p進数

数論では、素数pが与えられたとき、^{[ a ]} p進数は、実数とは異なるものの、いくつかの類似した性質を持つ有理数の拡張を形成します。p進数は、(おそらく無限の)小数に似た形式で記述できますが、10 ではなく素数pに基づく桁を持ち、右ではなく左に拡張されます。

例えば、有理数の展開を比較すると$\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$基数3と3進展開 では、$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{底}}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3進数}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$$

形式的には、素数pが与えられたとき、p進数は数列として定義できる。$${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$$ ここでkは整数(負の場合もある) であり、各${\displaystyle a_{i}}$は整数で、${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$p進整数とは、次の条件を満たすp進数である。${\displaystyle k\geq 0.}$

一般に、 p進数を表す級数は通常の意味では収束しないが、 p進数の絶対値については収束する。${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$ここでkは、${\displaystyle a_{i}\neq 0}$（もし全てが）${\displaystyle a_{i}}$がゼロの場合、1つはゼロのp進数であり、そのp進絶対値は0である。

すべての有理数は、上記のようにp進絶対値に関する級数の和として一意に表現できます。これにより、有理数を特別なp進数とみなすことができ、また、実数が通常の絶対値に対する有理数の補完であるのと同様に、 p進数をp進絶対値に対する有理数の補完として定義することもできます。

p進数は1897年にクルト・ヘンゼルによって初めて記述されたが^{[ 1 ]}、後から考えると、エルンスト・クンマーの初期の著作の一部は暗黙のうちにp進数を使用していたと解釈できる^{[ b ] 。}

大まかに言うと、正の整数n を法とするモジュラー演算とは、すべての整数をnで割った余り（剰余nと呼ばれる）で「近似」することである。モジュラー演算の主な性質は、整数に対する一連の演算結果の剰余nが、剰余nに対する同じ一連の演算結果と同じであるということである。

ディオファントス方程式を研究する際、素数pを法とする方程式を簡約化することが有用な場合がある。これは通常、方程式自体についてより多くの洞察を与えてくれるからである。残念ながら、簡約化を行うと、いくつかの情報が失われる。${\displaystyle \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}$単射ではない。

より多くの情報を保持する一つの方法は、より大きな法、例えばより高い素数のべき乗p ²、p ³、 ...を使用することです。しかし、これには次のような欠点があります。${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{e}}$体ではないため、多くの代数的性質が失われます。${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$持っている。^{[ 2 ]}

クルト・ヘンゼルは、素数を法pとし、ヘンゼルの補題を適用して法pの解を法p ²、p ³、…に持ち上げる方法を発見した。このプロセスにより無限の剰余列が生成され、p進数はそのような列の「極限」として定義される。

本質的に、p進数では「すべてのeについて一度にp ^eを法とする」ことができます。p進数と通常の剰余演算の区別点は、 p進数の集合が$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$体を形成し、 pによる除算が可能になります( p ^eを法とする場合とは異なります)。さらに、マッピングは${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _{p}}$は単射であるため、 p進数に還元しても情報はほとんど失われません。^{[ 2 ]}

p進数を理解する方法は複数存在する。

p進数にはいくつかの同等の定義が存在する。以下に示す2つの方法は比較的初歩的なものである。

p進展開の表記法にはいくつかの異なる慣例があります。この記事ではこれまで、 pのべき乗が右から左に増加するp進展開の表記法を使用してきました。この右から左への表記法では、3進展開は次のようになります。${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$例えば、次のように書かれます。 $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$$

この表記法で算術演算を行う場合、桁は左に繰り上がります。また、 p進展開を、 pのべき乗が左から右に増加し、桁が右に繰り上がるように記述することも可能です。この左から右への表記法では、3 進展開は次のようになります。${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$は $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$$

p進展開は、{0, 1, ..., p − 1 }以外の数字の集合で表すこともできます。たとえば、3進展開は次のようになります。${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$は、負の 1 を表す 1を用いて、バランスのとれた 3進数{ 1 , 0, 1 }を使用して次のように表すことができます。$${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$$

実際、 p を法とする剰余類に属するp個の整数の任意の集合は、p進数として使用できます。数論では、タイヒミュラー代表が数として使用されることがあります。^{[ 7 ]}

