符号付き数字表現

数値の数学表記において、符号付き数字表現は、整数をエンコードするために使用される符号付き数字のセットを持つ位置数値システムです。

符号付き数字表現は、従属的な繰り上がりの連鎖を排除できるため、整数の高速加算に使用できます。^[1] 2進数システム では、特別なケースの符号付き数字表現は非隣接形式であり、最小限のスペースオーバーヘッドで速度上の利点を提供できます。

計算の難しさから、初期の著者であるコルソン (1726) とコーシー (1840) は符号付き数字表現を使用するようになりました。さらに、否定された数字を新しい数字に置き換えるというステップは、セリング (1887) とカジョリ (1928) によって提案されました。

1928年、フロリアン・カジョリは、コルソン（1726年）とコーシー（1840年）に始まる、符号付き数字の繰り返し現れるテーマに注目しました。 ^[2]カジョリは著書「数学表記の歴史」で、この章に「負の数字」というタイトルを付けました。^[3]完全を期すため、コルソン^[4]は例を挙げ、除数の倍数の表を使用して加算（pp. 163–4）、乗算（pp. 165–6）、除算（pp. 170–1）について説明しています。彼は、乗算における切り捨てによる近似値の利便性を説明しています。コルソンはまた、符号付き数字を使用して計算する装置（計数表）を考案しました。

エドゥアルト・セリング^[5]は、負の符号を表すために1、2、3、4、5の数字を反転することを提唱した。また、snie、jes、jerd、reff、niffを音声で使用する名前として提案した。他の初期の資料のほとんどは、負の符号を表すために数字の上にバーを使用していた。ドイツ語での符号付き数字の別の用法は、1902年にクラインの百科事典で説明されている。^[6]

を、濃度 を持つ数値の有限集合とします( の場合、位取り記数法は自明であり、自明な環のみを表します)。 の各桁は として表され、は基数または数基数と呼ばれます。は、すべての に対してとなる一意の関数に関連付けられている場合に、符号付き数字表現に使用できます。 この関数 は、の記号/グリフに整数値を割り当てる方法を厳密かつ形式的に確立するものです。 この形式化の利点の 1 つは、「整数」の定義 (どのように定義されるかに関係なく) が、整数を記述/表現するための特定のシステムと混同されないことです。このようにして、これら 2 つの異なる (ただし密接に関連している) 概念が分離されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle b\leq 1}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle 0\leq i<b.}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{i})\equiv i{\bmod {b}}}$${\displaystyle 0\leq i<b.}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}},}$${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$は、それぞれ正、ゼロ、負の数字を表す3 つの異なる集合、、に分割できます。この場合、すべての数字はを満たし、すべての数字はを満たし、すべての数字はを満たします。 の濃度は、 の濃度は、 の濃度はであり、それぞれ正と負の数字の数を表すため、 となります。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})>0}$${\displaystyle d_{0}\in {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{0})=0}$${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{-})<0}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle b_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle b_{-}}$${\displaystyle b=b_{+}+b_{0}+b_{-}}$

平衡形式表現は、すべての正の数字 に対して、 となる対応する負の数字が存在する表現です。したがって、 となります。平衡形式表現を持つことができるのは奇数の基数のみです。そうでない場合は は必ずそれ自身の反対で 0 になりますが、 となります。平衡形式では、負の数字は通常、の場合のように、数字の上にバーが付いた正の数字として表されます。たとえば、平衡三進法の数字セットは、 、、 となります。この規則は、奇数素数位数の有限体で採用されています。^[7]${\displaystyle d_{+}}$${\displaystyle d_{-}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})=-f_{\mathcal {D}}(d_{-})}$${\displaystyle b_{+}=b_{-}}$${\displaystyle d_{b/2}}$${\displaystyle 0\neq {\frac {b}{2}}}$${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle d_{-}={\bar {d}}_{+}}$${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}({\bar {1}})=-1}$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(0)=0}$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(1)=1}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}=\lbrace 0,1,{\bar {1}}=-1,...d={\frac {q-1}{2}},\ {\bar {d}}={\frac {1-q}{2}}\ |\ q=0\rbrace .}$

すべての数字集合には、数字の逆順序で与えられる双対数字集合があり、同型は で定義されます。その結果、の評価で から構築された数体系環の任意の符号付き数字表現に対して、の評価で から構築された、の双対符号付き数字表現、および で定義される同型が存在します。ここで、 はの加法逆演算子です。バランス形式表現の数字集合は自己双対です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle -f_{\mathcal {D}}=g\circ f_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {N}}\rightarrow N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}:{\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }\rightarrow N}$${\displaystyle h:{\mathcal {N}}\rightarrow {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle -v_{\mathcal {D}}=h\circ v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$${\displaystyle -}$${\displaystyle N}$

上記で定義した数字セットと関数が与えられた場合、整数内部関数を次のように 定義します。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}{\frac {n-f(d_{i})}{b}}&{\text{if }}n\equiv i{\bmod {b}},0\leq i<b\end{cases}}}$

