モールトンプレーン

入射幾何学において、モールトン平面はデザルグの定理が成り立たないアフィン平面の一例である。アメリカの天文学者フォレスト・レイ・モールトンにちなんで名付けられた。モールトン平面の点は単に実平面R ²の点であり、直線も通常の直線であるが、負の傾きを持つ直線はy軸を通過するときに傾きが 2 倍になる点が異なる。

モールトン平面は、点の集合、直線の集合、および「上にある」接続関係 を表す接続構造です。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle }$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\textrm {I}}}$

${\displaystyle P:=\mathbb {R} ^{2}\,}$

${\displaystyle G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \infty}$は、単に要素を表す正式な記号です。これは、無限に大きい傾斜を持つ線として考えられる垂直線を表すために使用されます。 ${\displaystyle \not \in \mathbb {R} }$

発生関係は次のように定義されます。

そして我々 は${\displaystyle p=(x,y)\in P}$${\displaystyle g=(m,b)\in G}$

${\displaystyle p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{if }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{if }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{if }}m\geq 0{\text{ または }}x\geq 0.\end{cases}}}$

モールトン平面はデザルグの定理が成り立たないアフィン平面である。 ^[1]関連する射影平面も結果的に非デザルグ平面である。これは、任意の（歪んだ）体Fに対して と同型ではない射影平面が存在することを意味する。ここでは、 （歪んだ）体F上の3次元ベクトル空間によって決定される射影平面である。 ${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle P(F^{3})}$

• Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998)、Projective Geometry : From Foundations to Applications、ケンブリッジ大学出版局、pp. 76–78、ISBN 978-0-521-48364-3
• モールトン、フォレスト・レイ（1902）、「単純な非デザルグ平面幾何学」、アメリカ数学会誌、3（2）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会：192–195、doi：10.2307/1986419、ISSN  0002-9947、JSTOR  1986419
• リチャード・S・ミルマン、ジョージ・D・パーカー：幾何学：モデルによる計量アプローチ。シュプリンガー 1991、ISBN 9780387974125、pp. 97-104