ユークリッドの原論

要素

ヘンリー・ビリングスリー卿によるユークリッドの『原論』の最初の英語版の表紙、1570年。ルネサンス時代には、ユークリッドは哲学者メガラのユークリッドとよく混同されていました。
著者	ユークリッド
言語	古代ギリシャ
主題	平面幾何学と立体幾何学、数論、通約不可能な直線
ジャンル	数学
発行日	紀元前300年頃
ページ	13冊

『原論』（ギリシア語：Στοιχεῖα ストイケイア）は、紀元前300年頃の古代ギリシアの数学者ユークリッドの著作とされる13巻からなる数学 論文である。定義、公理、命題（定理と構成）、命題の数学的証明を集めたものである。この書籍では、平面および立体ユークリッド幾何学、初等数論、通約不可能直線について扱っている。『原論』は、数学を大規模に演繹的に扱った現存する最古の書である。論理学と現代科学の発展に役立ったことが証明されており、その論理的厳密さは19世紀まで超えられることはなかった^[要出典]。

ユークリッドの原論は、これまで書かれた教科書の中で最も成功し^{[a] [b]}、最も影響力のあった^[c] 教科書と言われています。これは印刷機の発明後に印刷された最も初期の数学書の 1 つであり、 1482 年の初版以来、聖書に次いで 2 番目に版数が多いと推定されており^[1] 、その数は 1,000 を優に超えています^[d] 。何世紀にもわたり、四分法がすべての大学のカリキュラムに含まれていたため、すべての学生はユークリッドの原論の少なくとも一部の知識を要求されました。20 世紀になって初めて、その内容が他の学校の教科書を通じて広く教えられるようになり、教養のある人なら誰でも読んだことがあると考えられるようになりました。^[要出典]

学者たちは、『原論』は主に古代ギリシャの数学者の著書に基づいた命題の集大成であると考えている。 ^[3]

ユークリッドの約 7 世紀後に生きたギリシャの数学者プロクロス(412 年 - 485 年) は、『原論』の注釈で次のように書いています。「ユークリッドは『原論』をまとめ、エウドクソスの定理の多くを収集し、テアイテトスの定理の多くを完成させ、また、先人たちによってやや曖昧にしか証明されていなかった事柄を反駁の余地のない証明にまで持ち込んだ」。

ピタゴラス（紀元前570年頃 - 495年頃）が第1巻と第2巻の大部分の出典となり、キオスのヒポクラテス（紀元前470年頃 - 410年頃、よく知られているコス島のヒポクラテスではない）が第3巻を、クニドスのエウドクソス（紀元前408年頃 - 355年頃）が第5巻を著したと考えられている。一方、第4巻、第6巻、第11巻、第12巻はおそらく他のピタゴラス派またはアテネの数学者によるものと思われる。 ^[4]『原論』はキオスのヒポクラテスの以前の教科書に基づいている可能性があり、ヒポクラテスは数字を表す文字の使用法も考案した可能性がある。^[5]マグネシアのテウディオス、レオン、コロポンのヘルモティモスも同様の著作を書いたと伝えられている。 ^{[6] [7]}

4世紀、アレクサンドリアのテオンはユークリッドの版を出版した。これは非常に広く使われ、1808年にフランソワ・ペラールがバチカンでテオンの版ではない写本を発見するまで、現存する唯一の資料となった。この写本、ハイベルク写本は900年頃のビザンチン工房のもので、現代の版の基礎となっている。^[8] オクシリンコス・パピルス29はさらに古い写本の小さな断片だが、命題が1つだけ書かれている。

例えば、エウクレイデスはキケロにも知られていたが、5世紀か6世紀のボエティウス以前にそのテキストがラテン語に翻訳されたという記録は存在しない。 ^[2]アラブ人は760年頃にビザンチン帝国から原論を受け取った。このバージョンはハールーン・アッ＝ラシード（800年頃）のもとでアラビア語に翻訳された。 ^[2]ビザンチンの学者アレタスは9世紀後半に現存するエウクレイデスのギリシャ語写本の1つの写しを委託した。^[9]ビザンチンでは知られていたが、原論は1120年頃まで西ヨーロッパでは失われていた。その年、イギリスの修道士アデラード・オブ・バースがアラビア語訳からラテン語に翻訳した。^{[e]比較的最近、12世紀のギリシア語からラテン語への翻訳がシチリア島のパレルモで発見された。翻訳者の名前は、}アルマゲストをラテン語に翻訳するためにパレルモを訪れていたサレルノ出身の無名の医学生であったということ以外わかっていない。ユークリッド写本は現存しており、完全な状態である。^[11]