引用符表記は、有理数のpの変形であり、1979 年にEric HehnerとNigel Horspoolコンピュータ上でこれらの数を使った (正確な) 算術演算を実行するために提案されました。 ^{[ 8 ]}これは、無限に周期的な数字列を持つ有理数を簡潔に表現する方法として使用できます。この表記では、引用符 (') を使用して、繰り返し部分と繰り返しない部分を区切ります。 $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}}$$

正の有理数の小数展開${\displaystyle r}$それをシリーズとして表現するとは$${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$$ どこ${\displaystyle k}$は整数であり、各${\displaystyle a_{i}}$は整数で、${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$この展開は、分子を分母で長除法することによって計算できます。これは、次の定理に基づいています。${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$は有理数で、${\displaystyle 0\leq r<1,}$整数が存在する${\displaystyle a}$そのため${\displaystyle 0\leq a<10,}$そして${\displaystyle 10r=a+r',}$と${\displaystyle 0\leq r'<1.}$小数展開は、この結果を剰余に繰り返し適用することによって得られます。${\displaystyle r'}$反復処理において、これは元の有理数の役割を担う。${\displaystyle r}$。

有理数の p 進展開は、除算の手順が異なるものの、同様の方法で計算できます。${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$は非負の値を持つ有理数です（つまり、dはpで割り切れません）。除算のステップは、次のように書くことです。 $${\displaystyle r=a+p\,r'}$$ どこ${\displaystyle a}$は整数で、${\displaystyle 0\leq a<p,}$そして${\displaystyle r'}$非負の評価値を持つ。

整数a は、モジュラー乗法逆数として計算できます。${\displaystyle a=nd^{-1}\operatorname {mod} p}$このため、r をこのように表記することは常に可能であり、このような表現は一意である。

有理数の p 進展開は最終的に周期的になる。逆に、数列は${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$と${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$（p進絶対値の場合）有理数に収束するのは、それが最終的に周期的である場合に限る。この場合、級数はその有理数のp進展開となる。証明は循環小数に関する同様の結果の証明と同様である。

p進整数とは、非負の値を持つp進数のことである。

A${\displaystyle p}$進整数は数列として表現できる $${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$ 残留物の${\displaystyle x_{e}}$モジュール${\displaystyle p^{e}}$各整数について${\displaystyle e}$互換性関係を満たす${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$のために${\displaystyle i<j}$。

すべての整数は${\displaystyle p}$-進整数（ゼロを含む）${\displaystyle 0<\infty }$) の形の有理数${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$と${\displaystyle d}$互いに素な${\displaystyle p}$そして${\displaystyle k\geq 0}$また、${\displaystyle p}$-進整数（理由は${\displaystyle d}$逆剰余を持つ${\displaystyle p^{e}}$すべての${\displaystyle e}$)

p進整数は可換環を形成し、${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ または${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$次のような特性を持つ。

• これは整域である。なぜなら、これは体の部分環であるから、あるいは、2つの非零のp進級数の積の級数表現の最初の項が、それらの最初の項の積だからである。
• 単位（可逆要素）${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$評価がゼロのp進数は、
• これは主イデアル領域であり、各イデアルはpのべき乗によって生成される。
• これはクルル次元1の局所環である。なぜなら、その唯一の素イデアルは零イデアルと、唯一の極大イデアルであるpによって生成されるイデアルだからである。
• これは離散的な評価環である。なぜなら、これは前述の性質から導かれる結果だからである。
• これはローカルリングの完成です${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},}$これは、${\displaystyle \mathbb {Z} }$最高の理想において${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

最後の性質は、上記の定義と同等のp進数の定義を与える。すなわち、 p進数の体は、 pによって生成される素イデアルにおける整数の局所化の完了の分数の体である。

p進評価法では、p進数に絶対値を定義できます。非ゼロのp進数xのp進絶対値は次のようになります。 $${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$$ どこ${\displaystyle v_{p}(x)}$はxのp進評価です。${\displaystyle 0}$は${\displaystyle |0|_{p}=0.}$これは、すべてのxとyに対して次の式が成り立つため、強い三角不等式を満たす絶対値です。

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$かつその場合に限り${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

さらに、もし${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$それから${\displaystyle |x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.}$

これにより、p進数は距離空間、さらには超距離空間となり、p進距離は次のように定義される。 ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

