が与えられた場合、平面上にない空間上の点が少なくとも 1 つ存在します。
• 平面仮定。2 つの点が平面上にある場合、それらの点を含む線も平面上にあります。
• 唯一の平面仮定。3 つの非共線点を通る平面は 1 つだけです。
• 交差する平面の仮定。2 つの異なる平面に共通点がある場合、それらの交差は線になります。

上記の公理の最初の3つの仮定は、シカゴ大学数学プロジェクト（UCSMP）の中等学校の幾何学カリキュラムにおけるユークリッド平面の公理的定式化に使用されています。^[2]

ユークリッド幾何学の公理的基礎は、ユークリッドの原論として知られる書籍(紀元前 300 年頃)にまで遡ります。これらの 5 つの最初の公理 (古代ギリシャ人は公準と呼んでいました) だけでは、ユークリッド幾何学を確立するには不十分です。多くの数学者が、ユークリッド幾何学を確立する公理の完全なセットを生み出しました。その中で最も有名なものの 1 つは、ユークリッドと同じスタイルのシステムを作成したヒルベルトによるものです。残念ながら、ヒルベルトのシステムには 21 の公理が必要です。他のシステムでは、より少ない (しかし異なる) 公理が使用されています。最も公理が少ないという観点から、これらの中で最も魅力的なのは、公理が 4 つしかないGD バーコフ(1932) によるものです。^[3]これら4つとは、一直線仮定（バーコフは点直線公理と呼んだ）、数直線仮定、分度器公理（角度の測定を可能にする）、およびプレイフェアの公理（または平行公理）と同等の公理である。教育上の理由から、公理の短いリストは望ましくなく、 1960年代の新しい数学カリキュラムから、高校レベルの教科書に掲載されている公理の数はヒルベルトのシステムを超えるレベルにまで増加しました。

• Oracle Education Foundation の「ThinkQuest」オンライン版で説明されている、基本的な幾何学の公理と定理に関する点-線-平面公理。
• カルキンス教授 (アンドリュース大学) の基本的な幾何学概念のオンラインリストに記載されている点-線-平面公理。