アデラード1世として知られるバースの翻訳の後、アラビア語からの翻訳が相次いだ。この時期の著名な翻訳者には、 1140年頃に版を書いたケルンテンのヘルマン、チェスターのロバート（彼の写本はまとめてアデラード2世と呼ばれ、1251年以前に書かれた）、12世紀後半のヨハネス・デ・ティネミュー^{[12] （おそらく}タインマスのジョンとしても知られる（彼の写本はまとめてアデラード3世と呼ばれている）、クレモナのジェラルド（1120年以降1187年以前のいつか）がいる。これらの翻訳に関する正確な詳細については、現在も研究が続いている。^{[13] [ページが必要]} ノヴァーラのカンパヌスは、これらのアラビア語翻訳に大きく依存して彼の版（1260年以前のいつか）を作成し、それが最終的にラテン語版の主流となり、16世紀にギリシャ語写本が利用可能になった。 1482年以前のカンパヌス写本は現在でも100点以上が残っている。^{[14] [15]}

最初の印刷版は1482年に出版され（カンパヌスの翻訳に基づく）^[16] 、それ以来多くの言語に翻訳され、約1000の異なる版が出版されました。テオンのギリシャ語版は、パリ第2343編とウェネトゥス・マルキアヌス301編に基づいて1533年に発見され出版されました^{[17] 。 [18]} 1570年に、ジョン・ディーは、ヘンリー・ビリングスリーの最初の英語版に、広く評価されている「数学序文」を、膨大な注釈と補足資料とともに提供しました。

ギリシャ語の写本は現在も存在し、その一部はバチカン図書館とオックスフォードのボドリアン図書館に所蔵されています。入手可能な写本は質がまちまちで、常に不完全です。翻訳と原本を注意深く分析することで、原本の内容に関する仮説が立てられています (原本のコピーはもう入手できません)。

このプロセスでは、『原論』自体や、原論が書かれた当時流行していた他の数学理論について言及している古代のテキストも重要です。このような分析は、JL​​ ハイバーグとトーマス リトル ヒース卿がテキストの版で行っています。

また、本文に付けられた注釈であるスコリアも重要です。これらの注釈は、本文とは区別されることが多く（写本によって異なります）、説明やさらなる研究に値するものについて意見が変化するにつれて、時間の経過とともに徐々に蓄積されていきました。

『原論』は今でも数学への論理の応用における傑作と考えられている。歴史的には、科学の多くの分野に多大な影響を与えてきた。ニコラウス・コペルニクス、ヨハネス・ケプラー、ガリレオ・ガリレイ、アルバート・アインシュタイン、アイザック・ニュートンといった科学者は皆、 『原論』の影響を受け、その知識を自分の研究に応用した。^{[19] [20]}トーマス・ホッブス、バルーク・スピノザ、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、バートランド・ラッセルといった数学者や哲学者は、ユークリッドの研究がもたらした公理化された演繹構造を採用することで、それぞれの分野のための基礎となる『原論』を自ら作ろうと試みた。

ユークリッド幾何学の厳粛な美しさは、西洋文化の多くの人々に、この世のものとは思えない完璧さと確実性の体系を垣間見るものとして見られてきた。エイブラハム・リンカーンはユークリッドの写本をサドルバッグに入れて、夜遅くまでランプの明かりで勉強した。彼は「証明の意味を理解しなければ、弁護士になることはできない。私はスプリングフィールドの仕事を離れ、父の家に帰り、ユークリッドの6冊の本の命題を一目見て説明できるようになるまでそこにいた」と語った。^{[21] [22]} エドナ・セント・ヴィンセント・ミレイはソネットの中で「ユークリッドだけが美をありのままに見た」と書いている。「ああ、まばゆい時間、ああ、神聖で恐ろしい日、/ 彼の視界に初めて光の矢が射し込んだとき、解剖された！」。アルバート・アインシュタインは、原論と方位磁針が少年時代に自分に多大な影響を与えた贈り物だったと回想し、ユークリッドを「神聖な小さな幾何学の本」と呼んだ。^{[23] [24]}