距離空間として、p進数は、p進絶対値を備えた有理数の完備化を構成する。これは、 p進数を定義するもう一つの方法を提供する。

メトリックは離散的な評価から定義されるため、すべてのオープンボールは閉じている。より正確には、オープンボールは${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$閉じた球に等しい${\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$ ここで、vは最小の整数であり、${\displaystyle \textstyle p^{-v}<r.}$同様に、${\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$ここで、wは、${\displaystyle \textstyle p^{-w}>r.}$

これは、p進数が${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$局所コンパクト空間（局所コンパクト体）を形成し、p進整数${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$つまり、ボール${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$—コンパクトな空間を形成する。^{[ 9 ]}

2進整数の空間${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$カントール集合と同相である${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^{[ 10 ] [ 11 ]}これは、連続的な1対1マッピングを考慮することで確認できます。${\displaystyle \psi$ :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}} は 次のように定義されます。 $${\displaystyle \psi$$ :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots } さらに、任意のpに対して、${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$は同相である${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$したがって、カントール集合とも同相である。^{[ 12 ]}

p進整数群のポントリャーギン双対はプリューファーp群である。${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$、そしてプリューファーp群のポントリャーギン双対はp進整数群である。^{[ 13 ]}

商環​${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$指輪で識別される可能性がある${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$整数の法則${\displaystyle p^{n}.}$これは、正規化されたp進数列で表されるすべてのp進整数が法で合同であることを指摘することで示すことができる。${\displaystyle p^{n}}$その部分和とともに${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$その値は区間内の整数である${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$簡単な検証により、これが環同型を定義することがわかります。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$に${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

リングの逆極限${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$は、配列によって形成されるリングとして定義されます。${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$そのため${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$そして${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$すべてのiについて。

正規化されたp進数列をその部分和の列に写像する写像は、環同型写像である。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$逆極限まで${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$これは、 p進整数を定義する別の方法を提供する（同型を除いて）。

このp進整数の定義は、逐次近似によってp進整数を構築できるため、実用的な計算において特に有用である。

例えば、整数のp進数 (乗法) 逆数を計算するには、ニュートン法を使用できます。まず、法pの逆数から始めます。次に、ニュートン法の各ステップで、法 p の逆数を計算します。${\textstyle p^{n^{2}}}$逆モジュロから${\textstyle p^{n}.}$

同じ方法を用いて、pを法とする平方剰余である整数のp進平方根を計算することもできます。これは、大きな整数が平方数であるかどうかをテストする既知の最速の方法のようです。与えられた整数が、で見つかった値の平方数であるかどうかをテストすれば十分です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ニュートン法を適用して平方根を求めるには、${\textstyle p^{n}}$与えられた整数の2倍よりも大きいこと。これはすぐに満たされる条件である。

ヘンゼルリフティングは、整数係数を持つ多項式の法pによる因数分解を法 p による因数分解に「持ち上げる」ことができる同様の方法です。${\textstyle p^{n}}$nの値が大きい場合。これは多項式因数分解アルゴリズムでよく使用されます。

両方${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$そして${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$は数えられないものであり、連続体の濃度を持つ。^{[ 14 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$これは、 p進表現から生じるもので、これは、${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$パワーセットで${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$のために${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$これは、可算無限個 のコピーの和集合として表現されることから生じる。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$: $${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$$

その分野${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$含む${\displaystyle \mathbb {Q} }$そして、は標数0の体である。

0は平方和として表せるので、 ^{[ d ]}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$順序付きフィールド に変換することはできません。

実数体${\displaystyle \mathbb {R} }$唯一の真の代数的拡張は複素数である。${\displaystyle \mathbb {C} }$言い換えれば、この二次拡大はすでに代数的に閉じている。対照的に、${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$、と表記される${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$無限次数を持つ、^{[ 15 ]}すなわち、${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$無限に多くの非同値な代数的拡張が存在する。また、実数の場合とは対照的に、p進評価の唯一の拡張が存在するが、${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$後者は（韻律的に）完全ではない。^{[ 16 ] [ 17 ]}

その（メトリック）完了は次のように表される。${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$または${\displaystyle \Omega _{p}}$[ ^{17 ] [ 18 ]}また、複素数との類推から複素p進数と呼ばれることも^ある。${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$代数的に閉じている。^{[ 17 ] [ 19 ]}しかし、とは異なり${\displaystyle \mathbb {C} }$このフィールドは局所的にコンパクトではない。^{[ 18 ]}

