デザルグの定理

射影幾何学において、ジラール・デザルグにちなんで名付けられたデザルグの定理は、次のように述べています。

2 つの三角形が軸方向に遠近法 に従うのは、それらの三角形が 中心方向に遠近法に従う場合のみです。

一方の三角形の3 つの頂点をa、b、cで表し、もう一方の三角形の頂点をA、B 、Cで表します。 軸遠近法とは、線分abとAB が1点で交わり、線分acとAC が2 番目の点で交わり、線分bcとBCが 3 番目の点で交わり、これら 3 つの点がすべて遠近法の軸と呼ばれる共通の線上にあることを意味します。 中心遠近法とは、 3 つの線分Aa、Bb、Ccが遠近法の中心と呼ばれる点で一致していることを意味します。

この交差定理は通常のユークリッド平面では成り立ちますが、2 辺が平行で「交点」が無限遠になるような例外的な場合には特別な注意が必要です。通常、これらの例外を排除するために、数学者はJean-Victor Ponceletに従って、無限遠点を追加することでユークリッド平面を「完成」させます。これにより、射影平面が得られます。

デザルグの定理は、実射影平面と、体または分割環から算術的に定義される任意の射影空間に対して真です。これには、2 次元を超える射影空間や、パップスの定理が成り立つ射影空間が含まれます。ただし、デザルグの定理が偽である 「非デザルグ平面」も多数存在します。

デザルグはこの定理を公表することはなかったが、 1648年に出版された遠近法の使用に関する実践的な本^[1]の付録「M.デザルグの遠近法の普遍的方法( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective )」に掲載された。その本は彼の友人で弟子のアブラハム・ボス (1602–1676) によって書かれた。^[2]

抽象射影幾何学におけるデザルグの定理の重要性は、特に、射影空間が体または分割環上に定義された射影空間に同型である場合にのみ、その定理を満たすという事実による。

ユークリッド平面などのアフィン空間でも同様のことが言えますが、平行線に関するさまざまな例外を挙げた場合に限られます。したがって、デザルグの定理は、アフィン空間ではなく射影空間に自然に存在する最も単純な幾何学定理の 1 つです。

定義により、2 つの三角形が透視図法となるのは、それらの三角形が中心方向に透視図法である場合 (または、この定理に従えば、軸方向に透視図法である場合) のみです。透視図法の三角形は相似である必要はないことに注意してください。

平面射影幾何学の標準的な双対性（点が線に対応し、点の共線性が線の同時性に対応する）の下では、デザルグの定理の記述は自己双対である。すなわち、軸遠近法は中心遠近法に変換され、その逆もまた同様である。デザルグ構成（以下）は自己双対構成である。^[3]

この定理の自己双対性は、定理の通常の現代的な記述方法によるものである。歴史的には、定理は「射影空間において、中心透視三角形のペアは軸方向透視である」とだけ書かれており、この定理の双対はデザルグの定理の逆と呼ばれ、常にその名前で呼ばれていた。^[4]

デザルグの定理は、任意の体または分割環上の任意の次元の射影空間に対して成立し、少なくとも 3 次元の抽象射影空間に対しても成立します。次元 2 では、この定理が成立する平面はデザルグ平面と呼ばれ、分割環上の座標を与えることができる平面と同じです。デザルグの定理が成立しない非デザルグ平面も多数存在します。

デザルグの定理は、次元が 3 以上の任意の射影空間に対して成り立ち、より一般的には、次元が 3 以上の空間に埋め込むことができる任意の射影空間に対して成り立ちます。

デザルグの定理は次のように述べられます。

線分Aa、Bb、Ccが交差する（一点で交わる）場合、

点AB ∩ ab、AC ∩ ac、BC ∩ bcは同一直線上にある。

点A、B、aおよびb は、 AaとBbが同時に存在すると想定されているため、共面（同じ平面にある）です。したがって、線分ABとabは同じ平面に属し、交差する必要があります。さらに、2 つの三角形が異なる平面にある場合、点AB ∩ ab は両方の平面に属します。対称的な議論により、点AC ∩ acとBC ∩ bcも存在し、両方の三角形の平面に属します。これら 2 つの平面は複数の点で交差するため、その交点は 3 つの点すべてを含む線になります。