『原論』の成功は、主にユークリッドが持っていた数学的知識のほとんどを論理的に提示したことによる。証明の多くはユークリッドのものだが、内容の多くは彼独自のものではない。しかし、少数の公理から深い結果までユークリッドが主題を体系的に展開したこと、および『原論』全体を通してアプローチが一貫していたことから、この本は約 2,000 年にわたって教科書として使用され続けた。『原論』は今でも現代の幾何学の書籍に影響を与えている。さらに、その論理的で公理的なアプローチと厳密な証明は、数学の基礎であり続けている。

ユークリッドが現代数学に与えた最も顕著な影響の一つは、平行線公準 の議論である。第1巻でユークリッドは5つの公準を挙げており、その5番目は次のように規定している。

線分が2 本の直線と交差し、同じ側に 2 つの内角が形成され、その内角の合計が 2直角未満になる場合、その 2 本の線を無限に延長すると、その辺の角度の合計が 2 直角未満になるところで交わります。

この公理は他の 4 つの公理に比べて明らかに複雑であるため、何世紀にもわたって数学者を悩ませてきました。他の 4 つの公理に基づいて第 5 公理を証明しようとする試みは数多く行われましたが、成功することはありませんでした。最終的に 1829 年に、数学者ニコライ ロバチェフスキーは、平行線公理の異なる形式を前提とする鋭角幾何学 (または双曲幾何学) の説明を発表しました。実際には、第 5 公理をまったく使用せずに有効な幾何学を作成したり、第 5 公理の異なるバージョン (楕円幾何学) を使用して作成したりすることは可能です。第 5 公理を所与とすると、結果はユークリッド幾何学になります。^[要出典]

• 第 1 巻には、5 つの公理 (悪名高い平行線公理を含む) と 5 つの一般的な概念が含まれており、ピタゴラスの定理、角度と面積の等式、平行性、三角形の角度の合計、さまざまな幾何学的図形の構築など、平面幾何学の重要なトピックが取り上げられています。
• 第 2 巻には、長方形と正方形の等式に関するいくつかの補題(「幾何代数」と呼ばれることもあります) が含まれており、黄金比の構築と、任意の直線平面図形と面積が等しい正方形を構築する方法で終わります。
• 第 3 巻では、円とその特性（中心の見つけ方、円周角、接線、点の累乗、タレスの定理）を扱います。
• ブック 4 では、三角形の内接円と外接円、および4 辺、5 辺、6 辺、15 辺の正多角形を描きます。
• 第 5 巻は、大きさの比率について記述されており、おそらくエウドクソスによって開発された非常に洗練された比率の理論を示し、「交替」( a  : b  :: c  : dならば、a  : c  :: b  : d ) などの特性を証明しています。
• 第 6 巻では、平面幾何学に比率を適用し、特に相似図形の構築と認識に焦点を当てます。
• 第 7 巻では、基本的な数論、すなわち割り切れるかどうか、素数と合成数との関係、最大公約数を求めるユークリッドの互除法、最小公倍数を求めることについて扱います。
• 第 8 巻では、整数の等比数列の構成と存在について扱います。
• 第 9 巻では、前の 2 巻の結果を適用し、素数の無限性とすべての完全偶数の構成を示します。
• 第10巻では、非平方整数（例：）の平方根の無理数を証明し、通約不可能な直線の平方根を13の互いに素な範疇に分類している。ユークリッドはここで「無理数」という用語を導入しているが、これは現代の無理数の概念とは異なる意味を持つ。また、ピタゴラス数列を生成する公式も示している。^[25]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• 第 11 巻では、第 6 巻の結果を立体図形、つまり平行六面体の垂直性、平行性、体積、相似性に一般化します。
• 第 12 巻では、積分法の前身である消尽法を使用して円錐、角錐、円柱の体積を詳細に研究し、たとえば、円錐の体積は対応する円柱の体積の 3 分の 1 であることを示します。結論として、球の体積は、多数の角錐の和で近似することにより、球の体積はその半径の 3 乗に比例する (現代の言葉で言えば) ことを示します。
• 第 13 巻では、球体に内接する 5 つの正多面体を構築し、その辺の比率を球体の半径と比較します。