の唯一の周期点が固定点である場合、を使用する整数のすべての符号付き数字表現の集合は、 のクリーネプラスによって与えられます。これは、 で、少なくとも1つの数字を持つすべての有限連結数字列の集合です。各符号付き数字表現には、次の値があります。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{+}\rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$。

例としては、数字を含むバランスのとれた 3 進数があります。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$

それ以外の場合、の非ゼロ周期点が存在する場合、 内の無限個の非ゼロ桁によって表される整数が存在します。例としては、 の数字セットを持つ標準の10進記数法が挙げられます。このシステムでは、加法逆数 を表すためにの数字の無限個が必要になります( )。また、 の数字セットを持つ位取り記数法では、数 を表すためにの数字の無限個が必要になります ( ) 。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \operatorname {dec} =\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace }$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle -1}$${\displaystyle T_{\operatorname {dec} }(-1)={\frac {-1-9}{10}}=-1}$${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\text{A}},0,1\rbrace }$${\displaystyle f({\text{A}})=-4}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle T_{\mathcal {D}}(2)={\frac {2-(-4)}{3}}=2}$

整数がクリーネプラス で表現できる場合、小数、または-進有理数のすべての符号付き数字表現の集合は で与えられます。これは、クリーネプラス、少なくとも 1 つの数字を含むすべての有限連結数字列の集合、基数点(または)からなるシングルトン、およびを満たすすべての有限連結数字列の集合であるクリーネスターの直積です。各符号付き数字表現には、${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1\backslash b]}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle .}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$${\displaystyle d_{-1}\ldots d_{-m}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {Q}}\rightarrow \mathbb {Z} [1\backslash b]}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(q)=\sum _{i=-m}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

整数がクリーネプラスで表現できる場合、 実数の符号付き数字表現全体の集合は で与えられます。これは、クリーネプラス、少なくとも 1 つの数字を含むすべての有限連結数字列の集合、基数点(または)からなるシングルトン、およびを満たすすべての無限連結数字列の集合であるカントール空間の直積です。各符号付き数字表現には、${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle .}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{-1}d_{-2}\ldots }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle r\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {R}}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(r)=\sum _{i=-\infty }^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$。

無限級数は常に有限の実数に 収束します。

すべての基数は、 のすべての二重無限数列の集合である の部分集合として表すことができます。ここで、 は整数の集合であり、基数 の環は、形式冪級数環、二重無限級数 によって表されます。${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[b,b^{-1}]]}$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}b^{i}}$

どこのため。 ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$

を法とする整数${\displaystyle b^{n}}$のすべての符号付き数字表現の集合は、長さ の有限連結数字列のすべての集合で、 である集合 によって与えられる。各符号付き数字表現には値がある。${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash b^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$${\displaystyle d_{n-1}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{n}\rightarrow \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}{\bmod {b}}^{n}}$

プリューファー群は整数と -進有理数の商群 である。プリューファー群のすべての符号付き数字表現の集合は、クリーネスター、つまりすべての有限連結数字列の集合で、 で与えられる。各符号付き数字表現には値付けがある。${\displaystyle \mathbb {Z} (b^{\infty })=\mathbb {Z} [1\backslash b]/\mathbb {Z} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$${\displaystyle d_{1}\ldots d_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} (b^{\infty })}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

円群は整数と実数の商群である。円群のすべての符号付き数字表現の集合は、右無限の数字の連結文字列の集合であるカントール空間によって与えられる。各符号付き数字表現には値がある。${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{1}d_{2}\ldots }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {T} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

無限級数は常に収束します。

進整数のすべての符号付き数字表現の集合は、すべての左無限連結数字列の集合であるカントール空間によって与えられる。各符号付き数字表現には値がある。${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}}$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {Z} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

-進ソレノイドのすべての符号付き数字表現の集合は、数字のすべての二重無限連結文字列の集合であるカントール空間によって与えられる。各符号付き数字表現には値がある。${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {T} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}d_{-1}\ldots }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }\rightarrow \mathbb {T} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

インド・アーリア語族の口頭および書き言葉では、11から90までの9で終わる数字に負の数詞（ヒンディー語とベンガル語では「un」、パンジャブ語では「un」または「unna」 、マラーティー語では「ekon」）を使用する。以下にパンジャブ語の数字とその名前を示す（接頭辞「ik」は「1」を意味する）。^[8]

• 19ウンニ、20ヴィフ、21イッキ
• 29 ウナッティ、30 ティフ、31 イカッティ
• 39 ウンタリ、40 チャリ、41 イクタリ
• 49 ウナンジャ、50 パンジャ、51 イクヴァーニャ
• 59 ウナハット、60 サト、61 イカハット
• 69 ウナタル、70 サッタル、71 イカッタル
• 79 ウナシ、80 アッシ、81 イキアシ
• 89 ウナンベ、90 ナベ、91 イキナベン。