畑${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$そして${\displaystyle \mathbb {C} }$これらは同型であるため、^{[ e ]}とみなすことができる。${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$として${\displaystyle \mathbb {C} }$特殊な計量を持つ。このような体同型の存在証明は選択公理に依存しており、このような同型を明示的に示すものではない（つまり、構成的ではない）。

もし${\displaystyle K}$は、の任意の有限ガロア拡張である。${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ガロア群${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$解ける。したがって、絶対ガロア群${\displaystyle {\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}}$解決可能です。

ユニットグループ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$乗法群に含まれる${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }=\mathbb {Q} _{p}-\{0\}}$それらは同じねじれ部分群（有限位数の要素の部分群）を持つ。ヘンゼルの補題によれば、ねじれ部分群は${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$全射的に写像する${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$カーネルは${\displaystyle \{1\}}$いつ${\displaystyle p>2}$そして${\displaystyle \{\pm 1\}}$いつ${\displaystyle p=2}$特に、ねじれ部分群は${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$次数が周期的である${\displaystyle p-1}$いつ${\displaystyle p>2}$、そして等しい${\displaystyle \{\pm 1\}}$いつ${\displaystyle p=2}$したがって、n > 2の場合、フィールドは${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$n次円分体を含むのは、 n | p − 1の場合のみである。^{[ 20 ]}

自然数kが与えられたとき、${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times k}}$のk乗の要素のグループである${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$;次にインデックス${\displaystyle (\mathbb {Q} _{p}^{\times }:\mathbb {Q} _{p}^{\times k})}$有限である。

ヘルムート・ハッセの局所的・大域的原理によれば、ある方程式が有理数上で解けるのは、実数上およびすべての素数pに対してp進数上で解ける場合に限る。この原理は、例えば二次形式で与えられる方程式には成り立つが、いくつかの不定元を含む高次の多項式には成り立たない。 

p進数は、物理学だけでなく、数学のいくつかの分野にも登場している。

実数とp進数は有理数の完備化であり、同様の方法で他の体、例えば一般的な代数体なども完備化できる。これからその方法を説明する。

Dをデデキント整域、Eをその分数体とする。Dの零でない素イデアルPを選ぶ。xがEの零でない元であれば、xDは分数イデアルであり、 Dの零でない素イデアルの正負のべき乗の積として一意に因数分解できる。したがって、この因数分解におけるPの指数をord _P ( x ) とすると、明確に定義された離散値が得られ、1 より大きい任意の数cに対して、次のように設定できる。 $${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$$この絶対値|⋅| _P に関して完備化すると、体E _Pが得られます。これは、この設定におけるp進数体の適切な一般化です。 cの選択は完備化に影響を与えません (異なる選択でも同じコーシー列の概念が得られるため、完備化も同じになります)。剰余体D / P が有限である場合は、 cにD / Pのサイズを取るのが便利です。

例えば、Eが数体でD がその整数環である場合、オストロフスキーの定理によれば、 E上のすべての非自明な非アルキメデス的絶対値は、何らかの|⋅| _Pとして生じます。E 上の残りの非自明な絶対値は、Eを実数または複素数に異なる方法で埋め込むことによって生じます。（実際には、非アルキメデス的絶対値は、Eを体C _pに異なる方法で埋め込むものと単純に考えることができ、これにより、数体上のすべての非自明な絶対値の記述を共通の基盤に置くことができます。）

Eが数体（あるいはより一般的にはグローバル体）である場合、上記で述べたすべての補完を同時に追跡する必要があることがよくあります。これらは「ローカル」な情報を符号化するものとみなされます。これはアデーレ環とイデーレ群によって実現されます。

p進整数はp進ソレノイドに拡張できる${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$. から地図があります${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ファイバーがp進整数である円群へ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$、地図があるのと同じように${\displaystyle \mathbb {R} }$繊維が円に${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

p進整数はプロ有限整数にも拡張できる。${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$これは、環の直接的な産物として理解できる。$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$$p進整数は素数のべき乗p ^kに対する法を一般化するだけで あるのに対し、プロ有限整数はすべての自然数nに対する法を一般化する。中国剰余定理も同様に、${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$合成基底の場合：少なくとも2つの異なる素因数を持つ任意のnに対して、 n進整数環${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$は同型である${\displaystyle \prod _{p|n}\mathbb {Z} _{p}}$[ ^{21 ]​}

• Weisstein, Eric W. 「p進数」 . MathWorld .
• Springerオンライン数学百科事典におけるp進数