ユークリッドの公理的アプローチと構成的方法は広範囲に影響を与えました。

ユークリッドの命題の多くは構成的であり、コンパスと定規を使って物体を組み立てる手順を詳しく示すことで、ある図形の存在を実証した。彼の構成的アプローチは幾何学の公理にも現れており、直線と円の存在を述べる第一公理と第三公理は構成的である。彼は、直線と円が以前の定義に従って存在すると述べる代わりに、直線と円を「組み立てる」ことが可能であると述べている。また、証明の1つで図形を使用するには、以前の命題でそれを組み立てる必要があるようだ。たとえば、彼はピタゴラスの定理を、まず直角三角形の辺に正方形を内接させることで証明しているが、それは1つ前の命題で与えられた直線に正方形を作った後でなければならない。^[27]

古代の数学のテキストではよくあることですが、命題が複数の異なるケースで証明を必要とする場合、ユークリッドはそのうちの 1 つ (多くの場合最も難しいもの) だけを証明し、残りは読者に任せることが多かったです。テオンなどの後代の編集者は、これらのケースについて独自の証明を挿入することが多かったです。

ユークリッドの表現は、当時一般的に使われていた数学的な考え方や表記法に制限されており、そのため現代の読者には扱いがぎこちなく感じられる箇所もある。例えば、2つの直角より大きい角度という概念は存在せず、^[28] 1という数字は他の正の整数とは別に扱われることがあり、乗算は幾何学的に扱われていたため、3つ以上の異なる数の積は使用しなかった。数論を幾何学的に扱ったのは、他の方法だと非常に扱いにくいアレクサンドリアの記数法になってしまうからかもしれない。^[29]

それぞれの結果の提示は様式化された形式で行われ、これはユークリッドが発明したものではないが、典型的な古典的形式として認識されている。それは6つの異なる部分から成り立っている。最初は「宣言」で、これは結果を一般的な言葉で述べる（すなわち命題の記述）。次に「設定」が続き、図を示し、特定の幾何学的対象を文字で示す。次に「定義」または「仕様」が続き、これは特定の図で宣言を言い直す。次に「構成」または「仕組み」が続く。ここで元の図が拡張されて証明が進められる。次に「証明」自体が続く。最後に「結論」は、証明で導き出された特定の結論を宣言の一般的な言葉で述べることによって、証明を宣言に結び付ける。^[30]

結果に至った推論方法については何も示されていないが、資料では『原論』の最初の4巻で遭遇するタイプの問題にどのように取り組むかについては指示を提供している。^[4]一部の学者は、ユークリッドの証明における図の使用に欠点を見つけようとし、特に第1巻の命題IIに関して、一般的な基礎となる論理ではなく、描かれた特定の図に依存した証明を書いたと非難した。しかし、この命題に対するユークリッドの元の証明は一般的で妥当であり、特定の構成を説明するために例として使用された図に依存していない。^[31]

ユークリッドの『原論』には誤りがある。基礎定理のいくつかは、ユークリッドが明示的に述べなかった公理を使って証明されている。いくつかの証明には、直感的ではあるが明示的に証明されていない仮定に頼っているため、誤りがある。数学者で歴史家のWW ラウズ・ボールは、批判を適切な視点からとらえ、「2000年もの間[『原論』がこの分野の通常の教科書であったという事実は、それがその目的に不適切ではないという強い推定を生じさせる」と述べた。^[28]

後の編集者は、ユークリッドの暗黙の公理的仮定を形式公理のリストに加えました。^[32] たとえば、第1巻の最初の構成では、ユークリッドは、仮定も証明もされていない前提を使用しました。それは、半径の距離にある中心を持つ2つの円は2点で交差するというものです。^[33]

ユークリッドの既知の誤りは、少なくとも 1882 年にパッシュが失われた公理を発表したときまで遡ります。

すべての誤りを見つけるための初期の試みには、ヒルベルトの幾何学公理やタルスキの公理などがある。2018年、マイケル・ビーソンらはコンピュータ証明支援システムを使用してユークリッドの公理に似た新しい公理セットを作成し、それらの公理で有効な証明を生成した。^[34]