同様に、セソト語では負の数を使って 8 と 9 を形成します。

• 8 ロベリ（/ロベイディー/）は「2つ割る」、つまり2本の指を下にするという意味です。
• 9 ロボン（/ロボン/）は「1本を折る」、つまり1本の指を下ろすという意味です。

古典ラテン語では、^[9]整数18と19は、実際には「8」や「9」に相当する部分を含む話し言葉や書き言葉さえ存在しなかったが、古典ラテン語では、

• 18 = duodēvīgintī（「20から取った2」）、（IIXXまたはXIIX）、
• 19 = ūndēvīgintī（「20から取った1」）、（IXXまたはXIX）
• 20 = vīgintī (「20」)、(XX)。

以降の整数[28、29、38、39、...、88、89]については、言語の加法形式がはるかに一般的でしたが、リストされた数については、上記の形式が依然として好まれていました。したがって、30に近づくと、数字は次のように表現されました。^[10]

• 28 = duodētrīgintā (「30から取った2」)、それほど頻繁ではないがvīgintī octō / octō et vīgintī (「28 / 8と20」)、(IIXXXまたはXXIIX対XXVIII、後者は完全に競争で負けた。)
• 29 = ūndētrīgintā (「30 から 1 つを取ったもの」) という形式も、あまり好まれない形式であるにもかかわらず、使用可能でした。

これは、同時代の歴史家たちの推論の主たる根拠の 1 つであり、減法表記の I- と II- が他の範囲の基数と比べてこの範囲の基数で非常に一般的であった理由を説明しています。数字 98 と 99 も両方の形式で表現できますが、「2 から 100」は少し奇妙に聞こえたかもしれません。明確な証拠は、信頼できる情報源で減法表記でこれらの数字がほとんど見られないことです。

この特徴を持つ言語は他にもあるが（今のところ痕跡程度だが）、現在でも活発に使われている。それはフィンランド語で、数字の8や9が出てきたら（綴りの）数字をこのように使う。その仕組みは次の通りである：^[11]

• 1 = "yksi" (注: yhd- または yht- は主に拒否されそうな場合に使用します。例: "yhdessä" = "一緒に、1 つの [エンティティ] として")
• 2 = "kaksi" (拒否された場合は kahde-、kahte- にも注意してください)
• 3 = 「コルメ」
• 4 = 「ネルジャ」

...

• 7 = 「セイツェメン」
• 8 = 「kah(d)eksan」（到達するまであと2つ）
• 9 = "yh(d)eksän"（あと1つ[到達するには]）
• 10 = 「kymmenen」（十）

上記のリストは特別なケースではなく、結果としてより大きな基数にも現れます。例:

• 399 = "コルメサタアイデクサンキムメンテーイデクサン"

これらの属性の強調は、数字の最も短い口語形式でも維持されます。

• 1 = "yy"
• 2 = 「かあ」
• 3 = 「クー」

...

• 7 = 「セイスカ」
• 8 = 「カシ」
• 9 = "はい"
• 10 = 「キンピ」

しかし、この現象は書かれた数字には影響を及ぼさず、フィンランド人は標準的な西アラビア十進法表記法を使用します。

英語では、時間を「7時から3時」のように「to」で否定を表すのが一般的です。

基数が である他の符号付き数字基数も存在します。この顕著な例は、およびを含む数字セットを持ちますが、基数が であるBooth エンコーディングです。標準的な2 進数システムでは、値 の数字のみが使用されます。 ${\displaystyle b\neq b_{+}+b_{-}+1}$${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$${\displaystyle b_{+}=1}$${\displaystyle b_{-}=1}$${\displaystyle b=2<3=b_{+}+b_{-}+1}$${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$

非標準の符号付き数字表現は一意ではないことに注意してください。例:

${\displaystyle 0111_{\mathcal {D}}=4+2+1=7}$

${\displaystyle 10{\bar {1}}1_{\mathcal {D}}=8-2+1=7}$

${\displaystyle 1{\bar {1}}11_{\mathcal {D}}=8-4+2+1=7}$

${\displaystyle 100{\bar {1}}_{\mathcal {D}}=8-1=7}$

ブース符号化の非隣接形式（NAF）は、すべての整数値に対して一意の表現を保証します。ただし、これは整数値にのみ適用されます。たとえば、NAF の次の繰り返しバイナリ数値を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0.{\overline {10}}_{\mathcal {D}}=1.{\overline {0{\bar {1}}}}_{\mathcal {D}}}$

• バランスのとれた三元
• 負のベース
• 冗長バイナリ表現

• JP Balantine (1925)「負の 1 を表す数字」、American Mathematical Monthly 32:302。
• Lui Han、Dongdong Chen、Seok-Bum Ko、Khan A. Wahid「非投機的 10 進符号付き数字加算器」、サスカチュワン大学電気・コンピュータ工学部より。