これは、2 つの三角形が同じ平面に含まれていない場合に、デザルグの定理を証明します。同じ平面にある場合は、平面にない点を選択し、これを使用して三角形を平面から持ち上げて上記の議論が機能するようにし、次に平面に投影することで、デザルグの定理を証明できます。射影空間の次元が 3 未満の場合、証明の最後の手順は失敗します。この場合は、平面にない点を見つけることができないためです。

モンジュの定理も、3 つの点が直線上にあることを主張しており、2 次元ではなく 3 次元で考え、直線を 2 つの平面の交点として表すという同じ考え方を使用して証明されています。

デザルグの定理が成り立たない非デザルグ射影平面が存在するため、 ^[5] それを証明するためにはいくつかの追加条件を満たす必要がある。これらの条件は通常、特定のタイプの共線化が十分に多く存在すると仮定する形をとり、その結果、基礎となる代数座標系が分割環（歪体）でなければならないことが示される。^[6]

パプスの六角形定理は、六角形 AbCaBc を頂点a、b、cが 1 本の線上にあり、頂点A、B、Cが別の線上にあるように描くと、六角形の 2 つの反対側の辺はそれぞれ 1 点で交わる 2 本の線上にあり、このようにして構築された 3 つの点は同一線上にあることを述べています。パプスの定理が普遍的に成り立つ平面は、パピアンと呼ばれます。ヘッセンベルク (1905) ^{[7] は}、デザルグの定理はパプスの定理の 3 つの応用から導き出せることを示しまし た。^[8]

この結果の逆は真ではない、つまり、すべてのデザルグ平面がパッピアン平面であるわけではない。パップスの定理を普遍的に満たすことは、基礎となる座標系が可換であることと同値である。したがって、非可換な除算環（体でない除算環）上に定義された平面は、デザルグ平面ではあるがパッピアン平面ではない。しかし、すべての有限除算環は体であると述べるウェダーバーンの小定理により、すべての有限デザルグ平面はパッピアン平面である。この事実を完全に幾何学的に証明したものは知られていないが、バンバーグとペンティラ（2015）は「基本的な」代数的事実のみを使用する証明（ウェダーバーンの小定理の完全な強みではなく）を与えている。

デザルグの定理に関係する 10 本の直線 (三角形の 6 辺、 3 本の直線Aa、Bb、Cc、および遠近法の軸) と 10 個の点 (6 つの頂点、遠近法の軸上の 3 つの交点、および遠近法の中心) は、10 本の直線のそれぞれが 10 個の点のうち 3 つを通過し、10 個の点のそれぞれが 10 本の直線のうち 3 つの線上に位置するように配置されます。これらの 10 個の点と 10 本の直線は、射影配置の一例であるデザルグ配置を構成します。デザルグの定理では、これらの 10 本の直線と点に異なる役割が選択されますが、デザルグ配置自体はより対称的です。つまり、10 個の点のどれでも遠近法の中心として選択でき、その選択によって、どの 6 点が三角形の頂点となり、どの直線が遠近法の軸となるかが決まります。

この制限されたバージョンは、2 つの三角形が特定の直線上の 1 点から透視されており、対応する 2 組の辺もこの直線上で交わる場合、対応する 3 組目の辺もこの直線上で交わると述べています。したがって、これはデザルグの定理を、透視の中心が透視の軸上にある場合のみに特殊化したものです。

ムーファン平面は、すべての直線に対して小デザルグ定理が成立する射影平面です。

• パスカルの定理

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• Casse, Rey (2006)、『射影幾何学入門』、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-929886-6
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• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド（1969年）、幾何学入門（第2版）、Wiley、ISBN 978-0-471-50458-0、MR  0123930
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• カルテッシ、フェレンツ (1976)、有限幾何学入門、北ホラント、ISBN 0-7204-2832-7
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• スミス、デイビッド・ユージン（1959）『数学の原典』ドーバー、ISBN 0-486-64690-4
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• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994]、「デザルグの仮定」、数学百科事典、EMS Press

• MathWorldの Desargues の定理
• 結び目を切る際のデザルグの定理
• モンジュ・ヴィア・デザルグス、カット・ザ・ノットにて
• PlanetMathでのデザルグの定理の証明
• ダイナミックジオメトリスケッチにおけるデザルグの定理