ビーソンらは第 1 巻のみをチェックし、次のようなエラーを発見しました。公理の欠落、余分な公理、論理のギャップ (点が同一直線上にあることを証明できないなど)、定理の欠落 (角度はそれ自身より小さくなることはできないなど)、および明らかに証明が間違っている。証明が間違っているのは、第 1 巻の証明 7 と命題 9 です。

古代では、著名な著者の著作を、その著者が書いたものではないとすることは珍しくなかった。そのため、偽書である『原論』第14巻と第15巻が、このコレクションに含まれることもあった。^{[35]偽書である第14巻は、おそらく}アポロニウスの論文に基づいてヒプシクレスが書いたものと思われる。この本は、球に内接する正多面体の比較をユークリッドが続けたもので、主な結論は、同じ球に内接する正十二面体と正二十面体の表面の比は、それらの体積の比と同じであり、その比は $${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{3(5-{\sqrt {5}})}}}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{6}}}.}$$

偽造された第15巻は、少なくとも部分的にはミレトスのイシドールスによって書かれたものと思われます。この本は、正立体の辺の数と立体角を数えることや、辺で交わる面の二面角の測定方法などのトピックを扱っています。^[f]

• 4 世紀、アレクサンドリアのテオン、888 年写本が現存。
• 9 世紀、プレテオンペラール190 グラム
• 1482年以前の中世版多数
• 1460 年代、レギオモンタヌス(未完成)
• 1482年、エアハルト・ラットドルト（ヴェネツィア）、エディティオ・プリンセプス（ラテン語）^{[36] [37]}
• 1533年、シモン・グリナウスによるギリシャ語テキストの編集^[38]
• 1557年、ジャン・マニエンとピエール・ド・モンドレ著 [fr]、ステファヌス・グラシリスによるレビュー（命題のみ、完全な証明はなく、オリジナルのギリシャ語とラテン語の翻訳を含む）
• 1572年、コマンドヌスラテン語版
• 1574年、クリストフ・クラヴィウス
• 1883–1888、ヨハン・ルートヴィヒ・ハイベルク

1. 1570年、ヘンリー・ビリングスリー
2. 1651年、トーマス・ラッド
3. 1660年、アイザック・バロー
4. 1661年、ジョン・リークとジオ・セル
5. 1685年、ウィリアム・ハリファックス
6. 1705年、チャールズ・スカーバラ
7. 1708年、ジョン・カイル
8. 1714年、W.ウィストン
9. 1756年、ロバート・シムソン
10. 1781、1788 ジェームズ・ウィリアムソン
11. 1781年、ウィリアム・オースティン
12. 1795年、ジョン・プレイフェア
13. 1826年、ジョージ・フィリップス
14. 1828年、ディオニシウス・ラードナー
15. 1833年、トーマス・ペロネット・トンプソン
16. 1862年、アイザック・トッドハンター
17. 1908年、トーマス・リトル・ヒース（1926年に改訂）ヨハン・ルドヴィク・ハイベルグの版より
18. 1939年、R. ケイツビー タリアフェロ

• 1505年、バルトロメオ・ザンベルティ [デ]（ラテン語）
• 1543年、ニコロ・タルターリア（イタリア人）
• 1557年、ジャン・マニエンとピエール・ド・モンドレ、ステファヌス・グラシリスによる書評（ギリシャ語からラテン語）
• 1558年、ヨハン・ショイベル（ドイツ）
• 1562年、ヤコブ・キュンディッヒ（ドイツ）
• 1562年、ヴィルヘルム・ホルツマン（ドイツ）
• 1564–1566、ピエール フォルカデル [fr]ド ベジエ (フランス)
• 1572年、コマンディヌス（ラテン語）
• 1575年、コマンディヌス（イタリア語）
• 1576年、ロドリゴ・デ・サモラノ（スペイン語）
• 1594年、Typographia Medicea （ユークリッドの『原論』校訂版のアラビア語訳版^[39]）
• 1604年、ジャン・エラール・ド・バール・ル・デュク（フランス）
• 1606年、ヤン・ピータースゾーン・ドゥー（オランダ人）
• 1607年、マッテオ・リッチ、徐光啓（中国語）
• 1613年、ピエトロ・カタルディ（イタリア人）
• 1615年、デニス・アンリオン（フランス）
• 1617年、フランス・ファン・スホーテン（オランダ人）
• 1637年、L.カルドゥッチ（スペイン語）
• 1639年、ピエール・エリゴーヌ（フランス）
• 1651年、ハインリヒ・ホフマン（ドイツ）
• 1663年、ドメニコ・マーニ（ラテン語由来のイタリア語）
• 1672年、クロード・フランソワ・ミリエ・デシャル（フランス）
• 1680年、ヴィターレ・ジョルダーノ（イタリア人）
• 1689年、ヤコブ・クネサ（スペイン）
• 1690年、ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニ（イタリア人）
• 1694年、アント・エルンスト・ブルク対ピルケンシュタイン（ドイツ語）
• 1695年、クレス・ヤンシュ・フォークト（オランダ人）
• 1697年、サミュエル・ライハー（ドイツ）
• 1702年、ヘンドリック・クッツ（オランダ）
• 1714年、シェスラー牧師（ドイツ）
• 1720年代、ジャガンナータ・サムラート（サンスクリット語、ナスィルッディーン・アルトゥースィーのアラビア語訳に基づく）^[40]
• 1731年、グイド・グランディ（イタリア語の略称）
• 1738年、イヴァン・サタロフ（フランス語からロシア語へ）
• 1744年、マーテン・シュトロマー（スウェーデン人）
• 1749年、デカレス（イタリア語）
• 1749 年、メトディオス炭疽炎 (Μεθόδιος Ανθρακίτης) (ギリシャ語)
• 1745年、アーネスト・ゴットリーブ・ジーゲンバルク（デンマーク人）
• 1752年、レオナルド・ヒメネス（イタリア）
• 1763年、ピボ・スティーンストラ（オランダ）
• 1768年、アンジェロ・ブルネッリ（ポルトガル人）
• 1773年、1781年、J.F.ローレンツ（ドイツ語）
• 1780年、シュクロフのバルーク・シック（ヘブライ語）^[41]
• 1789年、スヴォロフ神父とヨシュ・ニキーチン神父（ギリシャ語からロシア語へ）
• 1803、HC リンデルップ (デンマーク語)
• 1804年、フランソワ・ペラール（フランス人）。ペラールは1808年にヴァチカン写本190を発見し、1814年から1818年にかけて最初の決定版を提供することができた。
• 1807年、ユゼフ・チェコ（ギリシャ語、ラテン語、英語版に基づくポーランド語）
• 1807年、JKF ハウフ（ドイツ語）
• 1818年、ヴィンチェンツォ・フラウティ（イタリア人）
• 1820年、レスボス島のベンジャミン（現代ギリシャ語）
• 1828年、ヨシュ・ジョシュとイグナシオ・ホフマン（ドイツ語）
• 1833年、ESウンガー（ドイツ）
• 1836年、H. ファルク（スウェーデン）
• 1844、1845、1859、PR ブローケンジェルム (スウェーデン語)
• 1850年、FAA ルンドグレン（スウェーデン）
• 1850年、HA Witt と ME Areskong (スウェーデン語)
• 1865年、サミュエル・ブラッサイ（ハンガリー人）
• 1873年、山田正邦（日本人）
• 1880年、ヴァフチェンコ・ザハルチェンコ（ロシア）
• 1897年、ティラ・アイベ（デンマーク）
• 1901年、マックス・シモン（ドイツ）
• 1907年、フランチシェク・セルヴィト（チェコ）^[42]
• 1953、1958、1975、エヴァンゲロス スタマティス (Ευάγγελος Σταμάτης) (現代ギリシャ語)
• 1999年、マヤ・フドレトニャク・グルギッチ（書籍I～VI）（クロアチア語）^[43]
• 2009年、イリネウ・ビクド（ポルトガル語）
• 2019年、アリ・シナン・セルテズ（トルコ）^[44]
• 2022年、ヤン・チシュマール（スロバキア）

• 1886年、ユークリッド第1巻 ホール＆スティーブンス（英語）
• 1891、1896年、エドワード・ラングレーとセイス・フィリップス著『ハープール・ユークリッド』（英語）
• 1949年、ヘンリー・レグネリー社（英語）

• ユークリッド原論 – 全 13 巻を 1 冊にまとめたもの。ヒースの翻訳に基づき、ダナ・デンズモア他編集。グリーン ライオン プレス、ISBN  1-888009-18-7。
• 『エレメンツ：第1～13巻 – 完全版および完全版』（2006年）、サー・トーマス・ヒース訳、Barnes & Noble ISBN 0-7607-6312-7。 
• ユークリッドの原論 13 巻、ヒース、トーマス L. による翻訳と解説 (1956)、全 3 巻。ドーバー出版。ISBN 0-486-60088-2 (第 1 巻)、ISBN 0-486-60089-0 (第 2 巻)、ISBN 0-486-60090-4 (第 3 巻)   
• 平面幾何学（ユークリッドの原論再版）第 I 巻から第 VI 巻、ジョン・ケイシーの翻訳に基づき、ダニエル・キャラハン編、ISBN 978-1977730039 

• 『ユークリッド原論』の最初の6冊、ヴェルナー・エクスリン編、タッシェン社、2010年、ISBN 3836517752、バーン（1847年）の複製。 
• オリバー・バーンの『ユークリッド原理』、Art Meets Science、2022年、ISBN 978-1528770439、バーン（1847）の複製。 
• ユークリッド原論：オリバー・バーンの作品「クロネッカー・ワリス」の完結、2019年、原論の残りの部分にまで拡張された現代的な再描画、もともとKickstarterで開始されました。

• ユークリッドの原論第1巻には、ジョン・ケイシーの翻訳に基づいた第I巻から第III巻が収録されている。^[45]
• ユークリッドの原論第2巻には、ジョン・ケイシーの翻訳に基づく第IV巻から第VIII巻が収録されている。^[45]

• 花嫁の椅子

Wikiquoteにユークリッドの『原論』に関連する引用があります。

Wikisource にはこの記事に関連する原文があります:

ユークリッドの原論

ウィキメディア・コモンズには、ユークリッドの原論に関連するメディアがあります。

• Ratherthanpaper によるハイライト付き要素
• クラーク大学 ユークリッドの要素
• Bibliotheca Polyglotta の Elementa の多言語版
• ユークリッド (1997) [紀元前300年頃]。デイビッド・E・ジョイス (編)。「元素論」 。 2006年8月30日閲覧。Java ベースのインタラクティブな図を含む HTML 形式。
• リチャード・フィッツパトリックのバイリンガル版（無料でダウンロード可能な PDF、2 列形式で、元のギリシャ語と現代英語の翻訳が並んでいます。印刷版もISBN 979-8589564587として入手可能） 
• ヒースの英語訳（HTML、図なし、パブリック ドメイン）（2010 年 2 月 4 日アクセス）
  • ヒースの英語訳と解説、図付き（Google ブックス）：第 1 巻、第 2 巻、第 3 巻、第 3 巻 c. 2
• オリバー・バーンの 1847 年版 (archive.org でもホストされています) - ABC などのラベルではなくカラーを使用したオリバー・バーンの珍しいバージョン(スキャンされたページ画像、パブリック ドメイン)
• ニコラス・ルージュがデザインしたバーンのユークリッドのウェブ版
• Sandy Bultena によるアニメーションと解説付きのビデオには、第 I 巻から第 VII 巻までが収録されています。
• ジョン・ケーシーとユークリッドの『原論』最初の 6 冊をプロジェクト・グーテンベルクでスキャンしました。
• ユークリッドを読む - ユークリッドをギリシャ語の原文で読む方法を学ぶコース。英語の翻訳と解説付き (図付き HTML)
• サー・トーマス・モアの原稿
• バースのエテルハルトによるラテン語訳
• ユークリッド原論 – ギリシャ語原典 ギリシャ語 HTML
• クレイ数学研究所歴史アーカイブ – 888 年にコンスタンティノープルでパトラスのアレタスのために書記官ステファンが書き写したユークリッドの原論 13 冊
• Kitāb Taḥrīr uṣūl li-Ūqlīdis は、Nasīr al-Dīn al-Ṭūsī 著のユークリッドの『原論』13 巻のアラビア語訳です。Medici Oriental Press(別名 Typographia Medicea) 発行。Islamic Heritage Project が複製版をホストしています。
• ユークリッドの原論に基づいたオープンテキストブック「Euclid's Elements Redux」
• 1607年、中国語訳が『四庫全書』の一部として再版された。